Fiche d exercices 12 : Lois normales

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1 Fiche d exercices 1 : Lois normales Exercice 1 Loi normale cenrée e réduie N (0,1) Une variable aléaoire Z sui la loi N (0,1). On donne P ( Z 1,8 ) 0, 964 e P ( Z,3) 0, 989. Calculer les probabiliés suivanes : 1. P ( Z >,3) 3. P ( Z < 1,8 ). P ( 1,8 < Z <,3) 4. P ( Z < 1,8 ou Z >,3) Exercice Une variable aléaoire Z sui la loi N (0,1). Illusrer par un schéma : Z < P Z > 1 Exercice 3 3. ( ). P ( 1 < Z < ) 4. P ( Z < 1 ou Z > ) Une variable aléaoire X sui la loi N (0,1). On défini par Φ, la foncion de répariion de X sur R, par ( x) = P( X x) Exercice 4 1. Monrer que pour ous nombres a, b réels a < b : P a X b = Φ b ( ) ( ) Φ( a). Monrer que pour ou nombre réel x : Φ( x) = 1 φ( x) Une variable aléaoire X sui la loi N (0,1). Calculer à l aide de la able donnée en annexe : X 1,5 Exercice 5 Φ. 4. P ( 1 X 1). P ( X 1) 5. P ( X ) 3. P ( 0,53 X 1,53) 6. P ( 3 X 3) 1 f x = e sur R. π La foncion de densié de la loi cenrée réduie es ( ) ' 1. Calculer f ( x). Déerminer le ableau de variaion de f sur R. x 3. Démonrer que l équaion ( x) = 0, Déerminer une valeur approchée de x 0 à 10 - près. f adme une unique soluion x 0 sur [ ; 10] 4. Soi X une variable aléaoire qui sui la loi N (0,1). P 1,96 < X < 1,96 à l aide d une inégrale. Exercice 6 a. Exprimer ( ) b. Déerminer une valeur approchée à 10 - près de ( 1,96 < X < 1,96 ) able donnée en annexe. 0. P en uilisan la Une variable aléaoire X sui la loi N (0,1). Pour ou réel x >0, on pose Φ ( x) = P( X x) 1. Monrer que ( x X x) = Φ( x) 1. En déduire que pour ou réel ] 0 ; 1[ P x, on a : ( u X u ) = 1 Φ( u ) = 1 3. a. Pour = 0,05, quelle doi êre la valeur de Φ( u )? A l aide de la able donnée en annexe, déerminer la valeur de b. Déerminer u 0, 0 e u 0, 005. u correspondane. Exercice 7 On veu consruire un algorihme permean de déerminer le seuil u à 0,001 près. On suppose que l on dispose d une insrucion de ype Norm(a,b), qui renvoie P X a, b, lorsque X es une variable aléaoire qui sui la loi N (0,1). ( [ ]) 1. Compléer l algorihme suivan pour qu il permee d obenir une valeur approchée de u à 0,001 près. Variables Débu Enrer la valeur de u prend la valeur 0 P prend la valeur 0 Tan que p < 1 - p prend la valeur Norm(-u, u) u prend la valeur Fin an que Afficher Fin. Modifier l algorihme pour qu il demande à l uilisaeur la précision souhaiée. 1/6 Fiche d exercices 1 : Lois normales Mahémaiques erminale S obligaoire - Année scolaire 015/016

2 Exercice 8 L objecif de ce exercice es de démonrer le héorème suivan : «Si X es une variable aléaoire suivan la loi normale cenrée e réduie, alors pour ou réel apparenan à l inervalle ]0; 1 [, il exise un unique réel sricemen posiif uel que P u X u =» ( ) 1 Soi f la foncion définie sur l ensemble des nombres réels R par : f 1 ( ) = e π 0 ;+ par : Soi H la foncion définie e dérivable sur [ [ H ( x) = P( x X x) = f ( ) 1. Que représene la foncion f pour la loi normale cenrée e réduie?. Préciser H(0) e la limie de H(x) quand x end vers A l aide de considéraions graphiques, monrer que pour ou nombre réel posiif x : H x ( x) = f ( ) 4. En déduire que la dérivée H de la foncion H sur [ ;+ [ ableau de variaion de H sur [ 0 ;+ [. 5. Démonrer le héorème énoncé. 0 d x x Loi normale générale N (µ,σ ) d 0 es la foncion f e dresser le Exercice 10 Une variable aléaoire X sui une loi normale d espérance -4 e d écar ype 7. Calculer avec rois décimales : X 11 P 18 X ( ). P ( 11 X 3) 5. P ( X 18 ou X 10) 3. P ( X 11 ou X 3) 6. P ( X 10 ou X 18) Exercice 11 Soi X une variable aléaoire qui à chaque personne prélevée au hasard, associe sa aille en cm. On suppose que X sui une loi normale de moyenne 178 e d écar ype 10. Les résulas seron arrondis à 10-3 près pour les probabiliés e au cenimère près pour les longueurs. 