Développements limités

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1 [ édité le 0 juillet 04 Eocés Développemets limités Calcul de développemets limités Eercice [ 0447 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (π/4) de si b) DL 4 () de l c) DL 5 (0) de shch() ch. Eercice [ 006 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (0) de l + + b) DL 3 (0) de l( + si ) c) DL 3 () de cos(l()) Eercice 6 [ 045 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (0) de l(+) e b) DL (0) de arcta ta c) DL () de l Eercice 7 [ 0075 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (0) de si b) DL (0) de c) DL 3 (0) de cos si() ep() ch sh ch Eercice 8 [ 0449 ] [correctio] Former le DL 3 () de arcta Eercice 3 [ ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (0) de l( + e ) b) DL 3 (0) de l( + si ) c) DL 3 (0) de 3 + cos Eercice 4 [ 009 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (0) de e + b) DL 3 (0) de l( + + ) c) DL 3 (0) de l(3e + e ) Eercice 5 [ 0448 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL (0) de ( + ) / b) DL 4 (0) de l si c) DL 4 (0) de l sh Eercice 9 [ 045 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 0 (0) de dt +t 4 ( 999 ) b) DL 000 (0) de l k Eercice 0 [ 0453 ] [correctio] Eprimer le développemet limité à l ordre e 0 de à l aide de ombres factoriels. Eercice [ 0454 ] [correctio] Pour α = / et k N, eprimer α(α )... (α k + ) à l aide de ombres factoriels. E déduire ue epressio du DL + (0) de puis du DL +(0) de arcsi(). Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 0 juillet 04 Eocés Eercice [ 0455 ] [correctio] Pour N, détermier le développemet limité à l ordre + de O pourra commecer par calculer la dérivée de cette foctio. l +. Eercice 8 [ 0343 ] [correctio] Former le développemet asymptotique quad + de arcta à la précisio / 3. Eercice 3 [ 0456 ] [correctio] Motrer que l applicatio f : R R défiie par f() = e admet ue applicatio réciproque défiie sur R et former le DL 5 (0) de f. Eercice 4 [ 0305 ] [correctio] E calculat de deu faços le développemet limité à l ordre de (e ), établir que pour tout 0 l ( ) k k l 0 si l < = k l! si l = Eercice 5 [ 059 ] [correctio] Soiet N, et f l applicatio de R das R défiie par f() = si si 0 et f(0) = 0 a) Motrer que f est dérivable sur R. b) f admet-elle u développemet limité e 0? si oui à quel ordre maimal? Notio de développemet asymptotiques Eercice 9 [ 0459 ] [correctio] Réaliser u développemet asymptotique de la suite cosidérée à la précisio demadée : a) u = l( + ) à la précisio / b) u = + + à la précisio / c) u = + à la précisio / d) u = ( + ) à la précisio /. Eercice 0 [ 0476 ] [correctio] Former le développemet asymptotique, e +, à la précisio / de u =! Applicatios à l étude de foctios Eercice [ 046 ] [correctio] Détermier u équivalet simple des foctios proposées au voisiage de 0 : a) ( + cos ) 3 si b) (si ) c) arcta() arcta() Eercice 6 [ 0457 ] [correctio] Former le développemet asymptotique e 0 de l epressio cosidérée à la précisio demadée : a) l(+) à la précisio 5/ b) à la précisio ( l ) Eercice [ 046 ] [correctio] Détermier les limites suivates : a) lim 0 si b) lim 0 l( + ) c) lim 0 ( + ) / e Eercice 7 [ 0458 ] [correctio] Former le développemet asymptotique e + de l epressio cosidérée à la précisio demadée : a) + à la précisio / 3/. b) l( + ) ( + ) l à la précisio /. c) + à la précisio /. Eercice 3 [ 0463 ] [correctio] Détermier les limites suivates : ( + 3 ) /( ) a) lim b) lim / + ( l( + ) l ) l a a c) lim a arcta arcta a a Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 0 juillet 04 Eocés 3 Eercice 4 [ 0464 ] [correctio] Soit f : ], 0[ ]0, + [ R défiie par f() = l( + ) Motrer que f peut être prologée par cotiuité e 0 et que ce prologemet est alors dérivable e 0. Quelle est alors la positio relative de la courbe de f par rapport à sa tagete e ce poit? Eercice 5 [ 0465 ] [correctio] Soiet a u réel o ul et f la foctio défiie au voisiage de 0 par f() = l( + a) + Détermier les évetuelles valeurs de a pour lesquelles f présete u poit d ifleio e 0. Eercice 6 [ 0466 ] [correctio] Motrer que la foctio f : e peut être prologée e ue foctio de classe C sur R. Eercice 7 [ 0467 ] [correctio] Soit f : ( + )e / défiie sur R +. Former u développemet asymptotique de f à la précisio / e +. E déduire l eistece d ue droite asymptote e + à la courbe représetative de f. Etudier la positio relative de la courbe et de so asymptote e +. Eercice 8 [ 0468 ] [correctio] Soit f : (l( + ) l()) défiie sur R +. Former u développemet asymptotique de f à la précisio / e +. E déduire l eistece d ue droite asymptote e + à la courbe représetative de f. Etudier la positio relative de la courbe et de so asymptote e +. Eercice 9 [ 0469 ] [correctio] Etudier les asymptotes de Eercice 30 [ 0470 ] [correctio] Soit f : R R défiie par 3 ( )( + 3) f() = e / si 0 0 sio Motrer que f est de classe C et que pour tout N, f () (0) = 0. C est ici u eemple de foctio o ulle dot tous les DL (0) sot uls. Eercice 3 [ 047 ] [correctio] Soit f : ]0, [ ], + [ R l applicatio défiie par f() = dt l t a) Motrer que f est covee sur ]0, [ et ], + [. b) Motrer que, pour tout > o a : E déduire que dt t l t dt l t dt t l t lim f() = l. De même, établir : lim + c) O prologe f par cotiuité e, e posat f() = l. Motrer que f aisi prologée est de classe C sur ]0, + [. Etablir la coveité de f sur ]0, + [. f() = l. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 0 juillet 04 Eocés 4 Applicatio à l étude de suites Eercice 3 [ 047 ] [correctio] Détermier u équivalet simple de la suite dot le terme gééral est : a) + b) l( + ) l + c) + + Eercice 33 [ 0473 ] [correctio] Détermier les limites suivates : a) lim si ( b) lim si ) c) lim ( ( + ) / /) Eercice 34 [ 0474 ] [correctio] Soiet a et b deu réels strictemet supérieurs à. Détermier ( ) a + b lim + Eercice 35 [ 0475 ] [correctio] Détermier ( lim 3 ) 3 + Applicatio à l étude de poits siguliers Eercice 36 [ 0480 ] [correctio] Pour chacue des courbes qui suivet, détermier les poits siguliers et préciser l allure de la courbe au voisiage de ceu-ci : a) (t) = t tht y(t) = /cht (t) = 3t t 3 (t) = t + t 4 b) y(t) = t t 4 c) y(t) = t + t 5 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 5 Correctios Eercice : [éocé] a) si() = + ( π 4 ) 4 ( π 4 ) ( π 4 )3 + o(( π 4 )3 ) b) l = ( ) 5 ( ) ( )3 77 ( )4 + o(( )) 4. c) shch() ch = o( 5 ). Eercice ( ): [éocé] a) l = l( + ) l( + ) = o( 3 ) + + b) l( + si ) = o( 3 ). c) cos(l ) = ( ) + ( )3 + o(( ) 3 ). Eercice 3 : [éocé] a) l( + e ) = l o( 3 ) b) l( + si ) = l o( 3 ) c) 3 + cos = 8 + o( 3 ) Eercice 4 : [éocé] a) e + = e + e + e o( 3 ). b) l ( + + ) = l o( 3 ) c) l(3e + e ) = l o( 3 ) Eercice 5 : [éocé] a) ( + ) / = e e + e 4 + o( ) b) l si = o( 4 ) c) l sh = o( 4 ) Eercice 6 : [éocé] a) l(+) e = o( 3 ) b) arcta ta = 3 + o( ) c) l = + ( ) ( ) + o(( ) ) Eercice 7 : [éocé] a) si cos = o( 3 ) b) si ep() = + o( ) c) ch sh ch = o( 3 ) Eercice 8 : [éocé] O primitive de DL () de + : arcta = π 4 + ( ) 4 ( ) + ( )3 + o(( ) 3 ). Eercice 9 : [éocé] a) +t 4 puis b) l ( 999 = t t8 + o(t 9 ) dot 0 dt = +t 4 k ) 000! o( 000 ). 