TD : Modèles de marchés - Mouvement brownien

Save this PDF as:

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien"

Transcription

1 Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan (P({ω}) > 0 pour ou ω Ω) e T N. On le muni d une filraion F elle que F 0 es la ribu riviale e F T = P(Ω). On considère un marché de change d échéance T N consiué d un unique acif risqué, relaif au aux de change enre les devises E(= euro) e D(=dollar). Ce aux de change es un processus (S ) {0,...,T } F-adapé sricemen posiif défini par E = S D. On noe (S 0,D ) e (S 0,E ) les acifs sans risque des devises D e E de valeurs respecives D e E en = 0. On suppose bien enendu que pour ou, S, S 0,D, S 0,E son > 0..a. Du poin de vue européen, quel es l acif négociable (i.e. risqué) noé S E? Quelle es la valeur au emps acualisée en 0 de ce acif? Même quesion du poin de vue des USA (où l acif risqué sera noé S D..b. On suppose que le marché de change es viable dans le pays de la devise D. Quelle es la raducion probabilise de cee propriéé? 2. Soi A une sous-ribu de P(Ω) e L : Ω + une v.a. elle que E P (L) =. On appelle Q la probabilié de densié L par rappor à P. Monrer que pour oue variable aléaoire X sur Ω, E Q [X/A] = E P[XL/A]. E P [L/A] 3.a. Soi P une probabilié équivalene à P sous laquelle S D es une maringale. Monrer que Q définie par dq es égalemen une probabilié équivalene à P. dp = S D T S D 0 3.b. En déduire que si le marché de change es viable aux USA, il l es égalemen en Europe. 3.c. La même conclusion es-elle valable pour la compléude? 3.d. On suppose les marchés comples. A quelle condiion sur (S ) les acifs risqués respecifs à ce marché de change dans chacun des deux pays seron-elles des maringales sous la même probabilié? 4. erouver le résula précéden en monran que si (M ) es F-adapé, sric. posiif e si (M ) e (/M ) son des maringales sous la même probabilié alors M = M 0 pour ou {0,..., T }. Soluion : Noons que comme Ω es fini, l inégrabilié ne sera jamais un problème : oue v.a. réelle es inégrable..a. Du poin de vue de chaque pays, l acif risqué es l argen placé dans l aure pays. Quand on es en Europe, un euro placé aux USA en 0 vau, au emps, S 0 S 0,D donc S 0 S 0,D /S euros, sa valeur acualisée es donc S E = S 0 S 0,D /(S S 0,E es aux USA, un dollar placé aux USA en 0 vau, au emps, (/S 0 )S 0,E (/S 0 )S 0,E S euros, sa valeur acualisée es donc S D = / S E. dollars ). Quand on euros, donc.b. Cela signifie qu il exise une mesure de probabilié sur Ω, donnan un poids non nul à ous les élémens, elle que ss cee mesure, S D es une maringale.

2 2. Soi X variable aléaoire sur Ω. Soi = E P [XL/A], S = E P [L/A]. Soi Z une v.a. A-mesurable. On a E Q (Z/S) = E P (LZ/S) = E P (SZ/S) = E P (Z) = E P (ZXL) = E Q (XZ), d où le résula. 3.a. Q (Ω) = E P ( S T D/ S 0 D ) = E P ( S T D)/ S 0 D = car sous P, S D es une maringale. De plus, comme dq > 0, Q es équivalene à P, dc à P. dp 3.b. C es une applicaion direce des deux quesions précédenes, avec un pei calcul. Supposons le marché de change es viable aux USA. Soi P une probabilié équivalene à P sous laquelle S D es une maringale. On sai que Q définie par dq = S D dp T S es égalemen 0 D une probabilié équivalene à P. Monrons que sous Q, SE es une maringale. Soi {0,..., T }. On a, par la quesion 2, E Q ( S E + F ) = E P ( S E + S D T / S D 0 F )/E P ( S D T / S D 0 F ), ce qui se simplifie, comme S D 0 es consane, en E P ( S E + S D T F )/E P ( S D T F ), puis, en condiionnan par rappor à F +, en E P ( S E + S D + F )/E P ( S D + F ) = E P ( F )/ S D = S E. 3.c. On a monré que pour oue mesure P sur Ω, si P es une mesure maringale pour le marché américain, alors Q := S T D S dp es une mesure maringale pour le marché 0 D européen. On peu démonrer facilemen la réciproque. Il en découle qu il exise une bijecion enre les mesures maringales pour les deux marchés, e que la compléude de l un es équivalene à la compléude de l aure. 3.d. Dans ce cas, par compléude, si P es une mesure maringale pour le marché américain, alors Q := S D T S D 0 dp, mesure maringale pour le marché européen, es égale à P. Donc S D T = S D 0, puis, par condiionnemen, SD es consane. la réciproque es immédiae. 4. Dans ce cas, on a = E( M T / M T ), E( M T 2 ) = E(M0 ) = M 0 (qui es consane) e E((/ M T ) 2 ) = E(/M 0 ) = /M 0, dc on a égalié ds l inégalié de Cauchy-Schwarz, donc il exise une consane a > 0 elle que M T = a/ M T, donc M T es consane égale à a, e par condiionnemen, il en va de même de M pour ou. 2. Caracérisaion du Mouvemen Brownien. Soi B un processus coninu issu de 0 (i.e. B 0 = 0) e F sa filraion naurelle. Monrer que B es un mouvemen Brownien si e seulemen si, pour ou λ, le processus complexe M λ défini par M λ := e iλb+ λ2 2 es une F-maringale. On rappelle que pour oue famille (X,..., X d, Y ) de v.a. réelles, Y indep de (X,..., X d ) ν d, µ, E(e i(<ν,x>+µy ) ) = E(e i<ν,x> )E(e iµy ). 2