1. Déerminer la probabilié de chacun des événemens suivans : (a) A : «une personne prélevée au hasard a une aille supérieure à 180 cm», (b) B : «une personne prélevée au hasard a une aille inférieure ou égale à 150 cm». (c) C : «une personne prélevée au hasard a une aille comprise enre 160 e 185 Exercice 1 cm».. (a) Déerminer le réel a el que P ( X a) = 0, 80. Inerpréer le résula. (b) Déerminer le réel b el que ( 176 b X b) = 0, 68 (c) Déerminer une esimaion de la aille en dessous de laquelle se siue la moiié de la populaion. Une variable aléaoire X sui la loi N (0, 16). Calculer à l aide de la able donnée en annexe (les résulas seron arrondis à 10-3 près) : 16 X 4 P X 1 3. ( ). P ( X 0) 4. P ( X 10 ou X 30) Exercice 9 Une variable aléaoire Z sui la loi N (0,1) ; une variable aléaoire X sui la loi N (µ,σ ). On adme les propriéés suivanes : ( ay + b) = ae( Y ) b V ( Y ) = E ( Y E( Y )) E + µ 1. On pose Z = X σ a. Déerminer E(Z) e V(Z). b. Démonrer que V(Z) = E(Z ). c. Exprimer X en foncion de Z.. En déduire E(X) = µ. 3. En déduire V(X) = σ. ( ) Exercice 13 Tous les résulas numériques seron donnés sous forme décimale e seron arrondis au dix millième. Une usine fabrique des billes sphériques don le diamère es exprimé en millimères. Une bille es die hors norme lorsque son diamère es inférieur à 9 mm ou supérieur à 11mm. On appelle X la variable aléaoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la producion associe son diamère exprimé en mm. On adme que la variable aléaoire X sui une loi normale d espérance 10 e d écar ype 0,4. Monrer qu une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilié qu une bille soi hors norme es 0,014. On pourra s aider des valeurs indiquées dans la able fournie en annexe. /6 Fiche d exercices 1 : Lois normales Mahémaiques erminale S obligaoire - Année scolaire 015/016

3 Exercice 14 Une enreprise indusrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quanié. Pour oue pièce prélevée au hasard, on appelle X la variable aléaoire qui lui associe sa longueur en millimère e Y la variable aléaoire qui lui associe son diamère en millimère. On suppose que X sui la loi normale de moyenne µ 1 = 36 e d écar ype σ 1= 0, e que Y sui la loi normale de moyenne µ = 6 e d écar ype σ = 0, Une pièce es die conforme pour la longueur si celle-ci es comprise enre µ 1-3σ 1 e µ 1 + 3σ 1. Quelle es la probabilié p 1 approchée à 10-3 près pour qu une pièce prélevée au hasard soi conforme pour la longueur?. Une pièce es die conforme pour le diamère si celui-ci es compris enre 5,88 mm e 6,1 mm. Quelle es la probabilié p approchée à 10-3 près pour qu une pièce prélevée au hasard soi conforme pour le diamère? 3. On prélève au hasard une pièce. On appelle L l événemen «la pièce es conforme pour la longueur» e D l événemen «la pièce es conforme pour le diamère» On suppose L e D indépendans. a. Une pièce es accepée si elle es conforme pour la longueur e pour le diamère. Déerminer la probabilié pour qu une pièce prélevée au hasard soi accepée (le résula sera arrondi à 10 - près). b. Jusifier que la probabilié qu elle soi conforme pour le diamère sachan qu elle n es pas conforme pour la longueur, es égale à p. Exercice 15 Une variable aléaoire Z sui la loi N (0,1). On donne ( Z < 1 ) = 0, 84 Déerminer sans calcularice : X 10 Exercice 16 a. P ( ) pour X N (8, 4) c. ( X < 10) b. P ( X 0) pour X N (-5, 5) d. ( 1 < X < 5) Une variable aléaoire X sui la loi N (0, 4). En uilisan la foncion InvNormCD ou InvNorm de la calcularice : 1. Donner à 10 - près, x el que P ( X x) = 0, 9 Exercice 17. Donner à 10 - près, x el que P ( X x) = 0, 9 Une variable aléaoire X sui la loi N (0, σ ) e Z sui la loi N (0, 1). 