UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion

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1 Année UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Économie & Gestion LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre 1 MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Enseignant responsable : J. Stéphan Documents pour l étudiant Chapitre 1 : Fonctions usuelles

2 2 1 Symboles et logique Définition 1. On note R l ensemble des nombres réels : tous les exemples et exercices de ce cours se feront dans cet ensemble de nombres ou un sous-ensemble de R. On dit qu un sous ensemble I de R est un intervalle de R, si pour tous réels a et b appartenant à I et pour tout réel x tel que a x b, alors x appartient à I. Soient a et b deux réels tels que a < b. On dit que l intervalle I des réels x est : 1. un intervalle fermé [a; b] (ou un segment) si, pour tout x appartenant à I, a x b. 2. un intervalle ouvert ]a; b[ si, pour tout x appartenant à I, a < x < b. 3. un intervalle semi-ouvert à droite [a; b[ (respectivement à gauche ]a; b]) si, pour tout x appartenant à I, a x < b (respect. a < x b). Dans ces trois cas, I est un intervalle dit borné de R. De la même façon, on définit les intervalles non bornés de R : Notation de l intervalle [a; b] C est l ensemble des réels x tels que a x b Représentation sur la droite réelle [a; b[ a x < b ]a; b] a < x b ]a; b[ a < x < b [a; + [ x a ]a; [ x > a ] ; b] x b ] ; b[ x < b Définition 2. Lorsqu un élément a appartient à un ensemble E, on note a E, dans le cas contraire, on note a / E. Lorsqu un sous-ensemble F est inclus dans un ensemble E, on note F E, et F E dans le cas contraire. Notez que F est inclus dans E si et seulement si tous les éléments de F appartiennent à E, mais qu il suffit qu un élément de F n appartienne pas à E pour que F ne soit pas inclus dans E.

3 3 Définition 3. est le quantificateur existentiel : il signifie «il existe au moins un(e)».! signifie «il existe un(e) unique». est le quantificateur universel : il signifie «Pour tout (s)» ou «Quel(le)s que soient». Ces quantificateurs sont des symboles mathématiques et ne doivent être utilisés que dans des assertions mathématiques et surtout pas comme des abréviations dans une copie! Exemples x R { 1, 0} ; x 1 x + 1 = 1 x 2 + x 2. x R ; x 2 3x = 4. (Par exemple x = 1 (ou x = 4).) Définition 4. La proposition «si P alors Q» (notée P = Q) est appelée implication. Elle est fausse si et seulement si P est vraie et Q fausse. Ce n est donc pas une relation de cause à effet car P = Q est vraie même si P est fausse! Lorsque l on a l implication P = Q, P s appelle la condition suffisante et Q la condition nécessaire Le proposition P Q s appelle équivalence, et se lit «P est équivalent à Q» ou bien «P si et seulement si Q». P Q signifie que l on a les deux implications P = Q et Q = P. Exemples Considérons la phrase : «Tout mathématicien est logique». Notons M l ensemble des mathématiciens et L l ensemble des personnes logiques : on a : (x M) = (x L). 2. x = 3 = x 2 = 9. Et x 2 = 9 x { 3, 3}. { } 5 3. (2x 5)(x 2 4) = 0 x 2 ; 2; 2. Définition 5. Le symbole Σ est l opérateur de sommation qui permet de représenter une somme i=n de termes indicés : se lit «somme des i, pour i allant de 1 à n». i est l indice de sommation. Exemples i=n i=n 0 i=0 i = i 2 = n(n + 1). (admis et à connaître ) 2 n(n + 1)(2n + 1). (admis et à connaître) 6 (2i + 1) = Théorème 1. Le symbole Σ possède des propriétés algébriques suivantes : i=n i=n i=n i=n ( i=n ) i=n i=n 1. (x i + y i ) = x i + y i et 2. (ax i + b) = a x i + b = a x i + n.b

