Outils mathématiques pour ingénieurs et physiciens

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1 Outils mathématiques pour ingénieurs et physiciens

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3 Jean-Marc Poitevin Outils mathématiques pour ingénieurs et physiciens Rappels de cours et exercices corrigés

4 Illustration de couverture : janaka Dharmasena Fotolia.fr Dunod, Paris, 01 ISBN

5 Table des matières Chapitre 1. Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites Nombres réels Catégories Décomposition en facteurs premiers Puissances de Nombres complexes Représentation d un point dans un plan Les deux notations Calculs avec les complexes Identités remarquables Suites arithmétique et géométrique 6 Exercices 6 Solutions 8 Chapitre. Trigonométrie, Fonctions hyperboliques, Développements en série 15 Dunod La photocopie non autorisée est un délit..1 Sinus, cosinus, tangente Définitions, variations Valeurs particulières Angles opposés, supplémentaires ou complémentaires 16. Relations trigonométriques 17.3 Fonctions trigonométriques inverses 17.4 Fonctions trigonométriques complexes 18.5 Fonctions hyperboliques 18.6 Développements en série Développements au voisinage de zéro Développements auprès d une valeur quelconque 19 Exercices 0 Solutions 3 V

6 Table des matières Chapitre 3. Fonctions de variables réelles ou complexes Fonctions réelles de variables réelles Fonctions cartésiennes Fonctions paramétriques Fonctions polaires Dérivées, étude des variations Dérivée d une fonction cartésienne Dérivée d une fonction paramétrique Dérivée d une fonction polaire Quelques dérivées usuelles Tableau de variation Limites Fonctions complexes de variables complexes Définition Représentation Dérivation 40 Exercices 41 Solutions 44 Chapitre 4. Séries et transformations de fourier Série de fourier Notation réelle Notation complexe Spectre de fréquences Égalité de Parseval Intégrale, ou transformée de fourier Définitions Égalité de Parseval Spectre 57 Exercices 57 Solutions 6 Chapitre 5. Équations différentielles Équations différentielles du 1 er ordre Principe général Équation linéaire à coefficients constants Équation à variables séparées Équation à variables séparables Équation homogène Différentielle exacte 8 VI

7 Table des matières Équation de Bernoulli Équation de Riccati Équations différentielles du e ordre Principe général Équation ou y ne figure pas Équation sans second membre ou x ne figure pas Équation linéaire à coefficients constants Équation de Legendre Équation de Laguerre Équation de Tchebychev Équation de Bessel 86 Exercices 87 Solutions 9 Chapitre 6. Intégrales de fonctions réelles et complexes, Convolution Primitives Surface, primitive, intégrale Surface délimitée par une courbe De la primitive à l intégrale Intégrales définies et non définies Méthodes d intégration Intégrales de fonctions complexes Formulation générale Lemmes de Jordan Théorème de Green Fonctions holomorphes, théorème de Cauchy Intégrale de Cauchy 117 Dunod La photocopie non autorisée est un délit. 6.6 Méthode des résidus Série de Taylor Série de Laurent Résidu Théorème des résidus Intégrales sur des arcs de cercles Convolution Définition et propriétés Convolution et transformée de Fourier 119 Exercices 119 Solutions 17 VII

8 Table des matières Chapitre 7. Systèmes d équations linéaires, Calcul matriciel Systèmes d équations n variables et n équations n variables et p équations Méthodes de résolution Par substitution Par combinaison Notation matricielle Calcul matriciel Addition Multiplication par un nombre Multiplication de deux matrices Inversion Transposition Déterminant Valeurs et vecteurs propres 160 Exercices 161 Solutions 164 Chapitre 8. Transformation de Laplace, transformée en z Définition Propriétés Table des transformées usuelles Passage de f(p) à f(t) Décomposition en éléments simples Théorème de Heaviside Convolution et transformée de laplace Transformée en z Principe, définition Propriétés Table des transformées usuelles Passage de X(z) à x(n) ou x(t) 185 Exercices 186 Solutions 191 VIII

9 Table des matières Chapitre 9. Analyse vectorielle Systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes (x, y, z) Coordonnées cylindriques (r, j, z) Coordonnées sphériques (r, q, j) 1 9. Vecteurs 9..1 Définitions 9.. Addition, soustraction Produit scalaire Produit vectoriel Autres produits Gradient, divergence, rotationnel, laplacien Relations entre opérateurs Théorème de la divergence (d Ostrogradsky) Théorème du rotationnel (de Stokes ou Ampère) Signification des opérateurs Gradient Divergence, rotationnel 7 Exercices 8 Solutions 3 Dunod La photocopie non autorisée est un délit. IX