5 P X < 5 = P Z <. σ P Z < x = 0,. 1. Monrer que pour ou σ > 0, ( ). Donner le réel x >0 à 10-3 près el que ( ) 8 3. En déduire la valeur de σ à 10-3 près elle que ( X < 5 ) = 0, 8 P pour X N (5, 5) P pour X N (5, 16) Exercice 18 Une producion laiière annuelle en lires des vaches laiières de la race Française Frisonne Pis Noir peu êre modélisée par une variable aléaoire à densié X, de loi normale µ = 6000 e d écar ype σ = 400. La foncion g désigne la foncion de densié de cee loi normale. 1. Afin de gérer au mieux son quoa laiier, en déerminan la aille opimale de son roupeau, un éleveur faisan naîre des vaches de cee race souhaie disposer de ceraines probabiliés. a. Calculer la probabilié qu une vache quelconque de cee race produise moins de 5800 lires de lai par an. b. Calculer la probabilié qu une vache quelconque de cee race produise enre 5900 e 6100 lires de lai par an. c. Calculer la probabilié qu une vache quelconque de cee race produise plus de 650 lires de lai par an.. Dans son fuur roupeau, l éleveur souhaie connaîre plusieurs producions : a. Calculer la producion maximale prévisible des 30% de vaches les moins producives du roupeau. b. Calculer la producion maximale prévisible des 0% de vaches les plus producives du roupeau. Exercice 19 Une coopéraive produi du beurre en micro plaquees de 1,5g pour des colleciviés e des chaînes hôelières. Les micro plaquees son condiionnées dans des boies de 40. On adme que la variable aléaoire X égale à la masse d une boie de 40 micro plaquees sui une loi normale d espérance µ = 500 e de variance σ = 1,6. La boie es jugée conforme si sa masse es comprise enre 496,g e 503,8g (soi environ 500 ± 3σ). 1. Calculer la probabilié qu une boie prélevée aléaoiremen en fin de chaîne de condiionnemen soi non conforme.. Pour conrôler le réglage de la machine, on déermine des poids d alere µ - h e µ + h els que P ( µ h X µ + h) = 0, a. Soi Z = X. Quelle loi sui la variable Z? 1,6 b. Monrer que µ h X µ + h équivau à c. Donner une valeur de a elle que P( a Z a) d. Déerminer une valeur approchée des poids d alere. X h 500 X + h 500 Z. 1,6 1,6 3/6 Fiche d exercices 1 : Lois normales Mahémaiques erminale S obligaoire - Année scolaire 015/016

4 Théorème de Moivre - Laplace Exercice 0 Soi X une variable aléaoire suivan la loi binomiale B(11 ; 0,5). X 60,5 1. Calculer à l aide de la calcularice P. 5,5. Soi Z une variable aléaoire suivan la loi normale cenrée e réduie. P Z? Que vau ( ) 3. Pourquoi ces quaniés son-elles proches? Exercice 1 Soi X une variable aléaoire suivan la loi binomiale B(81 ; 0,). 1. D après le héorème de Moivre Laplace, à quelle inégrale es approximaivemen 16, 3 égale P 1 X? 3,6. Pourquoi peu-on raisonnablemen acceper l approximaion précédene? En déduire que : P ( 14,4 X 1,6 ) P Z, où Z N (0, 1). P 14,4 X 1,6. 4. Uiliser l approximaion précédene pour calculer ( ) 5. Comparer avec la valeur de ( 14,4 X 1,6) P fournie par la calcularice. Exercice Une usine fabrique des balles de ennis. Un conrôle de qualié monre que 3% des balles produies ne son pas conformes au cahier des charges de la fabricaion. On prélève au hasard dans la producion 300 balles. On noe X la variable aléaoire qui, à chaque lo de 300 balles irées, associe le nombre de balles non conformes. Les résulas seron arrondis à 10 - près. 1. Déerminer la loi de probabilié de la variable aléaoire X.. Calculer la probabilié qu il y ai exacemen 4 balles non conformes, puis au plus 4 balles non conformes. 