4 4 Exercices (5i 7) = 2. On considère le tableau de résultats suivant : Notes x i Total Effectif n i Calculez la moyenne des notes. 2 Généralités 2.1 Définitions Définition 6. Soit E une partie de R (en pratique, E sera un intervalle ou une union d intervalles de R). Une fonction (numérique) définie sur E est un procédé qui permet d associer à tout réel x appartenant à E au plus un réel y = f(x). On note : f : E R x y = f(x) On pourra également noter plus simplement f : f(x) = y ou f : x f(x) Définition 7. On dit que y est l image de x par la fonction f, et que x est un antécédent de y par la fonction f. Définition 8. L ensemble de définition d une fonction f : E R est l ensemble des éléments de E qui ont une image par f. Cet ensemble sera noté D f ou simplement D. Exemples f : f(x) = 3x 7 est définie sur D f = 2. f : f(x) = 4 x 7 + 2x est définie sur D f = Exercices 2. Recherche d ensembles de définition 1. f(x) = A(x) : la fonction f est un quotient défini en x si et seulement si A et B sont définies B(x) en x et B(x) 0. Exemple : f : f(x) = x2 7x 3 est définie sur x f(x) = A(x) : la fonction f est définie en x si et seulement si A l est et A(x) 0. Exemple : f : f(x) = x 2 + 6x est définie sur 3. f(x) = B(x) A(x) : la fonction f est définie en x si et seulement si A et B le sont et B(x) > 0. Exemple : f : f(x) = x 8 x2 3x + 2 est définie sur

5 2.2 Éléments de symétrie d une courbe 5 4. f(x) = ln(a(x)) : la fonction f est définie en x si et seulement si A l est et A(x) > 0 Exemple : f : f(x) = ln( 2x 2 + x + 3) est définie sur Définition 9. Le plan étant muni d un repère (O; i, j), on appelle la courbe représentative de la fonction f (ou représentation graphique de f), l ensemble des points M de coordonnées (x; y), tels que x D f et y = f(x), cette courbe sera notée C f. On dit alors que l équation y = f(x) est l équation de la courbe C f dans le repère considéré. Remarque : Test des verticales Par définition, tout réel x a AU PLUS une image par la fonction f, cela signifie graphiquement que pour tout réel x 0 fixé, il y a au plus un point de C f d abscisse x 0 (Si x 0 appartient à D f, il y a un point de C f d abscisse x 0, sinon il n y pas de point d abscisse x 0 ). On en conclut que toute verticale (i.e. toute parallèle à l axe (Oy)) coupe la courbe C f en AU PLUS un point. Illustration Figure 1 Test des verticales 2.2 Éléments de symétrie d une courbe Définition 10. Une partie non vide E de R est dite centrée en zéro (ou symétrique par rapport à zéro), si pour tout x de E, x appartient aussi à E. Exemples 5. Contre-exemples : Définition 11. Une fonction f d ensemble de définition D est dite paire si D est centré en zéro et pour tout réel x de D, f( x) = f(x).

6 2.2 Éléments de symétrie d une courbe 6 Exercice 3. Exemple 6. Montrer que la fonction x x est paire. Les fonctions puissances paires sont des fonctions paires. Théorème 2. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d une fonction paire est symétrique par rapport à l axe (0y). Figure 2 Courbe d une fonction paire Définition 12. Une fonction f d ensemble de définition D est dite impaire si D est centré en zéro et pour tout réel x de D, f( x) = f(x). Exercice 4. Exemples 7. Montrer que la fonction x x2 + 4 x 3 est impaire. Théorème 3. Dans un repère du plan la courbe représentative d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine O du repère. Figure 3 Courbe d une fonction impaire