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11 Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites Nombres réels Dunod La photocopie non autorisée est un délit Catégories Ce sont les nombres de la vie courante qui servent par exemple à exprimer une longueur, une masse, ils sont positifs ou nuls, étendus aux valeurs négatives. Ils sont entiers : 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, ou décimaux : dans ce cas, ils correspondent à une fraction de dénominateur 10 n : 8,5,,13, 68,405, soit 85 / 10, 13 / 100, / Sous forme fractionnaire, avec un dénominateur différent de 10 n, ils sont rationnels : / 11, 5 / 8, 63 / 957. Certains nombres sont dits irrationnels car ils ne peuvent pas s exprimer sous la forme d une fraction de nombres entiers et leurs expressions consistent en suites de chiffres infinies : 1 5 / 1, , / 11, , les nombres e et p entrent dans cette catégorie (, , 3, ). Les nombres premiers sont des entiers à partir desquels peuvent s obtenir tous les autres par additions ou multiplications, ils sont divisibles uniquement par eux-mêmes ou par 1, ce sont (jusqu à 100) : 1,, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, d où leur utilité pour effectuer des simplifications (cf. 1.1.). En physique la façon d écrire un nombre possède une signification, ainsi 1,1 m, 1,10 m, 1,100 m, indiquent qu à douze mètres s ajoute un décimètre à peut-être quelques centimètres près, puis dix centimètres à quelques millimètres près, enfin cent millimètres à quelques dixièmes de millimètres près. 1

12 Chapitre 1 Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites Quand un nombre se présente sous la forme a a3 3,, a, a, il faut le laisser sous cette forme pour poursuivre les calculs, hormis en mathématiques le résultat final doit par contre être exprimé sous forme décimale. Conduire des calculs à partir de données à, par exemple quatre chiffres significatifs, ne peut donner un résultat à cinq chiffres significatifs, voire plus. Ceci signifierait un résultat plus précis que les données or ceci est impossible, la précision pouvant même être dégradée Une façon simple de représenter les nombres réels est de les situer sur un axe, l axe des réels, Ox ou xx Décomposition en facteurs premiers Cette décomposition est intéressante quand un nombre se présente sous forme fractionnaire, elle permet une simplification. Par exemple : Le calcul s effectue en essayant de diviser par tous les nombres premiers successifs : Puissances de 10 Un nombre décimal s exprime avantageusement en utilisant les puissances de 10, positives ou négatives, 10 n et 10 n = 1 / 10 n, les valeurs de n peuvent être uniquement des multiples de 3, notation courante dans le domaine technique : 0,006 = =,6 10 3, = = 15, Ceci facilite les calculs approchés, les calculs de produits et de rapports :, , =,6 15,3,, / 15, =, / 15,3,

13 1. Nombres complexes 1. Nombres complexes 1..1 Représentation d un point dans un plan Une première façon de positionner un point M consiste à donner son abscisse x M et son ordonnée y M, nombres réels des axes perpendiculaires Ox et Oy. La position du point M peut aussi être donnée par le vecteur OM de longueur r faisant l angle q avec l axe Ox, les vecteurs OM = xm e x et OM = ym e y, composantes de OM, ont les longueurs x M = r cos q et y M = r sin q, e x et ey sont les vecteurs élémentaires de longueur unité. Il y a encore moyen de conserver Ox comme axe réel et définir Oy comme axe imaginaire, les unités sont 1 sur l axe réel et j sur l axe imaginaire (i en mathématique, correspond généralement, en physique, à une intensité), M est l image du nombre complexe z et z est l affixe de M donnée par : z = z M = x M + jy M, cette notation algébrique remplace la notation vectorielle : OM = OM + OM. Dunod La photocopie non autorisée est un délit. 1.. Les deux notations Le nombre complexe z peut s écrire comme ci-dessus, d où son module et son argument : z = x + jy, z = r = x y, Arg z = q = Arc tan (y / x) tan q = y / x. Le nombre réel y est devenu le nombre imaginaire jy à 90 du précédent, multiplier à nouveau par j provoque une nouvelle rotation de 90 et met donc le nombre du côté négatif de l axe réel soit y. En écrivant que x = r cos q et y = r sin q il est possible de passer à la notation exponentielle (vérifiable.6.1, développements en série) : z ρ(cosθ jsin θ) ρe j θ, le nombre j peut donc s écrire e jπ / soit le nombre 1 ayant subi une rotation de p /, mettre j au carré donne e jπ soit 1 ayant subi une rotation de p, et ainsi de suite, d où : j 1, j3 j, j4 1. 3