3 Soluion : Si B es un mv Br, alors pour λ,, s 0, E(M λ +s F ) = E(M λ e iλ(b +s B )+ λ2 s 2 F ) = M λ E(e iλ(b +s B )+ λ2 s 2 ) = M λ. éciproquemen, supposons que pour ou λ, le processus complexe M λ défini par M λ := e iλb+ λ2 2 es une F-maringale. Alors pour ou 0 s,, pour ou λ, E(e iλ(b +s B ) ) = E(M λ +s/m λ )e λ2 s 2 = E(E(M λ +s F )/M λ )e λ2 s 2 = e λ2 s 2, donc B +s B a bien la loi N(0, s). Soi 0 s,. Monrons que B s+ B es indep. de σ(b r, 0 r ). Il suffi de monrer que pour ous d, 0 r <... < r d, B s+ B es indep. de (B r,..., B rd ). Soi d, 0 r <... < r d. Soi ν d, µ. On a E(e i( i ν ib ri +µ(b +s B )) ) = E(( i M ν i r i )M µ +s/m µ )e i ν2 i r i/2 µ 2 s/2. Comme i M ν i r i F, on obien es F -mesurable e E(M µ +s/m µ F ) =, en condiionnan par rappor à E(e i( i ν ib ri +µ(b +s B )) ) = E( i M ν i r i )e i ν2 i r i/2 µ 2 s/2, ce qui es égal à E(e i i ν ib ri)e(e µ(b +s B )) ). Ceci nous assure l indépendance de B +s B avec σ(b r, 0 r ). 3. Loi des grands nombres pour le mouvemen Brownien. On admera l inégalié de Doob pour les maringales coninues (qui peu facilemen se déduire de l inégalié vue en cours pour les inégrales discrèes) : si M es une maringale coninue, alors pour ou > 0, E( sup Ms 2 ) 4E(M 2 ). 0 s Soi B un mouvemen Brownien réel. On cherche à monrer que presque sûremen, B lim. En uilisan l inégalié de Doob e l inégalié de Markov, monrer, pour ou n 0 e ε > 0, ( ) B P max 2 n 2 n+ 2 > ε 8ε 2 2 n. n 2. En déduire que presque sûremen, il exise n 0 el que pour ou n n 0, l événemen { } B max ε 2 n 2 n+ = 0. 3

4 es réalisé, puis conclure que presque sûremen, B lim = On resrein l espace des possibles à l événemen de probabilié { } B lim = 0. En déduire que la foncion aléaoire nulle en zéro e de valeur B / en ou > 0 es bien un mouvemen Brownien. Soluion :. On a 2. On a B P ( max > ε) 2 n 2 n+ 2n = P ( max 2 n 2 n+ > ε 2 2 2n ) P ( max 0 2 n+ > ε 2 2 2n ) ( B P max 2 n 2 n+ ε 2 2 2n E(B2 2 n+) = 8ε 2 2 n. ) ( > ε P B max 2 n 2 n+ 2 > ε n donc par Borel-Canelli, presque sûremen, il exise n 0 el que pour ou n n 0, l événemen { } B max ε 2 n 2 n+ es réalisé. Ceci éan vrai pour ou ε > 0, on en dédui que presque sûremen, pour ou ε Q +, pour assez grand, B ε. 3. On sai que cee foncion es coninue. If suffi de monrer que sa covariance es la même que celle du mouvemen Brownien. 4. Loi du zéro-un de Blumenhal. I. appels. Soi (Ω, F, P ) un espace de probabiliés. On rappelle qu une sous-ribu de F es une parie de F conenan l ensemble vide e sable par passage au complémenaire e par union dénombrable, alors qu une sous-algèbre de F es une parie de F conenan l ensemble vide e sable par passage au complémenaire e par union finie. On rappelle que deux paries X, Y de F son dies indépendanes si pour ous A X, B Y, P (A B) = P (A)P (B). On rappelle aussi que si A, B son deux une sous-algèbres de F, alors A, B son indépendanes si e seulemen si les ribus qu elles engendren son indépendanes. a) Monrer qu une inersecion quelconque de sous-ribus es une sous-ribu. 4 )

5 b) Soi I un inervalle non vide de el que, ou ou I, G es une sous ribu de F elle que G G. Monrer que G := I G es une sous-algèbre de F. II. Loi du zéro-un de Blumenhal. Soi B un mouvemen Brownien e, pour ou 0, F = σ({b s ; 0 s }) e F = σ({b s ; 0 s}). On défini F 0 + := >0 F. a) Monrer que F 0 + es une sous-ribu de F e que pour ou ε > 0, b) Soi, pour ε > 0, Monrer que F 0 + = 0<<ε F. F ε := σ({b B ε ; ε }). A := ε>0 F ε es une sous-algèbre de F don la ribu engendrée es F. c) En déduire que F 0 + es indépendane de F, puis que pour ou A F 0 +, P (A) {0, }. Soluion : I. a) Bien connu. b) Chaque G conien, es sable par passage au complémenaire. Donc G aussi. De plus, pour ou A,..., A n G, il exise,..., n I el que pour ou i, A i G i. Comme pour = min i i, G es sable par union finie, on a bien A A n G. II. a) Clair par I. a) e la croissance de F. b) A es une sous-ribu de F par I. b). Soi X sa ribu engendrée. On a X F car A F. De plus, pour ou > 0, B = lim ε 0 B B ε es mesurable par rappor à X. B 0 = 0 donc es mesurable par rappor à X, donc F X. c) Pour ou ε > 0, F 0 + = 0<<ε F donc es indépendane de F ε par indépendance des accroissemens de B. On en dédui que F 0 + es indépendane de F, puis que pour ou A F 0 +, P (A) {0, } (en effe, A es indépendan de lui même, donc P (A) = P (A A) = P (A) 2 ). 5. Non dérivabilié du mouvemen brownien. Soi B un mouvemen Brownien. Monrer que p.s., B B = + e lim inf =

6 En déduire que pour ou s 0, la foncion B n es p.s. pas dérivable à droie en s. Indicaion : On pourra considérer les événemens A k = {B εk / ε k > M} pour M > 0 e une suie (ε k ) k 0 décroissan vers 0. emarque : on peu monrer que p.s., la foncion B n es dérivable en aucun poin. Soluion : On pose A k = {B εk / ε k > M}. Pour ou k, on a, par la propriéé du scaling du mouvemen brownien, P(A k ) = P(B > M) > 0. De plus, P( A k ) = lim P( A k ) P(A k ) = P(B > M). n k k n On en dédui par la loi du 0- que P( A k ) =. Cela implique que, p.s., Puis, p.s., pour ou M IN, ce qui implique puis k k k 0 B εk εk > M. B εk εk > M B εk εk = B =. En appliquan ce résula au mouvemen brownien ( B, 0), on obien la limie inférieure. On en dédui en pariculier que 0 B = + e lim inf 0 B =. En uilisan la propriéé de Markov simple en s 0 (i.e. le fai que (B s+ B s ) 0 ) es un mv Brownien), on obien 0 B s+ B s = + e lim inf 0 B s+ B s = ce qui signifie que B n es p.s. pas dérivable en s. 6. Loi de l arcsinus. Soi B un mouvemen Brownien. On défini d = inf{ : B = 0} e g = sup{ : B = 0}.. En calculan P(d ) pour >, rouver la densié de la loi de d (on rappelle que pour ou, la loi de S := sup s [0,] B s es la loi de B ). 2. On admera que le processus (X, 0) défini par X 0 = 0 e X = B / pour > 0 es un mouvemen brownien réel sandard paran de 0. Monrer que g = (d ) en loi. En déduire la densié de la loi de g (la loi de g s appelle la loi de l arcsinus). 6

7 Soluion :. Pour ou >, on a, P(d ) = P( s [, ] : B s = 0) = P( s [0, ] : B +s B = B ) = P( s [0, ] : B s = x)dµ(x), où µ es la loi de B. Noons I = inf s [0, ] B s e S = sup s [0, ] B s. Pour x 0, on a P( s [0, ] : B s = x) = P(I x) = P(S x), e pour ou x 0, Ainsi, pour ou x, P( s [0, ] : B s = x) = P(S x). P( s [0, ] : B s = x) = P(S x ). On en dédui que P(d ) = = = = P(S x )dµ(x) P( B x )dµ(x) P( B x)dµ(x) ) P ( + x2 dµ(x) B 2 = P ( + (N/N ) 2 ), où N e N son deux gaussiennes cenrées réduies indépendanes. Cela monre que d a la loi de + (N/N ) 2. Cee loi a pour densié par rappor à la mesure de Lebesgue 2. On a, p.s., πx x {x>}. g = sup{ : B = 0} = sup{/ : B / = 0} = ( inf{ : B / = 0} ) = ( inf{ : B / = 0} ) Cela implique que g a la même loi que (d ). La loi de g a donc pour densié par rappor à la mesure de Lebesgue π x( x) {0<x<}. 7

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre. 1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%

Plus en détail

Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications. Lefeuvre thomas & Ginguené franck 30 mars 2012

Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications. Lefeuvre thomas & Ginguené franck 30 mars 2012 Théorème de Cauchy-Lipschiz e applicaions Lefeuvre homas & Ginguené franck 30 mars 01 1 Table des maières 1 Théorème du poin fixe 3 1.1 Énoncé.......................................... 3 1. Démonsraion.....................................