0 dt +t 4 0 dt = t +t 4 0 t5 + 4 t9 + o(t 0 ) dt = + +t o( 0 ) = l(e ! + o(000 )) = l(e ) + l( 000 e 000! + o( 000 )) = Eercice 0 (: [éocé] ) = / ( ) k + o( ) avec k / = ( )( ) ( 3 k ) = ( ) k.3...(k ) = ( ) k (k)!. k k ( k ) Au fial, = (k)! ( k ) k + o( ) Eercice : [éocé] O a α(α )...(α k + ) Doc puis = arcsi = = ( )k 3 k (k)! k () k + o( + ) = ( )k (k)! k () (k)! k (k + )() k+ + o( + ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 6 Eercice : [éocé] + l = et = o( + ). Doc + l = o( + ). Eercice 3 : [éocé] f est de classe C sur R et f () = ( + )e > 0 de plus lim f = +, lim f =. + Doc f réalise ue bijectio de R vers R et f est de classe C sur R. E particulier f admet ue DL 5 (0), de plus comme f est impaire, f l est aussi et le DL 5 (0) de f est de la forme : f () = a + b 3 + c 5 + o( 5 ) E réalisat u DL 5 (0) de f (f()) o obtiet : Or f (f()) =, doc : f (f()) = a + (a + b) 3 + ( a + 3b + c)5 + o( 5 ) a =, b = et c = 5 Eercice 5 : [éocé] a) f est évidemmet dérivable e tout a R et aussi dérivable e 0 avec f (0) = 0. b) f admet pour développemet limité à l ordre : f() = o( ). Si f admet u DL (0) celui-ci serait de la forme f() = a + o( ) ce qui etraîe que si(/) admet ue limite fiie e 0 ce qui est otoiremet fau. Eercice 6 : [éocé] a) l(+) = 3/ + 3 5/ + o( 5/ ) b) = + l + l + o( l ) Eercice 7 : [éocé] a) + = + / = + 8 b) l( + ) ( + ) l = l + c) + = e e + e 4 + o + o ( 3/ + 3 3/ ). + o ( ) Eercice 4 : [éocé] D ue part e = + o() doe D autre part or (e ) = + o( ) (e ) = e k = doc, e réordoat les sommes (e ) = ( ) k e k k l=0 l=0 k l l! l + o( ) ( ) k k l k l! L uicité des développemets limités etraîe la relatio proposée. l Eercice 8 : [éocé] O a pour > 0 doc arcta = π arcta arcta = π o 3 Eercice 9 : [éocé] a) l( + ) = l + + o. b) + + = o 5/. 5/ c) + = o ( ). d) ( + ) = e e + e 4 + o. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 7 Eercice 0 : [éocé] O a u =! Or Doc 0 4 4! = ( ) + ( )( ) + Eercice : [éocé] Par développemets limités : a) ( + cos ) 3 si ( 4)!!! ( )( )( 3) = o(/ ) u = o ( ) 60 5 b) (si ) = ( ( si c) arcta() arcta() 3 Eercice : [éocé] a) lim 0 si = 3 b) lim 0 l(+) = c) lim / e = e. 0 (+) Eercice 3 : [éocé] ( +3 ) ) 6 3 ) /( ) a) lim + +5 = / 3 64/3 5 5/6 l b) lim l(+) + l = e c) a a a a ( l a)( a) si a et arcta() arcta(a) (arcta(a)) ( a) = ( a) +a. Si a, Si a =, lim a a a arcta arcta a = aa ( + a )( l a) lim a a a arcta arcta a = Eercice 4 : [éocé] O a f() = o( ) Par suite f peut être prologée par cotiuité e 0 e posat f(0) =. De plus ce prologemet est dérivable e 0 et f (0) = 3. L équatio de la tagete e 0 est y = + 3 et la courbe est localemet e dessous de celle-ci. Eercice 5 : [éocé] O a f() = a a( + a) + a( + a + 3 a ) 3 + o( 3 ) Pour que f présete u poit d ifleio e 0, il faut que a( + a) = 0 i.e. : a =. Iversemet si a =, f() = o( 3 ) et par suite f présete u poit d ifleio e 0. Eercice 6 : [éocé] f est défiie sur R et se prologe par cotiuité e 0 e posat f(0) =. f est de classe C sur R et f () = e e (e ) = + o( ) + o( ) 0 doc f est dérivable e 0 avec f (0) = / et fialemet f est de classe C sur R. Eercice 7 : [éocé] O a f() = ( + )e / = o Par suite, la droite d équatio y = + est asymptote à la courbe et la courbe est au dessus de celle-ci. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 8 Eercice 8 : [éocé] O a f() = (l( + ) l()) = l o La droite d équatio y = l. + est asymptote à la courbe et la courbe est e dessous de celle-ci. Eercice 9 : [éocé] O a 3 ( )( + 3) = = o La droite d équatio y = + est asymptote à la courbe e + (resp. ). Courbe e dessous (resp. au dessus) de l asymptote e + (resp. ). Eercice 30 : [éocé] f est évidemmet de classe C sur R. Motros par récurrece que f est de classe C et que f () est de la forme : f () () = P (/)e / pour 0 avec P R [X]. Pour = 0 : ok. Supposos la propriété établie au rag 0. f () est cotiue, dérivable sur R et pour 0, f (+) () = P e / + 3 P e / = P + e / avec P + R [X]. Récurrece établie. Pour tout N, f () () = y=/ P ( y)e y 0 quad 0 + et de même quad 0. Par le théorème du prologemet C das ue versio gééralisée, o obtiet que f est de classe C et f () (0) = 0 pour tout N. Par suite f () est dérivable e 0 et f (+) (0) = 0. Eercice 3 : [éocé] a) Soit G ue primitive de la foctio t /l t sur ]0, [ (resp. sur ], + [). Pour tout ]0, [ (resp. ], + [), o a f() = G( ) G(). O e déduit que f est de classe C sur ]0, [ (resp. sur ], + [) et O a alors f () = l l = l f () = l + (l ) Soit g() = l + sur R +. g est de classe C et g () = l(). Puisque g() = 0, la foctio g est positive puis f 0 sur ]0, [ (resp. ], + [). b) Pour >, D où Comme puis lim f() = l. + Pour <, D où t [, ], dt t. l t dt t. l t = l, o obtiet t l t l t dt l t l f() l t [, ], dt t. l t t l t dt t. l t t l t l t t l t dt l t dt t. l t O obtiet l f() l puis lim f() = l. c) f est cotiue sur ]0, + [, de classe C sur ]0, [ et ], + [ et f ( + h) = h l( + h) h 0 Par le théorème de prologemet C, o a f de classe C et f () =. De même, e eploitat f ( + h) = ( + h) l( + h) h ( + h)(l( + h)) h / ( + h)h h 0 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 9 o obtiet que f est de classe C et f () = /. Comme f est positive sur ]0, + [, o peut coclure que f est covee sur R +. Eercice 3 : [éocé] a) b) + 4 l( + ) l l( + /) = / + ( + / ) / = 3/ c) + + = e l(+) + e l et doc e l(+) l( + ) + = e l = + l + or l( + ) + ( + ) 6 ( l ) = l Eercice 33 : [éocé] a) si = doc lim si = ( l( + ) ( + ) 3 l (l ) 3 + o l + o b) ( si ) = e l( si ) = e 6 +o() doc lim c) ( ( + ) / /) = e l lim ( ( + ) / /) = Eercice 34 : [éocé] O a a + b = a/ + b / doc ( ) a + b = e (e l(+/) = e l a (l(+ l a+l b + e l b ) e l = + l ) 3 (l ) 3 + o 3 si = 6 e. doc l a + l b 3 + o (/) +o(/)) l a+l b = e +o() ab Eercice 35 : [éocé] O a 3 3 = 3e l e l 3 = + 3 l l 3 doc ( 3 ) 3 = e l(3 + 3) = e l(8/9)+o() 8 9 Eercice 36 : [éocé] Notos M(t) le poit courat de l arc cosidéré. a) O a (t) = th t y (t) = sht/ch t doc (t) = 0 y (t) = 0 t = 0 Le poit M(0) est le seul poit sigulier. Puisque (t) = 3 t3 + o(t 3 ) O obtiet p =, q = 3 car y(t) = t + o(t ) 0 /3 / o O a u poit de rebroussemet de première espèce, tagete dirigée par u(0, ). b) O a (t) = 3( t ) y (t) = 4t( t ) doc (t) = 0 y (t) = 0 t = ± Les poits M() et M( ) sot les seuls poits siguliers. Puisque ( t) = (t) y( t) = y(t) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 0 juillet 04 Correctios 0 M( t) est symétrie de M(t) par rapport à (Oy). Il suffit d étudier M(). O a ( + h) = 3h h 3 doc p = et q = 3 car y( + h) = 4h 4h 3 + o(h 3 ) O a u poit de rebroussemet de première espèce, tagete dirigée par u( 3, 4). c) O a (t) = t + 4t 3 y (t) = t + 5t 4 doc (t) = 0 y (t) = 0 t = 0 Le poit M(0) est le seul poit sigulier. Puisque (t) = t + t 4 y(t) = t + o(t 4 ) doc p = et q = 4 car 0 0 = 0 et 0 0 O a u poit de rebroussemet de secode espèce, tagete dirigée par u(, ). Puisque y(t) (t) = t 5 t 4 = t 4 ( t) M(t) est e dessous de sa tagete e M(0). Pour t 0, ( t) = (t) doc M( t) est e dessous de M(t). y( t) y(t) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd