TS4 DS5 19/01/11. Démontrer que l équation g (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α.
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- Arthur Gabriel Thomas
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1 Eercice 1: (7 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2010 TS4 DS5 19/01/11 Soit la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par ϕ() = ln(). 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur l intervalle [1 ; + [. b. On admet que ϕ() = ; Démontrer que l équation ϕ() = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution α, appartenant à l intervalle [1 ; e]. Déterminer un encadrement de α d amplitude c. Déterminer le signe de ϕ() suivant les valeurs de. 2. Soit f la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par f () = ln() On note f la fonction dérivée de f. ϕ() a. Calculer f () et montrer que pour tout 1 on a : f () = (1+ 2 ) 2. b. Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [1 ; + [. c. Démontrer que pour tout appartenant à l intervalle [1 ; + [ on a : 0 f () d. En déduire f () ln() 2. Eercice 2 : (7 points) Polynésie juin On considère la fonction g définie sur [1 ; + [ [par g () = ln(2) + 1 a. Cette question demande le développement d une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la rédaction. Démontrer que l équation g () = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution notée α. b. Démontrer que ln(2α) + 1 = α. 2. Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, par u n+1 = ln(2u n ) + 1. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 u n u n+1 3. b. Démontrer que la suite (u n ) converge vers α. Eercice 3 : (6 points) Antilles-Guyane 2010 Partie A Soit g la fonction définie pour tout nombre réel de l intervalle ]0 ; + [ par g ()= ln(). 1. Déterminer les ites de la fonction g en 0 et Montrer que g est dérivable sur l intervalle ] 0 ; + [ et que g () = ln(). 3. Dresser le tableau de variations de la fonction g. Partie B Soit (u n ) la suite définie pour tout n IN * par u n = en n n. 1. Conjecturer, à l aide de la calculatrice : a. le sens de variation de la suite (u n ) ; b. la ite éventuelle de la suite (u n ). 2. Soit (v n ) la suite définie pour tout n IN * par v n = ln (u n ). a. Montrer que v n = n n ln(n). b. En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite (v n ). c. En déduire le sens de variation de la suite (u n ). 3. Montrer que la suite (u n ) est bornée.(bonus) 4. Montrer que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa ite.(bonus)
2 TS4 DS5 CORRIGE Eercice 1 : 1)a) Sur l intervalle [1 ; + [ on a ϕ() = ln() ; est dérivable et () =2 4ln() 2² 1 = 2 4ln() 2 = 4ln() Pour tout > 1 on a 4 > 0 donc () est du signe de ln() ; or, pour tout > 1,on a ln () > 0 d où ln() < 0. Ainsi la fonction est strictement décroissante sur [1 ; + [ ϕ() = ln()=1+²(1 2ln()) (permet de déterminer la ite e ) b) (e) = 1 +e² 2e²(ln(e)) = 1 e² < 0 On applique le TVI sur [1 ; + [ : est continue et strictement décroissante sur cet intervalle ; Elle prend ses valeurs dans ] ; 2] ; or 0 ] ;2] ; donc l équation () = 0 admet une unique solution sur [1 ; + [. De plus (e) < 0 < (1) donc 1< < e. Ainsi [1 ;e]. c) D après le tableau des variations,( complété par les deu valeurs et 0) on a : 1 + () )a) Sur l intervalle [1 ; + [, f () = ln() (1 + ²) 2ln() 1+ 2 donc f () = (1 + ²) 2 = b)or pour tout 1, > 0 et (1 + ²)² > 0 donc f () est du signe de (). (1 + ² 2²ln() ) = (1 + ²)² ϕ() (1+ 2 ) f () + 0 c)pour tout appartenant à l intervalle [1 ; + [ on a : ln() 0 et 1 + ² > 0 donc 0 f () (quotient de nombres positifs ou nuls) Et on a également, 1 + ² ² donc 1 + ² ² (la fonction inverse est décroissante sur [1 ; + [ )donc, en multipliant chacun des deu membres par ln(), positif ou nul, on obtient f () ln() 2. Ainsi,pour tout 1, on a 0 f () ln() 2. d)on sait que Eercice 2 : ln() 2 = 0 (croissances comparées) et 0 = 0 donc, d après le théorème des gendarmes, f () = a. La fonction ln(2) est dérivable sur [1 ; + [ car,pour tout 1 on a 2 2 > 0 et 2 est dérivable sur [1 ; + [. La fonction g est dérivable sur cet intervalle et g () = = 1 1 = 1 Comme > 0, cette dérivée est du signe du numérateur g () 0 2 0