14 Chapitre 1 Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites 1..3 Calculs avec les complexes Le nombre conjugué de z x jy ρe jθ est z x jy ρe jθ, il intervient dans de nombreux calculs, le produit de z par son conjugué donne : zz ( x jy)( x jy) x y ρ, ou ρej θρe jθ ρ. Addition et soustraction obéissent aux lois habituelles : z x jy z x jy fi z1 z x1 x j( y1 y), z1 z x1 x j( y1 y), Multiplication et division peuvent s effectuer de différentes façons, avec la notation exponentielle si le module et l argument sont les grandeurs intéressantes, avec le binôme complexe s il faut séparer les parties réelle et imaginaire du résultat : z ρej θ z z ρ ρ ej ( θ 1 θ ) fi ρ ρ ρ, θ θ θ, z z 1 z... z k fi z z z... z, Argz Argz Argz... Arg z. 1 k 1 z z z ( x jy )( x jy ) x x y y j ( x y x y ) Re(z) + jim(z) k z z ρ θ ρ e jθ1 ρ e j e j( θ1θ ) ρ1, fi ρ, θ θ θ z ρ e jθ 1, ρ ρ et si n 1, n, n j, d 1, d, d k sont des nombres complexes et si z = (n 1 n n j )/ (d 1 d d k ) : n1 n... nj z, d d... d 1 Argz Arg n Argn... Arg n ( Argd Arg d... Arg d k ), 1 j 1 pour séparer les parties réelle et imaginaire il faut effectuer des calculs du type suivant : z1 x1 jy1 ( x1 jy1)( x jy) xx 1 yy 1 j( xy 1 xy 1) z, z x jy ( x jy )( x jy ) x y k Re(z) = xx 1 yy 1, Im(z) = xy 1 xy 1. x y x y Avec la forme exponentielle le calcul de la puissance n e d un nombre complexe donne : zn ρncosnθ sin nθ, quant à la racine n e elle tient compte de ce que changer q en q + kp ne change pas la position de M(z) dans le plan complexe, il apparaît donc plusieurs solutions : z 1 / n ρ 1 / ne( θ/ n kπ/ n) ρ 1 / ncos( θ / n kπ / n) sin( θ / n π/ k n). 4

15 1.3 Identités remarquables Les racines de z correspondent à n points espacés de p / n sur un cercle de rayon r 1 / n et centre O, avec le point de départ à l angle q / n, le dernier point est confondu avec le premier car alors k = n et l angle q / n a augmenté de np / n = p, ci-contre n = 6. π π π π π π 1.3 Identités remarquables Certaines expressions possèdent des développements caractéristiques (remarquables), elles sont indiquées ci-après. ( a b) a ab b, ( a b) 3 a3 3ab 3ab b3, ( a b) a ab b, ( a b) 3 a3 3ab 3ab b3. Dunod La photocopie non autorisée est un délit. Pour passer de a + b à a b il suffit d écrire b = + ( b) et ces relations ont une forme générale : n ( a b) n Cn p a n p b p, p0 avec pour 0 p n, C n p n! p!( n p)!, les factorielles ci-dessus ont une particularité, nécessaire pour obtenir des développements corrects, elles s écrivent en effet : k! ( k ) ( k 1 ) k, et 0! 1. Les coefficients des termes successifs du développement de ( a b) n sont également donnés par le triangle de Pascal, calculés à l aide d additions comme indiqué par les flèches : n 0 1 n n 1 1 n n n Les autres identités remarquables sont les suivantes, avec là encore, une forme générale : a b ( a b)( a b), a3 b3 ( a b)( a ab b), an bn ( a b) an1 anb... ankbk1... bn1. 5