Plus en détail

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)

TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton) TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel

Plus en détail

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 +

Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin 2015. Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 + Universié Pierre e Marie Curie Licence de Mahéaiques Séries e inégrales généralisées - Approfondisseen (2M26) Janvier-Juin 25. Devoir Maison n o Exercice : Convergence e calcul d inégrales. Éudier la naure

Plus en détail

Corrigé CNC MP 2003, Math 1

Corrigé CNC MP 2003, Math 1 Corrigé CNC MP 3, Mah Parie I. a La foncion e es coninue sur ], α] prolongeable par coninuié en, elle es donc inégrable sur ],α] b La foncion e e es coninue sur [,+ [ e. + donc elle es inégrable sur [,

Plus en détail

Exemples de résolutions d équations différentielles

Exemples de résolutions d équations différentielles Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................

Plus en détail

Texte Ruine d une compagnie d assurance

Texte Ruine d une compagnie d assurance Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose

Plus en détail

6. Étude de courbes paramétrées (C) : Ces équations sont appelées équations paramétriques de (C). { x = x t. On note parfois également.

6. Étude de courbes paramétrées (C) : Ces équations sont appelées équations paramétriques de (C). { x = x t. On note parfois également. ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 39 6. Éude de courbes paramérées 6.. Définiions Remarques La courbe (C) n es pas nécessairemen le graphe d une foncion ; c es pourquoi on parle de courbe paramérée e non pas

Plus en détail

Mouvement brownien et calcul stochastique Partiel du 26 novembre 2018

Mouvement brownien et calcul stochastique Partiel du 26 novembre 2018 Mouvemen rownien e calcul sochasique Pariel du 26 novemre 218 2 heures 3, sans documens Barème approximaif. Ex.1 : 6 ps, Ex.2 : 3 ps, Ex.3 : 6 ps, Ex.4 : 5 ps Exercice 1. Soi B un mouvemen rownien réel

Plus en détail

RELATIONS FONCTIONNELLES. I Généralités

RELATIONS FONCTIONNELLES. I Généralités Universié d'angers : LSEN relaions foncionnelles p. Parie A : Proporionnalié RELATIONS FONCTIONNELLES I Généraliés / Définiion : Soien deux suies de nombres réels : (x ;x ;x ;x 4 ) e (y ;y ;y ;y 4 ). Ces

Plus en détail

Calcul Stochastique 2 Annie Millet

Calcul Stochastique 2 Annie Millet M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3

Plus en détail

Prénom et nom : Devoir-Maison, à rendre le mardi 28 avril 2014

Prénom et nom : Devoir-Maison, à rendre le mardi 28 avril 2014 Prénom e nom : Devoir-Maison, à rendre le mardi 28 avril 2014 Exercice n 1 Un ouvrier dispose de plaques de méal de 110 cm de longueur e de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivane : «Découpe dans

Plus en détail

F 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0

F 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0 Correcion de l exercice 2 de l assisana pré-quiz final du cours Gesion financière : «chéancier e aux de renabilié inerne d empruns à long erme» Quesion : rappeler la formule donnan les flux à chaque échéance

Plus en détail

Présentation groupe de travail

Présentation groupe de travail Présenaion groupe de ravail Sofiane Saadane jeudi 23 mai 2013 Résumé L aricle sur lequel on ravaille [LP09] présene un problème de bandi à deux bras comporan une pénalié. Nous commencerons par présener

Plus en détail

La rentabilité des investissements

La rentabilité des investissements La renabilié des invesissemens Inroducion Difficulé d évaluer des invesissemens TI : problème de l idenificaion des bénéfices, des coûs (absence de saisiques empiriques) problème des bénéfices Inangibles

Plus en détail

DE PROJECTION ET DE SIMULATION DES REGIMES DE SECURITE SOCIALE

DE PROJECTION ET DE SIMULATION DES REGIMES DE SECURITE SOCIALE UNIVERSITE DE TUNIS Faculé des sciences économiques e de gesion de Tunis MODELE DE PROJECTION ET DE SIMULATION DES REGIMES DE SECURITE SOCIALE Ezzeddine MBAREK 2010 1 INTRODUCTION Le modèle que je propose

Plus en détail

EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry. Monique Jeanblanc

EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry. Monique Jeanblanc EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry Monique Jeanblanc Universié d EVRY Mars 29 2 Conens 1 Rappels 7 1.1 Tribu............................................. 7 1.2 Variables gaussiennes....................................

Plus en détail

e t e itx e t e itx x (x, t) = i te t e itx. x te t

e t e itx e t e itx x (x, t) = i te t e itx. x te t Correcion ES-Analyse - ES - - 15-16 - Correcion - Analyse I Exercice 1. On remarque d abord que f es bien définie pour ou x. En effe, on a : e e ix e. Cee foncion es inégrable sur [, + [, car en elle es

Plus en détail

Procédé thermocyclique de régulation de température

Procédé thermocyclique de régulation de température - 1 - Innovaion echnologique dans le domaine de la régulaion de empéraure, le procédé hermocyclique foncionne selon un principe unique en son genre qui n a rien en commun avec les régulaions par hermosa

Plus en détail

Page # $ %& +',- VAN = 30; F 2 = 50; F 3 = 140. = -200 ; F 1. Avec r = 3% => VAN = 4,38 > 0. Avec r = 5% => VAN = -5,14 < 0.

