QUADRILATERES. I- Définition: Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. II- Rectangle: 1) Définition:

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1 QUADRILATERES I- Définition: Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. II- Rectangle: 1) Définition: Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits 2) Propriétés des côtés: Sur la figure ci-contre: (AB) et (CD) sont parallèles (AD) et (BC) sont parallèles AB = CD AD = BC Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et de la même longueur 3) Propriétés des diagonales: Sur la figure ci-contre, on a: AC = BD O milieu de [AC] O milieu de [DB] Dans un rectangle, les diagonales sont de la même longueur et se coupent en leur milieu. Le point d'intersection des diagonales s'appelle le centre du rectangle 1

2 4) Quadrilatère ayant 3 angles droits: On trace un quadrilatère ayant 3 angles droits (en A, B et C) On constate que l'angle en D est droit aussi. Donc ABCD a 4 angles droits. C'est donc un rectangle Si un quadrilatère a trois angles droits alors ce quadrilatère est un rectangle 5) Constructions: Exemple1: Construire un rectangle IJKL tel que IJ = 6 cm et JK = 3,2 cm On trace: 1) un segment [IJ] de longueur 6 cm 2) deux segments [JK] et [IL] perpendiculaires à [IJ] et de longueur 3,2 cm 3) le segment [LK] Exemple 2 Construire un rectangle STUV tel que ST = 3,2 cm et SU = 3,7 cm 1) On trace un segment [ST] de longueur 3,2 cm 2) On trace une demi-droite d'origine T perpendiculaire à [ST] 3) On trace un arc de cercle de centre S de rayon 3,7 cm. U est le point d'intersection de cet arc et de la demi-droite. 4) On trace une demi-droite d'origine U perpendiculaire à [TU] 5) On trace une demi-droite d'origine S perpendiculaire à [ST]. Le point V est à l'intersection de ces deux demi-droites III- Losange: 1) Définition: Un losange est un quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur 2

3 2) Propriétés des diagonales: Sur la figure ci-contre [AC] et [BD] sont perpendiculaires le point d'intersection de [AC] et [BD] est le milieu de ces segments Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu Le point d'intersection des diagonales s'appelle le centre du losange 3) Constructions: Exemple 1: [AB] et [AD] étant deux segments donnés de même longueur, construire le point C tel que ABCD soit un losange. On trace deux arcs de cercle de centres B et D, et de rayon AB Le point C est à l'intersection de ces deux arcs Exemple 2 Construire un losange DEFG dont les côtés mesurent 4 cm et dont la diagonale [DF] mesure 2,4 cm On construit deux triangles DEF et DFG tels que DF = 2,4 cm DE = EF = FG = GD = 4 cm Exemple 3 Construire un losange FGHI tel que IG = 6 cm et FH = 4 cm 1) On trace un segment [IG] de longueur 6 cm et on place son milieu 2) On trace un segment [FH] perpendiculaire à [IG], de longueur 4 cm, tel que le milieu de [IG] soit aussi le milieu de [FH] 3) On joint les sommets FGHI IV - Carré: 1) Définition: Un carré est un quadrilatère ayant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur 3

4 2) Propriétés des diagonales: Dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires, sont de la même longueur et se coupent en leur milieu 3) Constructions: Exemple 1: Construire un carré LMNO de côté 4,7 cm On trace un segment [LM] de longueur 4,7 cm Puis deux segments [MN] et [LO] perpendiculaires à [LM] et de longueur 4,7 cm On trace pour terminer le segment [ON] Exemple 2 Construire un carré KLMN dont les diagonales mesurent 4,8 cm 1) On trace deux segments [KM] et [LN] perpendiculaires, mesurant 4,8 cm et ayant le même milieu 2) On joint les sommets KLMN V- Cerf volant: Sur la figure ci-contre, (BD) est la médiatrice de [AC] On dit que ABCD est un cerf-volant Un cerf-volant est un quadrilatère tel que l'une des diagonales soit médiatrice de l'autre diagonale Propriété: Si ABCD est un cerf-volant tel que (BD) soit la médiatrice de [AC], alors: AB = BC et AD = DC 4

5 VI- Trapèze: 1) Définition: 2) Trapèzes particuliers: Trapèze isocèle [AB] et [CD] sont parallèles ABCD est un trapèze Un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés parallèles Les côtés parallèles s'appellent les bases du trapèze [AB] est la petite base [CD] est la grande base Trapèze rectangle Un trapèze isocèle est un trapèze dont les côtés non parallèles ont la même longueur Un trapèze rectangle est un trapèze dont un côté est perpendiculaire aux bases. VII- Exercices: Exercice 1 Exercice 2: HI = 7,8 cm et IJ = 3,1 cm Sans mesurer, compléter: KJ =... cm et HK =... cm (Justifier en citant la propriété utilisée) Exercice 3: VW= 8,4 cm Sans mesurer, compléter: a) XU =... cm b) VI =... cm (Citer les propriétés utilisées) Exercice 4: Citer: a) Les triangles rectangles apparaissant sur cette figure b) Les triangles isocèles apparaissant sur cette figure Quelle propriété permet d'affirmer que XYZT est un rectangle? 5

6 Exercice 5: Exercice 6: PR = 6, 4 cm Sans mesurer, compléter: a) SQ=... cm b) JR =... cm (Citer les propriétés utilisées) Exercice 7: a) Quelle est la nature précise du triangle COD? b) Citer 7 autres triangles ayant la même nature. Exercice 8: IK = 7,2 cm et JL = 5,4 cm Sans mesurer, compléter: a) IO=... cm b) OJ =... cm (Citer la propriété utilisée) Citer: a) Les triangles rectangles apparaissant sur cette figure b) Les triangles isocèles apparaissant sur cette figure 6

7 QUADRILATERES - CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1 Exercice 2: KJ =7,8. cm et HK = 3,1cm Dans un rectangle, les côtés opposés sont de la même longueur Exercice 3: a) XU = 8,4 cm Dans un rectangle les diagonales ont la même longueur b) VI = 8,4 : 2 = 4,2. cm Dans un rectangle les diagonales se coupent en leur milieu Exercice 4: a) Les triangles rectangles apparaissant sur cette figure sont: VUW rectangle en U UWX rectangle en W WXV rectangle en X XVU rectangle en V b) Volontairement, le codage n'a pas été indiqué. Mais on sait que dans un rectangle les diagonales sont de la même longueur et se coupent en leur milieu; Donc IV = IU = IW = IX Les triangles isocèles (tous isocèles en I) sont donc: VIU, UIW, WIX, XIV XYZT est un rectangle Si un quadrilatère a trois angles droits, alors ce quadrilatère est un rectangle

8 Exercice 5: Exercice 6: a) SQ= 6,4 cm car Dans un carré les diagonales ont la même longueur b) JR = 6,4 : 2 = 3,2 cm Dans un carré les diagonales se coupent en leur milieu Exercice 7: a) Le triangle COD est rectangle et isocèle en O b) Les 7 autres triangles rectangles et isocèles de cette figure sont: DOE (en O), EOF (en O), FOC (en O), CDE (en D), DEF (en E), EFC (en F), FCD (en C) Exercice 8: a) IO= 7,2 : 2 = 3,6 cm b) OJ = 5,4 : 2 = 2,7 cm Dans un losange les diagonales se coupent en leur milieu a) Les triangles rectangles apparaissant sur cette figure sont: FEG, GEH, HEI, IEF (tous rectangles en E) b) Les triangles isocèles apparaissant sur cette figure sont: IFG isocèle en F FGH isocèle en G GHI isocèle en H HIF isocèle en I 8