Véhicule auto-balancé de type Segway

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1 T I Présentation Mise en situation Le support de l étude est le véhicule autobalancé, moyen de transport motorisé pour la ville En termes de prestations, il est moins rapide qu une voiture ou qu un scooter, mais plus maniable, plus écologique, moins encombrant et nettement plus moderne! La conduite du se fait par inclinaison du corps vers l avant ou vers l arrière, afin d accélérer ou freiner le mouvement (comme pour la marche à pied dans laquelle le piéton s incline vers l'avant pour débuter le mouvement) Les virages à droite et à gauche sont quant à eux commandés par la rotation de la poignée directionnelle située sur la droite du guidon La spécificité de ce véhicule est d'avoir deux roues qui ont le même axe de rotation, avec son centre de gravité situé au-dessus de l'axe commun des roues, si bien qu'on se demande comment rester à l'équilibre une fois monté sur la plateforme Tout comme le cerveau permet à l'individu de tenir debout sans tomber grâce à l'oreille interne, le système comporte un dispositif d'asservissement d'inclinaison maintenant la plateforme du véhicule à l'horizontale ou encore la barre d'appui, supposée orthogonale à cette plate-forme, à la verticale Le comporte à cet effet des capteurs et des microprocesseurs commandant les deux moteurs électriques équipant les deux roues Structurellement, le véhicule est composé : d un chariot (châssis + 2 roues uniquement), transportant le conducteur, de deux moto-réducteurs entraînant les roues (un par roue), d un ensemble constitué d'un gyromètre et d un pendule délivrant une information sur l angle d inclinaison du châssis par rapport à la verticale et sur sa dérivée, Page 1 sur 6

2 T d un calculateur élaborant, à partir des informations issues des capteurs, les consignes de commande des groupes moto-réducteurs, de batteries fournissant l énergie aux divers composants Problématique Quels sont les éléments cinématiques nécessaires pour vérifier le non-dérapage des roues en virage, les performances de vitesse et d'accélération Hypothèses et paramétrages On considère les solides suivants supposés indéformables : la route 0 ; le châssis du chariot 2 ; la roue droite R ; la roue gauche RG ; le conducteur 4 La figure ci-contre illustre le paramétrage du véhicule Remarque : La notation du type x ij une contraction de x i = est x j Fig de gauche : paramétrage global = 0 Fig de droite : figure simplifiée où Page 2 sur 6

3 T Le paramétrage de ces solides est décrit ci-après : Soit 0(O, x 0, y 0, z 0 ) le repère de référence lié à la route 0 tel que z 0 suivant la verticale ascendante soit dirigé Le châssis du chariot 2 est orienté par rapport à la route 0 par l intermédiaire de deux repères : o le repère 1(O, x 1, y 1, z 01 ) en rotation par rapport à 0 autour de z 01 tel que x 1 soit colinéaire à l axe commun des roues de centres de gravité respectifs O et OG A se trouve au milieu de cet axe tel que OOG L x1 L et OA x1 AOG 2 o le repère 2(A, x 12, y 2, 2 On pose = ( x 0, x 1 ) = ( y 0, y 1 ) l angle de virage ; z ) lié à 2 en rotation autour de (A, x 12 ) par rapport soit parallèle à la barre d appui du chariot On pose à 1 tel que z 2 = ( y 1, y 2 ) = ( z 1, z 2 ) l angle d inclinaison du châssis par rapport à la verticale La régulation consiste à maintenir cet angle nul Le conducteur 4 est orienté par rapport au châssis 2 par l intermédiaire de deux repères : o le repère 3(A, x 23, y 3, z 3 ) en rotation par rapport à 2 autour de (A, x 23 ) On pose = ( y 2, y 3 ) = ( z 2, z 3 ) l angle d inclinaison arrière-avant du conducteur ; o le repère 4(O, x 4, y 34, z 4 ) lié à 4 en rotation autour de (A, y 34 ) par rapport à 3 tel que (A, z 4 ) passe par le centre de gravité G du conducteur 4 On pose = ( x 3, x 4 ) = ( z 3, z 4 ) l angle d inclinaison droitegauche du conducteur et AG h z4 avec h constante positive La roue droite R associée à un repère (O, x 12, y, z ) est en liaison pivot d axe (O, x 12 ) par rapport au châssis 2 On pose = ( y 2, y ) = ( z 2, z ) l angle de rotation de la roue droite par rapport au châssis 2 On note I le point de contact de la roue droite avec la route tel que OI R z01 avec R rayon des roues, constante positive On suppose qu il y a roulement sans glissement de la roue droite sur la route en I La roue gauche R G associée à un repère G (O G, x 12, y G, z G ) est en liaison pivot d axe (O G, x 12 ) par rapport au châssis 2 On pose G = ( y 2, y G ) = ( z 2, z G ) l angle de rotation de la roue gauche par rapport au châssis 2 On note I G le point de contact de la roue gauche avec la route tel que OGI GR z01 On suppose qu il y a roulement sans glissement de la roue gauche sur la route en I G Page 3 sur 6