3 D autre part g (1) = ln = ln2. En écrivant g () = ln(2) + 1 = ln(2) + ln() + 1 = 1 + ln(2) + ( ln() On sait que ( ln() ln() = 0 (croissances comparées) donc, par somme, 1) = ; puis On applique le TVI sur l intervalle [1 ; + [ : 1) ( ln() 1 + ln(2) = 1 + ln(2) donc, par somme 1) = 1, puis par produit, g() = La fonction g est donc dérivable donc continue [ et strictement décroissante sur cet intervalle ; elle prend ses valeurs dans l intervalle ] ; ln2 ] ; 0 ] ; ln2 ] donc l équation g () = 0 admet une unique solution [1 ; + [. b. D après la question précédente g ( ) = 0 ln (2 ) + 1 = 0 ln(2 ) + 1 =. 2)a) Par récurrence :on pose P n : «1 u n u n+1 3» Initialisation : comme u 0 = 1 et u 1 = ln(2) + 1 = 1+ 1,69 < 3, on a bien :1 u 0 u 1 3 et P 0 est vraie. Hérédité :Supposons P n vraie pour un entier n donné, alors 1 u n u n+1 3 donc 2 2u n 2u n+1 6 puis, comme la fonction ln est strictement croissante sur [2 ; + [, ln(2) ln( 2u n ) ln(2u n+1 ) ln(6) donc 1+ln(2) u n+1 u n+2 ln(6) +1 Or ln(2) et 1 + ln(6) 3 donc P n+1 est vérifiée. Conclusion : P n est vraie pour tout n IN. b. On vient de démontrer que la suite (u n ) est croissante et majorée par 3 : elle est donc convergente vers une ite finie L et on a 1 L 3 (puisque 1 u n 3 pour tout n) De plus, u n+1 = ln(2u n ) + 1pour tout n IN et la fonction ln(2)+1 est continue sur [1 ; 3 ]donc on peut affirmer que la ite L vérifie L= ln(2l) + 1. Or on a vu à la question 1. b. que était la seule solution de cette équation sur [1 ; + [.Donc L =. Eercice 3 : (5 points) Partie A : 1) g ()= ln(). a)en 0 + (car l intervalle de définition est ]0 ;+ [ ) : ln() = 0 (croissances comparées) donc 0 0 ln() = 0 puis = 0 et par somme g() = E : g ()= ln() = ( 1 ln()) (si on ne met pas en facteur, on tombe sur une FI) 1= 1 et ln () = par somme, b)g () = 1 (1 ln() + 1 ) = ln() ln() > 0 ln() < 0 < e 0 < 1 ln() = 0 ln() = 0 = e 0 = 1 1 ln() = ; ensuite Partie B : 1)Conjecture : u n = en n n ( n 1) a)la suite u semble décroissante. b)la suite u semble tendre vers 0. = g () et par produit g() =. 2) Pour tout n IN * par v n = ln (u n ). a)v n = ln( en n n ) = ln( e n ) ln( n n ) = n nln(n) pour tout n IN * b)v n = g(n) or la fonction g est décroissante sur l intervalle [1 ; + [ donc la suite v, définie à partir de n = 1, est décroissante. c) v n = ln (u n ) u n = ep(v n )pour tout n 1. On sait que, pour tout n 1, v n+1 < v n ; or la fonction eponentielle est strictement croissante sur IR donc elle conserve l ordre et ep(v n+1 ) < ep(v n ) donc la suite u est décroissante. 3) Pour tout n 1 u n 0 (quotient de nombres strictement positifs) Et pour tout n 1 on a v n 1(d après le tableau des variations de la fonction g) donc ep(v n ) e (croissance de ep sur IR), c est-à-dire, u n e. Ainsi,pour tout n 1 0 u n e.(le suite u est bornée)
4 4) La suite u est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un réel L. Mais on sait que u n = 0. (d après la partie A) et e = 0 donc ep(v n ) = 0 or ep(v n ) = u n. Ainsi v n = g(n) =
5 On considère la fonction f définie sur IR par f () = ln(1 + e ) La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Partie A 1. a. Déterminer la ite de la fonction f e. b. Montrer que la droite (D) d équation y = 1 est asymptote à la courbe (C ). 3 c. Étudier la position relative de (D) et de (C ). d. Montrer que pour tout réel, f () = ln(e 1) 2 3. e. En déduire la ite de f en. e 2 2. a. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout réel, f () = 3(e 1) b. En déduire les variations de la fonction f. Partie C On note (T) la tangente à la courbe (C ) au point d abscisse Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique. 2. Dans cette question, toute trace de recherche même complète sera prise en compte dans la notation : Soient M et N deu points de la courbe (C ) d abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (T). On considère la fonction f définie sur IR par f () = ln(1 + e ) La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Partie A 1. a. Déterminer la ite de la fonction f e. b. Montrer que la droite (D) d équation y = 1 est asymptote à la courbe (C ). 3 c. Étudier la position relative de (D) et de (C ). d. Montrer que pour tout réel, f () = ln(e 1) 2 3. e. En déduire la ite de f en. e 2 2. a. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout réel, f () = 3(e 1) b. En déduire les variations de la fonction f. Partie C On note (T) la tangente à la courbe (C ) au point d abscisse Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique. 2. Dans cette question, toute trace de recherche même complète sera prise en compte dans la notation : Soient M et N deu points de la courbe (C ) d abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (T).