7 2.3 Variations d une fonction 7 Remarque : Savoir qu une fonction est paire ou impaire permet de l étudier sur D R + puis d utiliser la symétrie pour connaître f sur D. Exercices Montrez que le produit d une fonction paire et d une fonction impaire (définies sur R) est une fonction impaire. Que peut-on dire sur le produit de deux fonctions paires (respectivement impaires) définies sur R? 2. Montrez que la somme de deux fonctions paires (définies sur R) est une fonction paire. Que peut-on dire de la somme de deux fonctions impaires? 3. Montrez que la fonction g : g(x) = 3x 2 + 2x 1 n est ni paire ni impaire 2.3 Variations d une fonction Définition 13. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est croissante sur I si : (x 0, x 1 ) I I, x 0 < x 1 f(x 0 ) f(x 1 ) On dit que f est strictement croissante sur I si : On dit que f est décroissante sur I si : (x 0, x 1 ) I I, x 0 < x 1 f(x 0 ) < f(x 1 ) (x 0, x 1 ) I I, x 0 < x 1 f(x 0 ) f(x 1 ) On dit que f est strictement décroissante sur I si : (x 0, x 1 ) I I, x 0 < x 1 f(x 0 ) > f(x 1 ) 2.4 Composition de deux fonctions Définition 14. Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur D f et D g tels que pour tout x appartenant à D f, f(x) appartient à D g (ce que l on note par f(d f ) D g ). La composée de f suivie de g est alors la fonction h notée h = g f définie sur D f par h(x) = (g f)(x) = g(f(x)). Illustration : f g D f f(d f ) D g R x y = f(x) g(y) = g(f(x)) g f Exercices Déterminez les fonctions composées h = f g et l = g f lorsque f : f(x) = x 2 + 3x 4 et g : g(x) = 2x + 1.

8 8 2. Même exercice avec f : f(x) = x et g : g(x) = 3x + 5. (précisez les ensembles de définition) 1 3. Soit f définie par f(x) = + 5. Donner l ensemble de définition de f puis écrire f 3x + 2 comme composée f = l h g où g, h et l sont trois fonctions de «références». 3 Fonctions affines Définition 15. Une fonction affine f est une fonction définie sur R (à valeurs dans R) par f(x) = ax + b où a et b sont deux réels. Remarques : 1. Lorsque b = 0, la fonction f est dite linéaire. 2. Lorsque a = 0, f est une fonction constante. 3. La courbe représentative d une fonction affine f : f(x) = ax + b est la droite d équation y = ax + b. 4. Les droites d équations y = ax + b et y = a x + b sont parallèles si et seulement si a = a. 5. Si a > 0, f est strictement croissante sur R, et si a < 0, f est strictement décroissante sur R. 6. Une fonction affine f est entièrement déterminée par l image de deux réels : soient x 1 et x 2 distincts tels que f(x i ) = y i (i = 1, 2), alors a = y 2 y 1 x 2 x 1, et pour tout réel x, f(x) y 2 = a(x x 2 ). Exercices Déterminer la fonction affine f telle que f(1) = 4 et f(3) = 2 2. Déterminer la fonction affine g dont la droite représentative est parallèle à D f et passe par A(0; 1). Propriété : signe de ax + b : La résolution de l inéquation (I) : ax + b > 0 (où a 0) permet de déterminer le signe de ax + b : x b a + Exercices 8. signe de ax + b signe de a 0 signe de a 1. Résoudre l inéquation (2x 5)(1 x) < Résoudre l inéquation 3x x 1.