16 Chapitre 1 Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites 1.4 Suites arithmétique et géométrique Une suite de nombres a i dont chacun est donné par a i = a i 1 + r, soit a 0, a 1 = a 0 + r, a n = a 0 + nr, est une suite arithmétique de raison r et de somme (cf. ex.1.9) : S n ( a nr ) /. n 0 Si chacun des nombres est donné par a i = qa i 1, soit a 0, a 1 = qa 0, a n = q n a 0, il s agit d une suite géométrique de raison q dont la somme est (cf. ex.1.9) : S n a 0 1 qn 1 q 1. Exercices (1.1) Éliminer les racines carrées du dénominateur d un rapport. Transformez les écritures de A 6 et de B 1 3 radical au dénominateur. 5 3 de façon à ne plus avoir de (1.) Addition, module et argument d un binôme complexe. 1. Calculez z z1 z avec z 1 4 3j et z 5j.. Calculez le module et l argument de z 1, z et z, sans dépasser quatre chiffres significatifs. (1.3) Multiplication, module et argument (attention à la détermination) en notation exponentielle. 1. Calculez z z 1 z avec pour z 1 et z les binômes complexes de l exercice 1., déduisez-en le module et l argument de z.. Donnez r et q en utilisant les expressions exponentielles de z 1 et z (cf. ex. 1.), quel est le résultat correct? (1.4) Division, module et argument (attention à la méthode) en notation exponentielle. 1. Mettez z n 1 n / d 1 d sous la forme d un binôme puis calculez le module r et l argument q de z, avec n1 3 j, n 1 3j, d1 1 j, d 3 j.. Calculez à nouveau r et q en calculant d abord les modules et arguments de n 1, n, d 1, d. Quelle est la bonne valeur de q? 6

17 Exercices (1.5) Comment obtenir la courbe décrite par l affixe d un nombre complexe. 1. Les calculs de trigonométrie montrent que tan θ ( ej θ ej θ)/ je ( jθ ej θ), en utilisant q, argument du dénominateur montrez que z ( a1 jbx 1 ) /( a j bx) peut s écrire : z A Be jθ.. Commentez cette expression pour indiquer qu il s agit de celle d un cercle ou d une portion de cercle, selon les valeurs de q, précisez son centre et son rayon selon que B > 0 ou B < 0 en modifiant si besoin l expression obtenue pour z. Tracez la courbe pour q variant de 0 à p / avec a 1 = 100, a = b 1 = 1 et b = 0,1. 3. Tracez cette même courbe à partir de l équation paramétrique obtenue en mettant z sous la forme d un binôme, somme d un terme réel et d un terme imaginaire (méthode générale). (1.6) Moins d identités remarquables à retenir en les déduisant les unes des autres. En écrivant b = +( b) vérifiez que les développements de ( a b) et ( a b) 3 s obtiennent à partir de ceux de ( a b) et ( a b) 3. Qu en est-il pour celui de ( a b) n? (1.7) Utiliser quelques identités remarquables pour en déduire d autres. 1. Écrivez le développement de a5 b5 en utilisant la formule donnée 1.3, vérifiez en effectuant le produit.. Développez sous la forme de produits de trois facteurs a4 b4 et a6 b6 en utilisant l expression de a b. 3. Quel est le développement en un produit de deux facteurs de a b? Dunod La photocopie non autorisée est un délit. (1.8) Binôme à la puissance n et triangle de Pascal. En analyse combinatoire C p n désigne le nombre de combinaisons de n éléments identiques pris p à p, autrement dit le nombre de façons d épuiser un stock de n éléments en les prenant par paquets de p éléments. Retrouvez les cinq premières lignes du triangle de Pascal en utilisant n éléments identiques désignés néanmoins par A, B, C ou D, n prenant les valeurs successives de 0 à 4. Vérifiez que ces résultats sont ceux donnés à chaque fois par le calcul de C p n. Dernière vérification, calculez (a + b) n en effectuant toutes les multiplications. (1.9) Calculer les sommes des suites arithmétique et géométrique, ainsi que celle des puissances successives de x. En écrivant deux sommes arithmétiques identiques en sens opposés, calculez la somme de cette suite, pour calculer la somme d une suite géométrique écrivez deux suites identiques en multipliant la deuxième par la raison q. Inspirez-vous de ces calculs pour trouver la somme de la série x 0, x 1, x, x n, que se passe-t-il si x = 1 (ou q = 1 pour la suite précédente)? 7

18 Chapitre 1 Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites (1.10) Faites connaissance d un nombre particulier. Trouvez le rapport b / a tel que les rapports des grands côtés et petits côtés des rectangles de la figure ci-dessous soient tous identiques. Déduisez de vos calculs les propriétés du nombre f = b / a (nombre d or). À quoi peut servir l arc de cercle centré sur le milieu de la base du carré? Solutions (1.1) Pour A il suffit de multiplier dénominateur et numérateur par le dénominateur : 6 6 A 6 ( 6) Pour B il faut multiplier dénominateur et numérateur par la quantité conjuguée du dénominateur : (1.) 1. z 3 ( 4 j ). 1 B 3 ( 1 3)( 5 3) ( 3) 5 3 ( 5 3)( 5 3) 5 ( 3) ρ , ρ 5 9 5, 385, ρ q 1 = Arc tan (3 / 4) = 0,6435 rad = 36,87, q = Arc tan (5 / ) = 1,190 rad = 68,, q = Arc tan (4 / 3) = 0,973 rad = 53,13.. (1.3) 1. z z1z ( 4 3j)( 5j) 8 15 j( 6 0) 7 6j, ρ ( 7) 6 69,, q = Arc tan (6/ _ 7) = 1,308 rad = 74,