Page # $ %& +',- VAN = 30; F 2 = 50; F 3 = 140. = -200 ; F 1. Avec r = 3% => VAN = 4,38 > 0. Avec r = 5% => VAN = -5,14 < 0. # $ %& 1. La VAN. Les aures crières 3. Exemple. Choix d invesissemen à long erme 5. Exercices!" '* '( Un proje ne sera mis en œuvre que si sa valeur acuelle nee ou VAN, définie comme la somme acualisée

Plus en détail

Mesures de risque dynamiques, pricing d options vanilles et EDSR quadratiques.

Mesures de risque dynamiques, pricing d options vanilles et EDSR quadratiques. Mesures de risque dynamiques, pricing d opions vanilles e EDSR quadraiques. Cyrille Guillaumie 1 Thibau Masrolia 2 Rappor echnique rendu en juin 213 1. European Securiies and Markes Auhoriy, cyrille.guillaumie@esma.europa.eu

Plus en détail

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 0 et l échéance N. Définition 5.1. Une option américaine est définie par une suite (h n ) n=0..n,

Plus en détail

1 Le hacheur série. 30 mars 2005

1 Le hacheur série. 30 mars 2005 e hacheur série A. Campo 30 mars 2005 1 e hacheur série 1.1 Généraliés e hacheur es un disposiif permean d obenir une ension coninue de valeur moyenne réglable à parir d

Plus en détail

TD Master 2 Martingales et calcul stochastique

TD Master 2 Martingales et calcul stochastique Universié d Orléans Maser Recherche de Mahémaiques 1-11 1 TD Maser Maringales e calcul sochasique Corrigé des exercices du chapire 8 Inégrale d Iô Exercice 8.1 On considère les deux processus sochasiques

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Introduction aux modèles financiers

Introduction aux modèles financiers Notes pour le module spécifique Introduction aux modèles financiers Ecole Centrale de Lyon Option Mathématiques 1 2 Introduction Quelques références Pour comprendre les marchés financiers, avoir un apreçu

Plus en détail

Examen de janvier 2012

Examen de janvier 2012 Insiu Tunis-Dauphine Inégrale de Lebesgue e Probabiliés Examen de janvier 212 Deux heures. Sans documen, ni calcularice, ni éléphone, ec. Chaque quesion numéroée vau le même nombre de poins. Il es demandé

Plus en détail

Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little.

Files d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little. Cours de Tronc Commun Scienifique Recherche Opéraionnelle Les files d aene () Les files d aene () Frédéric Sur École des Mines de Nancy www.loria.fr/ sur/enseignemen/ro/ 5 /8 /8 Exemples de files d aene

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle

Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle Eercices de baccalauréa série S sur la loi eponenielle (page de l énoncé/page du corrigé) La compagnie d'auocars (Bac série S, cenres érangers, 23) (2/) Durée de vie d'un composan élecronique (Bac série

Plus en détail

ECO434, Ecole polytechnique, 2e année PC 5 Flux de Capitaux Internationaux et Déséquilibres Mondiaux

ECO434, Ecole polytechnique, 2e année PC 5 Flux de Capitaux Internationaux et Déséquilibres Mondiaux ECO434, Ecole polyechnique, 2e année PC 5 Flux de Capiaux Inernaionaux e Déséquilibres Mondiaux Exercice 1 : Flux de capiaux dans le modèle de croissance néoclassique Le modèle es en emps coninu. On considère

Plus en détail

Rappels sur les suites.

Rappels sur les suites. UFR SFA, Licence 2 e année, MATH326 Rappels sur les suies. Dans oue la suie, K désigne R ou C. 1. Généraliés sur les suies. Définiion. Une suie à valeurs dans K es une applicaion u de N, privé évenuellemen

Plus en détail

Caractéristiques des signaux électriques

Caractéristiques des signaux électriques Sie Inerne : www.gecif.ne Discipline : Génie Elecrique Caracérisiques des signaux élecriques Sommaire I Définiion d un signal analogique page 1 II Caracérisiques d un signal analogique page 2 II 1 Forme

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

TD 4 : correction. L3 Intégration Exercice 1. Fonctions presque nulles. On considère la suite d ensembles mesurables A n = x R f(x) 1.

TD 4 : correction. L3 Intégration Exercice 1. Fonctions presque nulles. On considère la suite d ensembles mesurables A n = x R f(x) 1. L3 Inégraion 1 212-213 TD 4 : correcion Eercice 1. Foncions presque nulles } On considère la suie d ensembles mesurables A n = Rf( 1. n Par hypohèse, ils son ous de mesure nulle : = f dλ 1 A n n µ(a n.

