Exercices de 4 ème Chapitre 4 Le triangle rectangle Énoncés

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1 Énoncés Exercice 1 onstruire un triangle quelconque RST. Soit V le point d'intersection de (RS) et du cercle de diamètre [RT]. éterminer ce que représente la droite (VT) pour le triangle RST. Exercice 2 Tracer un segment [] de longueur 7cm, puis construire le triangle rectangle en tel que =5cm. Expliquer succinctement la démarche. Exercice 3 Étant donnés une droite (d) et deux points et n'appartenant pas à cette droite, peut-on toujours construire un point M appartenant à (d) tel que M soit rectangle en M? Réfléchir à toutes les situations possibles en s'aidant de schémas. Exercice 4 Pour chacun des cinq triangles rectangles présents sur ce dessin, écrire la relation du théorème de Pythagore. T P Q S R Exercice 5 a] ERL est un triangle rectangle en R tel que ER=9cm et RL=12cm. alculer la longueur de [EL]. b] R est un triangle rectangle en tel que R=52mm et R=48mm. alculer la longueur de []. c] KXZ est un triangle rectangle en K tel que KX=6,8cm et ZX=68,9mm. alculer la longueur de [KZ]. Exercice 6 alculer la hauteur, arrondie au décimètre près, à laquelle se trouve le sommet d'une échelle de 5,5 m de long en appui sur un mur perpendiculaire au sol et placée à 14 dm du pied du mur. Exercice 7 EFGH est un cube d arête 10 cm. alculer la longueur de la grande diagonale [E] au mm près. Exercice 8 Soit TO un triangle tel que TO=77 mm ; O=35 mm et T=85 mm. Soit tel que =17 cm ; =15cm et =8 cm. éterminer si TO et sont des triangles rectangles. éducmat Page 1 sur 7

2 Exercice 9 Le quadrillage ci-contre est formé de carrés de 1cm de côté. a] éterminer la valeur de 2. b] éterminer la valeur de 2. c] Le triangle est-il rectangle en? Exercice 10 Soit un parallélogramme. On donne, en mètres : = 8,8 ; = 77,19 et = 77,69. éterminer si est un rectangle. Exercice 11 a] Tracer le parallélogramme MNPL de centre O tel que : ML = 68mm ; MP = 64mm et LN = 120 mm. b] éterminer la nature précise de MNPL. Exercice 12 a] Tracer le triangle RST tel que RS=1,6cm ; ST=6,3cm et RT=6,5cm. b] Tracer le cercle circonscrit à RST puis déterminer la valeur de son rayon. Exercice 13 On considère le triangle RST tel que RS=32 cm ; ST=40cm et RT=24cm. Montrer que R appartient au cercle de diamètre [ST]. Exercice 14 On a tracé un segment [] sur une feuille dont les carreaux mesurent chacun 0,8cm de côté. alculer un arrondi de au mm près. Exercice 15 On considère la figure ci-contre avec : =4,2 cm ; =3,4 cm ; =2,1 cm et =5 cm. hercher si les points,, et sont cocycliques, c'est-à-dire s'ils appartiennent à un même cercle. Exercice 16 En utilisant la figure ci-contre, compléter les phrases ci-dessous. a] ans le triangle EGF... on a : cos FEG=... b] ans le triangle FHE... on a : cos FEG=... c] ans le......, on a GH FG =... d] ans le......, on a FH FG =... éducmat Page 2 sur 7

3 Exercice 17 On considère le dessin ci-contre : alculer les mesures des angles suivants au degré près : a] ÂE b] ĈF c] ĈF 6 6,6 5,4 2 E 3,6 2,2 F 1,5 3 Exercice 18 Les points F et I appartiennent au cercle de diamètre [EG]. Montrer que FE cos ÎGE= IG cos FEG. Exercice 19 Sur la figure ci-contre, les points P et F appartiennent au cercle de diamètre [OE]. alculer la mesure de l'angle ÊOF arrondie au degré. P 55 cm 37 O 36 cm E F Exercice 20 Soit un triangle JKL tel que JL=4,5 dm ; JK =6 dm et KL=7,5 dm. 1. Montrer que JKL est un triangle rectangle. 2. Soit I le milieu de [KL]. éterminer la longueur IJ. 3. alculer un arrondi au degré près de l'angle KLJ. éducmat Page 3 sur 7