19 Solutions. ρ ρ1ρ ,, q = q 1 + q = Arc tan (3 / 4) + Arc tan (5 / ) = 1,833 rad 105. La véritable valeur de q est bien 105, la valeur 75 est due à ce que la partie réelle de z est négative et la partie imaginaire positive. Ceci fait que la droite passant par l origine et le point d affixe z coupe l axe mesurant les tangentes du côté négatif, ce qui peut correspondre à _ 75 et à 105 (105 ( 75 ) = 180 ), la position du point montre que la vraie valeur est 105. Une autre méthode consiste à toujours écrire z en mettant en facteur le signe de la partie réelle soit z = (7 6 j) = e jp (7 6 j) et q = p + Arc tan ( 6/ 7) = p 1,308 = 1,833 rad = 105. Conclusion : faites attention à la position du point d affixe z avant de conclure sur son argument, et utilisez la somme des arguments dans le cas d un produit. ( (1.4) 1. z 3 j)( 1 3j) ( 1 j)( 3j) 3 6 j( 9) 3 j ( 3) 9 7j 5 j ( 9 7j)( 5 j) z ( 5 j)( 5 j) j 19 j 19 j Dunod La photocopie non autorisée est un délit. D où z ρ 19 / 13, 36 et, apparemment, Arg z = q = Arc tan ( / 19) = 0,8584 rad = 49,.. n1 3, 606, n 3, 16, d1 1, 414, d 3, 606, Arg n 1 =,553 rad, Arg n = 1,49 rad, Arg d 1 = 0,7854 rad, Arg d = 0,988 rad, soit ρ n1 n / d1 d, 36 et θ Argn1Arg nargd1arg d# 4 rad = 9,. Cette deuxième méthode de calcul de q est la plus sûre et donne toujours la bonne valeur. Avec la méthode utilisée à la première question il aurait fallu examiner la position du point d affixe z ce qui aurait montré que la valeur de q devait être augmentée de 180, il était aussi possible de remarquer que z pouvait s écrire (cf. 1.. et deuxième méthode) : 19 j 19 e j@ j, d où q = p + Arc tan ( / 19) # 4 rad = 9,. 9

20 Chapitre 1 Nombres réels et complexes, Identités remarquables, Suites (1.5) 1. tan θ bx / a, cette expression s introduit dans celle de z en écrivant : a1 1 jbx 1 / a1 a1 1 j( ab 1/ ab 1 )tanθ z. a 1 jbx/ a a 1 jtanθ tan q étant remplacée par son écriture complexe, z s écrit désormais : a z a 1 a a 1 1 j( ab ab 1/ 1 )( ej θ e jθ )/ j( ej θ e jθ ) 1 je ( jθ ej θ) / j( ej θ ej θ) e jθ e jθ ( a b 1 / a 1 b )( ej θ e jθ ). ej θ ej θ ej θ ej θ En regroupant les termes et en divisant numérateur et dénominateur par e jθ : a ab ab ab ab 1 ( 1 1/ 1 ) ej θ ( 1 1/ 1 ) e jθ z a e jθ a1 ab 1 ab 1 a 1 1 e jθ ab ab. 1 1 a1 ab 1. La nouvelle expression de z est la somme d un terme réel constant, A 1, a ab 1 et d un deuxième en notation exponentielle complexe dont le module B est constant et a1 ab 1 l argument q variable, B 1, q = Arc tan (b x / a ). Le point d affixe z décrit donc un arc de cercle de rayon B centré sur le point de l axe réel d abscisse a ab 1 A, si B < 0 il faut écrire : a1 B a ab ab 1 1 a ab 1 1 a ab 1 e jπ 1, 1 a1 ab 1 ab 1 z a 1 1 e j( π θ ) ab ab, 1 l arc de cercle est toujours centré sur le point d abscisse A mais le rayon a pour longueur B et fait l angle p q avec l axe réel au lieu de q. 1 10