9 9 Exercice 9. Programmation linéaire Un artisan fabrique des chaises de deux types A ou B : Une chaise A nécessite 30 minutes de travail et 3 kg de bois. Une chaise B nécessite 1 heure de travail et 2 kg de bois. De plus l artisan dispose quotidiennement de 24 kg de bois, il travaille au plus 8 heures par jour et il limite sa production de chaises A à 7 unités par jour. Soient x et y les nombres respectifs de chaises A et B fabriquées par jour. (x et y sont des entiers naturels) 1. Traduire les contraintes de l énoncé sous forme d un système d inéquations. 2. La vente d une chaise A rapporte un bénéfice de 12 euros, et la vente d une chaise B un bénéfice de 18 euros. On suppose que toute chaise fabriquée est vendue. Exprimer en fonction de x et y le bénéfice réalisé par l artisan. 3. Déterminez graphiquement le bénéfice maximal réalisé par l artisan. à quelle production ce bénéfice maximal correspond il? 4 La fonction valeur absolue Définition 16. Soit x un réel, la valeur absolue de x, notée x est définie par : x = x si x 0 et x = x si x 0 On a aussi : x = sup(x; x). Exemples : 3, 46 = ; π = ; 5 = Remarque : Si l on considère la droite réelle munie d un repère (O; i), la valeur absolue de x est alors la distance du point O au point M d abscisse x. Si M(x) et N(y) sont deux points de la droite réelle, alors la distance MN = y x. Les propriétés qui suivent sont des conséquences de la définition. Propriétés x R, x x R, x = x. 3. x = 0 x = (x, y) R 2 x, xy = x y et si y 0. y = x y. 5. x R, n N, x n = x n. 6. Inégalité triangulaire : x R, y R, x + y x + y Théorème x R, x 2 = x et 2. x 0, ( x ) 2 = x = x. Application : Fonctions définies par une valeur absolue : Soit f une fonction définie sur D, alors la fonction g = f définie sur D par g(x) = f(x) vérifie : g(x) = f(x) si f(x) 0 et g(x) = f(x) si f(x) 0. Exercices 10. Écrire sans valeur absolue les fonctions suivantes : 1. f : f(x) = 3 x + 3x + 1 et 2. g : g(x) = 3 2x 1 + x 2 + 1

10 10 Théorème 5. Inéquations : Soient A > 0 et x 0 R : 1. x A x [ A; A]. 2. x > A x ], A[ ]A, + [. 3. x x 0 A x [ A + x 0, A + x 0 ]. 4. x x 0 > A x ], x 0 A[ ]x 0 + A, + [. Exercice 11. De même, traduire sous forme d intervalles les inéquations : x < A puis x A (A > 0) 5 Les fonctions polynômes du second degré Définition 17. Une fonction f est une fonction polynôme du second degré s il existe des réels a, b et c (où a est non nul) tels que f(x) = ax 2 + bx + c. Une telle fonction est donc définie sur R Théorème 6. Soit (E) l équation ax 2 + bx + c = 0 (a 0). On note le réel : = b 2 4ac. 1. Si > 0, l équation (E) possède deux solutions réelles distinctes x 1 = b 2a et x 2 = b + 2a 2. Si = 0, l équation (E) possède une unique solution réelle x 0 = b 2a. 3. Si < 0, l équation (E) ne possède pas de solution réelle.. Définition 18. Le réel est appelé discriminant de l équation (E) (ou de la fonction f : f(x) = ax 2 + bx + c). Théorème 7. Soit f(x) = ax 2 + bx + c (a 0). 1. Si > 0, f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ). 2. Si = 0, f(x) = a(x x 0 ) Si < 0, f(x) ne se factorise pas sur R. Théorème 8. Soit f(x) = ax 2 + bx + c (a 0). 1. Si > 0, on a le tableau de signes suivant : x x 1 x 2 + signe de f(x) signe de a 0 signe de a 0 signe de a 2. Si = 0, x x 0 + signe de f(x) signe de a 0 signe de a 3. Si < 0, f(x) est du signe de a pour tout réel x

11 11 Théorème 9. La courbe représentative d une fonction polynôme du second degré f : f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) est la parabole P d équation y = ax 2 + bx + c 1. P possède un axe de symétie vertical : la droite d équation x = b 2a ( b 2. Le point S 2a ; ) est le sommet de P. 4a 3. Si a > 0, f possède un minimum en x = b b, et si a < 0, f possède un maximum en x = 2a 2a. 4. Si > 0, P coupe l axe des abscisses (Ox) en deux points de coordonnées (x 1, 0) et (x 2, 0), Si = 0, P est tangente à l axe (Ox) au point S(x 0, 0). Si < 0, P n a pas de point d intersection avec l axe (Ox). Illustrations : Les 6 figures suivantes illustrent les différents cas rencontrés selon le signe de a et le signe de. 4a S j b 2a O x 1 x 2 i j O i S b 2a j O i b 2a 4a S Figure 4 a > 0 4a j O i S x 1 x 2 b 2a j O i b 2a S j O i b 2a 4a S Exercices 12. Figure 5 a < 0 1. Résoudre l inéquation (1 3x)( 2x 2 + 3x + 5) > Construire «à mains levées» la parabole représentative de la fonction f : f(x) = 2x 2 + 5x Donner la forme canonique de P (x) = 2x 2 6x + 9.