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Corrigé épreuve blanche du 20/10/2010

Corrigé épreuve blanche du 20/10/2010 Corrigé épreuve blanche du // I : Un exercice de dénombremen. Soi x le plus pei élémen de F. Tou cycle c de F s écri de manière unique sous la forme c = x, x,..., x où x,..., x es une permuaion arbiraire

Plus en détail

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce documen a éé mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Naionale des Sujes d Examens de l enseignemen professionnel. Base Naionale des Sujes d'examens de l'enseignemen professionnel

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2016

Corrigé : EM Lyon 2016 Exercice : Parie I : Éude de la marice A A 2 = 2 ai +ba+ca 2 = Corrigé : EM Lyon 26 Opion économique 2 On cherche ous les réels a, b, c els que ai +ba+ca 2 = On a : a+c b c b a+2c b = c b a+c a+c = b =

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

x k = x + x x n.

x k = x + x x n. PCSI DEVOIR de MATHÉMATIQUES n pour le 9/11/00 EXERCICE 1 : Pour ou n IN e x IR +, on pose f n (x) = n x k = x + x + + x n. 1. Monrer que l équaion f n (x) = 1 adme une unique soluion, noée u n, dans IR

Plus en détail

L évaluation immobilière. Michel Baroni 27/11/2009

L évaluation immobilière. Michel Baroni 27/11/2009 L évaluaion immobilière Michel Baroni 27/11/2009 Méhodes exisanes Méhodes des comparables Dépend de la base de données; méhode hédonique évenuellemen possible Méhodes de capialisaion Dépend de la base

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université de Franche-Comté)

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Montrer que la fonction

Montrer que la fonction Théorème de convergence dominée. Théorème d inégraion erme à erme. Théorème de coninuié des inégrales à paramère. Caracère k des foncions définies par une inégrale. Monrer que la foncion L : x cos() e

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Corrigé TD 12 Fonctions caractéristiques

Corrigé TD 12 Fonctions caractéristiques Corrigé TD Foncions caracérisiques Eercice. Sur un espace de probabilié (Ω, F, P, on se donne (X, Y une variable aléaoire à valeurs dans.. On suppose que la loi de (X, Y es λµe λ µy + (, y d dy. Déerminer

Plus en détail

Traitement du Signal Déterministe

Traitement du Signal Déterministe Cours e ravaux Dirigés de raiemen du Signal Déerminise Benoî Decoux (benoi.decoux@wanadoo.fr) - s - ère parie : "Noions de base e éudes emporelles" Bases du raiemen de signal Calculer l ampliude de la

Plus en détail

TRAITEMENT DU SIGNAL

TRAITEMENT DU SIGNAL Spé y -4 Devoir n TAITMNT D SIGNAL Parie I OMPOTMNT DYNAMIQ D N LAM D QATZ On considère une lame de quarz, cylindrique, de secion S consane, d axe Ox (de veceur uniaire r u X ), don les deux faces e en

Plus en détail

INSTRUMENTATION ELECTRIQUE OSCILLOSCOPE NUMERIQUE GENERATEUR BASSE FREQUENCE UTILISE EN SINUSOIDAL Etude théorique

INSTRUMENTATION ELECTRIQUE OSCILLOSCOPE NUMERIQUE GENERATEUR BASSE FREQUENCE UTILISE EN SINUSOIDAL Etude théorique 1 INSUMENAION ELEIQUE OSILLOSOPE NUMEIQUE GENEAEU BASSE FEQUENE UILISE EN SINUSOIDAL Eude héorique 1 Noions élémenaires 1.1 Masse e erre : Lorsqu on mesure une ension, on mesure en fai une différence de

Plus en détail

CH.3 PROBLÈME DE FLOTS

CH.3 PROBLÈME DE FLOTS H.3 PROLÈME E FLOTS 3.1 Le réeaux de ranpor 3.2 Le flo maximum e la coupe minimum 3.3 L'algorihme de Ford e Fulkeron 3. Quelque applicaion Opi-comb ch 3 1 3.1 Le réeaux de ranpor Réeau de ranpor : graphe

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2002

CONCOURS COMMUN 2002 CONCOURS COMMUN DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mahémaiques (oues filières) Problème d analyse.. f es coninue sur R en an que quoien de foncions coninues sur R don le dénominaeur

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Fiabilité

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Fiabilité BTS Mécanique e Auomaismes Indusriels Fiabilié Lcée Louis Armand, Poiiers, Année scolaire 23 24 . Premières noions de fiabilié Fiabilié Dans ou ce paragraphe, nous nous inéressons à un disposiif choisi

Plus en détail

Recueil d'exercices de logique séquentielle

Recueil d'exercices de logique séquentielle Recueil d'exercices de logique séquenielle Les bascules: / : Bascule JK Bascule D. Expliquez commen on peu modifier une bascule JK pour obenir une bascule D. 2/ Eude d un circui D Q Q Sorie A l aide d

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. et x désigne alors la matrice à 1 ligne et n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ;

MATHÉMATIQUES II. et x désigne alors la matrice à 1 ligne et n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ; MATHÉMATIQUES II Dans ce problème, nous éudions les propriéés de ceraines classes de marices carrées à coefficiens réels e cerains sysèmes linéaires de la forme Ax = b d inconnue x IR n, A éan une marice

Plus en détail

Propriétés des options sur actions

Propriétés des options sur actions Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,