4 orrigés Exercice 1 omme V appartient au cercle de diamètre [RT] alors le triangle RVT est rectangle en V. omme la droite (VT) est perpendiculaire à (RS) alors (VT) est la hauteur issue de T du triangle RST. V S R T Exercice 2 On trace le segment [] de longueur 7cm, ainsi que le cercle de diamètre []. On prend un écartement de 5cm au compas. On plante celui-ci en et on nomme une intersection de l'arc avec le cercle. omme appartient au cercle de diamètre [] alors le triangle est bien rectangle en. Exercice 3 On trace le cercle de diamètre []. Trois situations sont possibles : (d) coupe le cercle en deux points. ans ce cas, chacun des deux points d'intersection peut être le point M. En effet, comme M appartient au cercle de diamètre [] alors le triangle M est rectangle en M. (d) est tangent au cercle en un point. ans ce cas, M est ce point, pour la même raison que précédemment. (d) n'a pas de point en commun avec le cercle. ans ce cas, on ne peut pas construire M tel que M soit rectangle en M. Exercice 4 ans QTS rectangle en T on a : QS² = QT² + TS². ans QPR rectangle en P on a : QR² = QP² + PR². ans QPS rectangle en S on a : QP² = QS² + PS². ans PRS rectangle en S on a : PR² = PS² + RS². ans PTS rectangle en T on a : PS² = PT² + TS². Exercice 5 a] omme ERL est rectangle en R alors EL² = ER² + LR². On a donc EL² = 9² + 12² d'où EL² = 225. On a donc EL = 15cm. b] omme R est rectangle en alors R² = ² + R². On a donc 52² = ² + 48² d'où ² = 400. On a donc = 20mm. c] omme KXZ est rectangle en K alors ZX ² = ZK² + XK². onc 6,89² = ZK² + 6,8² d'où ZK² = 1,2321. On a donc ZK = 1,11cm. Exercice 6 Soit h la hauteur à laquelle se trouve le sommet de l'échelle. omme le mur est perpendiculaire au sol, alors l'échelle forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle et on a : 5,5² = 1,4² + h². On a donc h² = 28,29. 'où h 5,3. Le sommet de l'échelle est à une hauteur d'environ 5,3m. Exercice 7 omme est rectangle en alors ² = ² + ². 'où ² = 200. omme E est rectangle en alors E² = E² + ². 'où E² = On a donc E² = 300 d'où E 17,3 cm. éducmat Page 4 sur 7

5 Exercice 8 On a T² = 85² et O² + TO² = 35² + 77². onc T² = 7225 et O² + TO² = omme T 2 O 2 +OT 2 et que T est son plus grand côté alors le triangle OT n'est pas rectangle. On a ² = 17² et ² + ² = 15² + 8². onc ² = 289 et ² + ² = 289. omme 2 = alors le triangle est rectangle en. Exercice 9 a] omme est rectangle en alors ² = ² + ². 'où ² = 5. E b] On place E de telle sorte que E soit un rectangle. omme E est rectangle en E alors ² = E² + E². 'où ² = 20. c] On a ² = 5² et ² + ² = onc ² = 25 et ² + ² = 25. omme 2 = alors le triangle est rectangle en. Exercice 10 omme est un parallélogramme alors ses côtés opposés [] et [] ont la même longueur. onc = 77,19m. On a ² = 77,69² et ² + ² = 8,8² + 77,19². onc ² = 6035,7361 et ² + ² = 6035, ,8 77,69 omme 2 = alors le triangle est rectangle en. omme le parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle. 77,19 Exercice 11 a] Voir ci-contre. N b] omme O est le centre du parallélogramme MNPL alors O est le milieu des diagonales [MP] et [LN]. On en déduit que MO=32mm et OL=60mm. M O P On a ML² = 68² et MO² + OL² = 32² + 60². onc ML² = 4624 et MO² + OL² = omme ML 2 =MO 2 +OL 2 alors le triangle MOL est rectangle en O. omme les diagonales du parallélogramme MNPL sont perpendiculaires alors MNPL est un losange. L Exercice 12 a] Voir ci-contre. b] On a RT² = 6,5² et RS² + ST² = 1,6² + 6,3². On a RT² = 42,25 et RS² + ST² = 42,25. omme RT 2 =RS 2 +ST 2 alors le triangle RST est rectangle en S. omme le triangle RST est rectangle en S alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [RT]. On en déduit que son rayon vaut 6,5 2 =3,25cm. S R T éducmat Page 5 sur 7