6 Eercice 1 : (12 points) Partie A Liban juin 2010 Soit u la fonction définie sur ]0 ; + [ par u() = ln. 1. Étudier les variations de u sur ]0 ; + [ et préciser ses ites en 0 et e. 2. a. Montrer que l équation u() = 0 admet une solution unique sur ]0 ; + [. On note α cette solution. b. À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 10 2 de α. 3. Déterminer le signe de u() suivant les valeurs de. 4. Montrer l égalité : lnα = 2 α 2. Partie B On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; + [ par f () = 2 + (2 ln) 2. On note f la fonction dérivée de f sur ]0 ; + [. 1. Eprimer, pour tout de ]0 ; + [, f () en fonction de u(). 2. En déduire les variations de f sur ]0 ; + [.On déterminera les ites de f au bornes. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ) on note : C la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ; A le point de coordonnées (0 ; 2) ; M le point de C d abscisse appartenant à ]0 ; + [. 1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f () 2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g () = f () a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ; + [. b. Montrer que la distance AM est minimale en un point de C, noté P, dont on précisera les coordonnées. c. Montrer que AP = α 1+α Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à C en P? Eercice 1 : (12 points) 1. La fonction u est dérivable sur ]0 ; + [ comme somme de fonctions dérivables et pour tout réel strictement positif, u () = 2 1 Pour tout réel strictement positif, 2 > 0 et 1 > 0 donc u () > 0 ; la fonction u est donc strictement croissante. ln() = + donc, par somme u() = = + et = 2 et 0 + ln() = donc 0 u() =. 2. a. On applique le TVI (théorème des valeurs intermédiaires)sur]0 ; + [ : La fonction u est continue et strictement croissante sur ]0 ; + [ ; 0 ] ; + [,intervalle des images par f ;donc l équation u() = 0 admet une et une seule solution sur ]0 ; + [. On note α cette solution. b. À l aide de la calculatrice on remarque que u(1,31) < 0 < u(1,32) donc 1,31 < α < 1,32 3. La fonction u est croissante sur ]0 ; + [et u(α) = 0 donc 4. u(α) = 0 α 2 2+ ln(α) = 0 ln(α) = 2 α u() 0 +
7 Partie B On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; + [ par f () = 2 + (2 ln) 2. On note f la fonction dérivée de f sur ]0 ; + [. 1. Pour tout de ]0 ; + [, f () = 2+2 (2 ln ) ( 1 )= 2 (2 2 + ln) = 2 u() 2. 2 étant toujours positif sur ]0 ; + [, f () est du signe de u(), donc est strictement négative sur ]0 ; α[, et strictement positive sur ]α ; + [ et s annule en α. la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; α] et strictement croissante sur [α ; + [ et atteint un minimum en α. 2 = + et (2 ln) = or X² = + donc X + (2 ln)2 = + et par somme f () = = 0 et (2 ln) = + or X² = + donc (2 0 X + 0 ln)2 = + et par somme f () = +. 0 Partie C 1. Le point A a pour coordonnées (0 ; 2) et le point M( ; ln), donc AM = ( 0) 2 + (ln 2) 2 = f () 2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g () = f (). a. La fonction racine étant strictement croissante sur IR + et la fonction f prenant des valeurs toujours positives, les fonctions f et g = f ont même sens de variation. b. La fonction g atteint donc son minimum en α. La distance AM est donc minimale pour = α soit au point P(α ; lnα). Or lnα = 2 α 2 donc P a pour coordonnées (α ; 2 α 2 ). c. AP = (α 0) 2 + (2 α 2 2) 2 = α 2 +α 4 = α 1+α 2 (car α > 0). 3. La tangente à Γ en P a pour coefficient directeur 1/α et la droite (AP) a pour coefficient directeur y P y A P A = 2 α2 2α 0 = α. Le produit des deu coefficients directeurs donne 1 ;ainsi, la tangente Γ en P et la droite (AP) sont perpendiculaires. Eercice 1 TS5 DS5 CORRIGE Eercice 2 : Eercice 3 : Eercice4 :
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