Plus en détail

Exercices d intégration et d analyse fonctionnelle

Exercices d intégration et d analyse fonctionnelle Exercices d inégraion e d analyse foncionnelle Agrégaion 29-2 Exercice : Monrez que si f : IR + IR es uniformémen coninue e que f() d converge alors f a pour limie en +. Donnez un exemple de foncion g

Plus en détail

Mines d Albi,Alès,Douai,Nantes Toutes filières - Corrigé

Mines d Albi,Alès,Douai,Nantes Toutes filières - Corrigé Mines d Albi,Alès,Douai,Nanes - Toues filières - Corrigé Cee correcion a éé rédigée par Frédéric Bayar. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésiez pas à écrire à : mahweb@free.fr

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME

CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEE 1 SYSTEE STABLE, SYSTEE INSTABLE 1.1 Exemple 1: Soi un sysème composé d une cuve pour laquelle l écoulemen (perurbaion) es naurel au ravers d une vanne d ouverure

Plus en détail

TB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2

TB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2 enrées série TB logiciel d applicaion 2 enrées à émission périodique famille : Inpu ype : Binary inpu, 2-fold TB 352 Environnemen Bouon-poussoir TB 352 Enrée 1 sories 230 V Inerrupeur Enrée 2 Câblage sur

Plus en détail

Correction du concours blanc

Correction du concours blanc L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB - D. Bloière Mahémaiques Correcion du concours blanc Problème Probabiliés Un mobile se déplace aléaoiremen le long d un ae horional d origine O, sur des poins de coordonnées enières,

Plus en détail

Calculs de probabilités

Calculs de probabilités Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile

Plus en détail

Solutions auto-similaires et espaces de données initiales. 2 ), l équation de Schrödinger. Introduction. Fabrice Planchon

Solutions auto-similaires et espaces de données initiales. 2 ), l équation de Schrödinger. Introduction. Fabrice Planchon Soluions auo-similaires e espaces de données iniiales pour l équaion de Schrödinger Fabrice Planchon Résumé. On démonre que pour des peies données iniiales dans Ḃ 1, (R3 ), l équaion de Schrödinger non

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Corrigé CCP 1 PSI 2014

Corrigé CCP 1 PSI 2014 Parie Corrigé CCP PSI 4 Dans oues les quesions géomériques, le plan es muni d'un repère orhonormé ( O, i, ) j La courbe représenaive de f es le segmen [OA], où A es de coordonnées (, ) : sa longueur es

Plus en détail

Devoir surveillé n o 5 (4

Devoir surveillé n o 5 (4 Devoir surveillé n o 5 4 heures) Ce devoir es consiué d'un eercice e de deu problèmes de concours)l'ordre des eercices ne correspond à aucun crière de diculé ou de longueur : vous pouvez les raier dans

Plus en détail

1 Problème d analyse : intégrale de Dirichlet

1 Problème d analyse : intégrale de Dirichlet Arnaud de Sain Julien - MPSI Lycée La Merci 16-17 1 Corrigé du Concours blanc DS 8 du mercredi 31 mai Durée : 4 heures de 8h à 1h. Les calcularices son inerdies. Les copies illisibles ou mal présenées

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. On note A la matrice transposée d une matrice A. On note det( A) le déterminant d une matrice A appartenant à M n ( IR)

MATHÉMATIQUES II. On note A la matrice transposée d une matrice A. On note det( A) le déterminant d une matrice A appartenant à M n ( IR) Dans ou le problème, n es un enier naurel supérieur ou égal à 2 On noe l ensemble des marices carrées réelles de aille n e M n ( IC ) l ensemble des marices carrées complexes de aille n On noe A la marice

Plus en détail

CORRIGE DU SUJET 1. x x3 6 + o(x3 ) 1 6 x+o(x) ϕ (x) = 1 x 2 + cos(x) sin 2 (x) 3 x2 + o(x 2 ) = 1. x ) f (t)cos(nt)dt

CORRIGE DU SUJET 1. x x3 6 + o(x3 ) 1 6 x+o(x) ϕ (x) = 1 x 2 + cos(x) sin 2 (x) 3 x2 + o(x 2 ) = 1. x ) f (t)cos(nt)dt CORRIGE DU SUJET Problème. On écri le développemen limié à l ordre 3 de sin en : donc ϕx) x x x x sinx) x x x3 6 + ox3 ) 6 + ox ) ) x x x ) + x 6 + ox ) Ainsi ϕx) x 6 x+ox) La foncion ϕ possède un développemen

Plus en détail

TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee

TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee Université Paris VI Master 1 : Modèles stochastiques pour la finance (4M065) 2013/2014 TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee Dans toute cette feuille (sauf dans l exercice sur

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Corrigé de l épreuve Math C, Banque PT Nathalie Planche. 1. Pour tout réel t, car y est solution de ( ) et a ne s annule pas sur.

Corrigé de l épreuve Math C, Banque PT Nathalie Planche. 1. Pour tout réel t, car y est solution de ( ) et a ne s annule pas sur. Corrigé de l éreuve Mah C, Banque PT Nahalie Planche Préambule:. Pour ou réel, car y es soluion de ( ) e a ne s annule as sur. = On a donc bien monré que es soluion du sysème différeniel (S) :. L équaion

Plus en détail

Les solutions solides et les diagrammes d équilibre binaires. sssp1. sssp1 ssss1 ssss2 ssss3 sssp2

Les solutions solides et les diagrammes d équilibre binaires. sssp1. sssp1 ssss1 ssss2 ssss3 sssp2 Les soluions solides e les diagrammes d équilibre binaires 1. Les soluions solides a. Descripion On peu mélanger des liquides par exemple l eau e l alcool en oue proporion, on peu solubiliser un solide

Plus en détail

Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres

Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres Correcion Eercices Chapire - Inégrales impropres. Déerminer si les inégrales suivanes son convergenes, e le cas échéan, calculer leur valeur :.. 3. 4. e d. d ( + ) d e d 5. 6. 7. 8. d 3 d e d d +. Convergence

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Comment se détermine le taux de change entre deux monnaies? (résumé du cours - le 12 octobre 2015 )

Comment se détermine le taux de change entre deux monnaies? (résumé du cours - le 12 octobre 2015 ) Comment se détermine le taux de change entre deux monnaies? (résumé du cours - le 12 octobre 2015 ) Le taux de change donne le prix des monnaies entre elles. Comment se fixe ce prix? Pourquoi peut- il

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2013-2014. TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé

Intégration et probabilités ENS Paris, 2013-2014. TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé Intégration et probabilités NS Paris, 23-24 TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé xercices à préparer du TD 4 xercice. (Partiel 27 Soit (,,µ un espace mesuré et f : + une fonction mesurable.. On suppose

Plus en détail

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Fonction dont la variable est borne d intégration

Fonction dont la variable est borne d intégration [hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés 1 Foncion don la variable es borne d inégraion Eercice 1 [ 1987 ] [correcion] Soi f : R R ne foncion conine. Jsifier qe les foncions g : R R sivanes

Plus en détail

Mines Math1 PSI Un corrigé

Mines Math1 PSI Un corrigé Mines 26 - Mah PSI Un corrigé Préliminaire Le cours nous apprend que pour ou réel α, on a x ], [, ( + x α + En choisissan α /2 e en subsiuan x à x, on a donc α(α (α + x! x ], [, x + a x avec a 2, : a +

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. d argument --. Si z IC, on note Mz () l image de z dans ε. Si K est un souscorps

MATHÉMATIQUES II. d argument --. Si z IC, on note Mz () l image de z dans ε. Si K est un souscorps MATHÉMATIQUES II Dans ou le problème, ε désigne le plan affine euclidien IR 2 rapporé à son repère orhonormé canonique ( OI ;, J) On noe i le complexe de module 1 e π d argumen -- Si z IC, on noe Mz ()

Plus en détail

Chapitre 15 c Circuits RL et RC

Chapitre 15 c Circuits RL et RC Chapire 15 c Circuis L e C en régime impulsionnel Sommaire Circuis en régime impulsionnel Signal impulsionnel Mesure d'un circui C en régime impulsionnel Applicaion praique Eude du circui C en régime impulsionnel

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50 10. Estimation MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: estimation 1/50 Plan 1. Introduction 2. Estimation ponctuelle 3. Estimation par intervalles de confiance 4. Autres

Plus en détail

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09 IAE Gustave Eiffel Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09 Épreuve du 15 juillet 2009 Durée : 1 heure 30 Calculatrices

Plus en détail

L = 15 m. 1) Modéliser le pont ainsi que ses appuis (fibre moyenne et représentation des appuis).

L = 15 m. 1) Modéliser le pont ainsi que ses appuis (fibre moyenne et représentation des appuis). ESTP TP1 nnée 2008-2009 PPLICTION 1 : POUTRES DROITES ISOSTTIQUES EXERCICE 1 On considère un pon en béon, de longueur 15 m, don la secion es une dalle en béon armé de largeur 5m e d épaisseur 0,9 m. Le

Plus en détail

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques A MP

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques A MP SESSION 5 Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mahémaiques A MP Parie I 1. Les soluions de l équaion différenielle E sur l inervalle I formen un R-espace vecoriel de dimension. Les

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Mathématiques MP - Corrigé du DS 3

Mathématiques MP - Corrigé du DS 3 Mahémaiques MP - Corrigé du DS 3 Exercice a d C (R e, d ( = sin( d es donc croissane sur R On a donc, d( d( e donc >, cos( De plus pour >, cos( car cos b δ es de classe C sur R e, δ ( = sin( e δ ( = cos(

Plus en détail

Concours commun 2007 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes.

Concours commun 2007 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. Concours commun 7 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nanes. L emploi d une calcularice es inerdi Pour ou R + on défini : ( f () = exp 1 ) e g() = f () Problème 1 Parie 1 (Généraliés) 1 Prouver que

Plus en détail

PRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I.

PRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I. PRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I.. Donner les erreurs en position, en vitesse et en accélération d un système de transfert F BO = N(p) D(p) (transfert en boucle ouverte) bouclé par retour

Plus en détail