6 Exercice 13 Exercices de 4 ème hapitre 4 Le triangle rectangle On a : ST² = 40² et RS² + RT² = 32² + 24². ST² = 1600 et RS² + RT² = omme ST 2 =RS 2 +RT 2 alors le triangle RST est rectangle en R. omme RST est rectangle en R alors R appartient au cercle de diamètre [ST]. Exercice 14 omme le quadrillage est formé de droites perpendiculaires les unes aux autres, alors on peut considérer [] comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent 4 et 8 carreaux, soit 3,2cm et 6,4cm. On a alors ² = 3,2² + 6,4² donc ² = 51,2. On a donc 7,2cm. Exercice 15 omme est rectangle en alors appartient au cercle de diamètre [ ]. omme est rectangle en alors ² = ² + ². 'où ² = 4,2² + 3,4² soit ² = 29,2. On a ² = 29,2 et ² + ² = 2,1² + 5². onc ² = 29,2 et ² + ² = 29,41. omme alors le triangle n'est pas rectangle en. Par conséquent, n'appartient pas au cercle de diamètre [ ]. omme le cercle circonscrit au triangle est le seul à passer par ces trois points et que ne lui appartient pas, alors les points,, et ne sont pas cocycliques. Exercice 16 a] ans le triangle EGF rectangle en F, on a : cos FEG= EF EG b] ans le triangle FHE rectangle en H, on a : cos FEG= EH EF c] ans le triangle FHG rectangle en H on a GH FG =cos FGH d] ans le triangle FHE rectangle en H on a FH FG =cosĝfh Exercice 17 a] ans le triangle E rectangle en E on a cos( ÂE )= E cos( ÂE )= 5,4 6 cos( ÂE )=0,9 d'où ÂE 26. b] On a ĈF=ĈE et dans le triangle E rectangle en E on a cos(ĉe)= E. On a donc cos(ĉf )= 5,4 d'où ĈF 35. 6,6 c] On a ĈF=ÊF et dans le triangle EF rectangle en on a cos( ÊF )= E F. On a donc cos(ĉf )= 2 d'où ĈF 25. 2,2 éducmat Page 6 sur 7

7 Exercice 18 Exercices de 4 ème hapitre 4 Le triangle rectangle omme F et I appartiennent au cercle de diamètre [EG] alors les triangles EFG et EGI sont respectivement rectangles en F et I. Par conséquent on a cos ÎGE = IG EG et cos FEG= EF EG. 'où EG= IG cos ÎGE et EG= EF cos FEG. EF e ces deux égalités on déduit cos FEG = IG cos ÎGE ou encore FE cos ÎGE=IG cos FEG. Exercice 19 omme F appartient au cercle de diamètre [EO] alors le triangle EFO est rectangle en F. Par conséquent on a cos( ÊOF )= OF 36 soit cos( ÊOF )= d'où ÊOF 49. OE 55 Exercice On a KL 2 =56,25 et JL 2 +JK 2 =4, =56,25. omme JL 2 +JK 2 =KL 2 alors le triangle JKL est rectangle en J. 2. omme le centre du cercle circonscrit de JKL rectangle en J se trouve au centre de l'hypoténuse, alors on a IJ = KL 2 donc IJ =3,75 dm. 3. ans JKL rectangle en J, on a cos( KLJ )= JL KL donc cos( KLJ )=0,6. On déduit que KLJ 53. éducmat Page 7 sur 7