4 T On pose pour la vitesse du chariot : V( A2 / 0) U( t) x1 V( t) y1 II Travail demandé Paramétrage : Question 1 : Réaliser le «graphe des liaisons» Question 2 : Etablir les schémas de passage entre bases (6 figures) Etude du comportement des roues au sol Question 3 : éterminer les vecteurs vitesse de rotation (1/ 0), (2 / 0), ( R / 2) et ( R G / 2) dans la base de 1 Question 4 : Que dire des vecteurs vitesse V ( I R / 0) Justifier pourquoi et V ( I R / 0) G G? Question 5 : Ecrire la relation de composition des vitesses avec le châssis 2 pour le vecteur vitesse V ( I R / 0) Question 6 : éterminer le vecteur vitesse V( I 2 / 0) vitesses de 2/0 entre A et I dans la base de 1 Question 7 : éterminer le vecteur vitesse V ( I R / 2) vitesses de R/2 entre O et I dans la base de 1 par le champ des par le champ des Question 8 : En déduire l expression de V ( I R / 0) dans la base de 1 puis au regard de la question 3, écrire les équations algébriques traduisant le comportement de la roue droite sur la route Question 9 : Reprendre librement mais par similitude l étude des questions 4 à 7 pour la roue gauche dans le but d écrire les équations algébriques traduisant le comportement de la roue gauche sur la route En déduire une relation de comportement reliant les paramètres, G et aux dimensions R et L Page 4 sur 6

5 T étermination de la vitesse et de l inclinaison du conducteur en virage en fonctionnement régulé Hypothèses pour cette partie : a) ans cette partie, où le véhicule évolue en virage en marche avant, on suppose que l asservissement d inclinaison est parfaitement réalisé c est à dire que = cte = 0 b) e plus, le conducteur est supposé parallèle à la barre d appui soit = cte =0 et uniquement incliné d un angle constant vers l intérieur du virage c) Cela impose une composante V(t) constante négative en marche avant U(t) est lui nul au regard des équations algébriques déterminé précédemment d) Enfin, on considère que le virage est pris à vitesse angulaire constante positive Question 10 : éterminer le vecteur rotation (4 / 0) VG ( 4 / 0) dans la base de 1 puis le vecteur vitesse L accélération ressentie par le conducteur est G g ( G 4 / 0) g g z où 01 l accélération de la pesanteur Question 11 : Calculer le vecteur G g ( G 4 / 0) dans la base de 1 est La position naturelle d un individu en virage (cas de la bicyclette, des rollers, ) est de s incliner vers l intérieur du virage L application du principe de la dynamique au conducteur montre alors que cette condition est équivalente à G g ( G 4 / 0) colinéaire à z 4 Question 12 : Projeter le vecteur G g ( G 4 / 0) dans la base de 4 En déduire la ou les équations traduisant la nullité des composantes de G g ( G4 / 0) suivant x 4 et y 4 On considère les conditions suivantes de fonctionnement : = 0,8 rad/s, h = 0,95 m, g = 9,81 ms-2 et V = 10 km/h (soit un rayon de virage de 3,5 m) En place d une résolution analytique, on donne ci-après les courbes des projections de G g ( G4 / 0) suivant x 4 et z 4 Page 5 sur 6

6 G x 4 en ms-2 G z4 en ms-2 T angle (degré) angle (degré) Question 13 : éterminer graphiquement sur les courbes l angle du conducteur dans les conditions énoncées Justifier En déduire la valeur numérique G z4 de l accélération ressentie par le conducteur suivant z 4 Conclure Page 6 sur 6