3. Calculer l espérance mahémaique E(X) e l écar ype σ(x) de X. X E( X ) 4. Monrer que la loi de Z σ X réduie. = peu êre approchée par la loi normale cenrée e ( ) 5. En uilisan l approximaion précédene, calculer P ( X 4), ( X 1) P ( 6 X 1). P e Exercice 3 Une enreprise emploie 0 salariés. On adme que la probabilié pour qu un employé soi absen une semaine donnée es égale à p = 0,05. On suppose que la présence d un employé ne dépend pas de la présence de ses collègues. On désigne par X la variable aléaoire qui donne le nombre de salariés absens une semaine donnée. 1. Jusifier que la variable aléaoire X sui une loi binomiale don on donnera les paramères. Calculer l espérance mahémaique µ e l écar ype σ de la variable aléaoire X. µ. Démonrer que l on peu approcher la loi de la variable Z = X par la loi normale σ cenrée e réduie, c'es-à-dire de paramère 0 e Le ableau suivan donne les probabiliés de l événemen Z < x pour quelques valeurs du réel x. X -1,55-1,4-0,93-0,6-0,31 0,00 0,31 0,6 0,93 1,4 1,55 P(Z < x) 0,0606 0,1075 0,176 0,676 0,3783 0,5000 0,617 0,734 0,838 0,895 0,9394 Calculer au moyen de l approximaion de la quesion. une valeur approchée à 10-3 près de la probabilié de l événemen : «le nombre de salariés absen dans l enreprise au cours d une semaine donnée es supérieur ou égale à 7 e inférieur ou égale à 15». Exercice 4 Un magasin spécialisé dans la vene de éléphones porables fai une promoion sur un ype d appareil A. Dans une journée 150 personnes se présenen. La probabilié pour qu une personne achèe l appareil A es de 0,4. On appelle X la variable aléaoire représenan le nombre d aricles A vendus en une journée. 1. Quelle es la loi suivie par la variable aléaoire X? Calculer son espérance e son écar ype. 60. Monrer que la loi de Z = X peu êre approchée par la loi normale cenrée e 6 réduie. 3. En uilisan l approximaion précédene, calculer les probabiliés suivanes à 10-4 près : X 7 X 69 P 69 X 7 P ( ) ; P ( ) ; ( ) 4/6 Fiche d exercices 1 : Lois normales Mahémaiques erminale S obligaoire - Année scolaire 015/016

5 Problèmes de synhèse Exercice 4 Pour chacune des quesions suivanes, on indiquera si la proposiion vraie ou fausse. 1. La durée de sommeil quoidienne d un adule es en moyenne de 7,5 heures. On évalue à 10% la proporion d adules qui dormen plus de 9h ou moins de 6h par jour. On appelle S la variable aléaoire qui mesure la durée de sommeil quoidienne d un adule. On suppose que S sui une loi normale. Affirmaion : Environ 45% des adules dormen en moyenne enre 7h e 8h par jour.. Soi Y une variable suivan la loi normale N (9, σ²). On noe P( Y ) variable aléaoire cenrée réduie associée à Y. 1 1 Affirmaion : P Z = 1 σ σ = 10 e Z la 3. 90% des cadres d une grande enreprise appariennen à la caégorie A. Le salaire annuel bru en euros des cadres de caégorie A peu êre modélisé par une variable aléaoire suivan une loi normale de moyenne e d écar ype Les aures cadres appariennen à la caégorie B. Le salaire annuel bru en euros des cadres de caégorie B peu êre modélisé par une variable aléaoire suivan une loi normale de moyenne e d écar ype On choisi au hasard un cadre de l enreprise. On consae que son salaire annuel bru en euros es inférieur à euros. Affirmaion : La probabilié que ce cadre apparienne à la caégorie A es inférieure à 0,95. 5/6 Fiche d exercices 1 : Lois normales Mahémaiques erminale S obligaoire - Année scolaire 015/016

6 Annexe - Exrai de la foncion de répariion loi normale cenrée e réduie N (0,1) 1 La loi normale es caracérisée par : f ( ) = e π La foncion de répariion Φ( ) = P( T ) = e d 1 π 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,713 0,7157 0,7190 0,74 0,6 0,757 0,791 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3, 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 Propriéés : P( T ) = P( T ) Φ( ) = 1 Φ( ) P ( T ) = Φ( ) 1 6/6 Fiche d exercices 13 : Lois normales Mahémaiques erminale S obligaoire - Année scolaire 014/015 PHYSIQUE ET MATHS - hp:// - souien@physique-e-mahs.fr