12 Exercice 13. Extrait du Test d Octobre 2011 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x 2 + 2x Tracez la parabole P f dans un repère orthonormé d unité 1 cm : vous préciserez sur votre copie les coordonnées du sommet, l équation de l axe de symétrie, les points d intersection de P f avec les axes du repère. 2. On considère la fonction g définie sur R par g(x) = x + 1. Exprimer g(x) sans «valeur absolue», puis tracez la courbe représentative C g de g dans le même repère que P f. 3. Résoudre graphiquement l équation (E) : f(x) = g(x) puis l inéquation (I) : f(x) > g(x). 4. Résoudre algébriquement l équation (E) puis l inéquation (I). 6 Fonctions polynômes Exercice 14. Soient P (x) = 2x 2 3x et Q(x) = x 4 7x 3 + x 5. Donner la forme développée réduite et ordonnée des polynômes P + Q, P Q, P 2Q. Exercices 15. Justifiez que P 0 divise P 1 dans les cas suivants : 1. P 0 (x) = x + 1 et P 1 (x) = x 2 + 2x P 0 (x) = x 2 + x + 1 et P 1 (x) = 2x 3 + x 2 + x 1 Exercice 16. Effectuer la division euclidienne de P 1 (x) = x 4 + x 3 x 1 par P 0 (x) = x 2 1 afin de justifier que P 0 divise P 1. Exercice 17. Soit P (X) = X 4 + 2X 3 2X 2 3X + 2 Déterminer deux racines «évidentes» de P (X) afin de factoriser au maximum P (X) sur R. Exercice 18. Extrait de l examen de Juin 2012 On considère le polynôme P (X) = 2X 3 + 3X 2 8X Calculer P (1), en déduire que P (X) est divisible par un polynôme de degré Effectuer la division euclidienne de P (X) par (X 1). En déduire la factorisation de P (X) en un produit de polynômes de degré 1. P (X) 3. En déduire la résolution de l inéquation (I) : X 0

13 7 Quelques rappels sur la dérivation Les étudiants doivent connaître le tableau des fonctions dérivées des fonctions de références suivantes (Les fonctions «Logarithme Népérien» et «Exponentielles» seront (re)vues dans les paragraphes suivants) : f : f(x) =... f (x) =... Ensemble de validité ax + b a R x n (n N ) nx n 1 R x n (n Z ) nx n 1 ] ; 0[ ]0; + [ x 1 2 x ]0; + [ x α (α R ) αx α 1 ]0; + [ e x e x R ln x 1 x ]0; + [ a x (a R +) (ln a)a x ]0; + [ Opérations usuelles Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I : Fonction Dérivée Condition f + g f + g k.f k.f k R f g f g + f g 1 g f g g g 2 x I, g(x) 0 f g f g g 2 x I, g(x) 0

14 Théorème : Dérivée d une fonction composée Soient f et g deux fonctions dérivables sur respectivement I et J tels que f(i) J. Alors la fonction composée g f est dérivable sur I et pour tout x I, (g f) (x) = f (x) (g f) (x) On obtient ainsi les dérivées suivantes : Fonction Dérivée Condition f n (n N ) nf f n 1 f n (n Z ) nf f n 1 x I, f(x) 0 f α (α R ) αf f α 1 x I, f(x) > 0 ln f exp(f) f f f exp(f) x I, f(x) 0 Exercice 19. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, définies et dérivables sur l intervalle I : f 1 (x) = x 5 x 4 + 2x 3 x + 1 sur I = R f 2 (x) = x 2. x sur I =]0; + [ f 3 (x) = 1 x 2 1 x sur I =]0; + [ f 4(x) = x. x sur I =]1; + [ f 5 (x) = x + 3 2x + 1 sur I =] 1; + [ f 6(x) = 1 x La fonction Logarithme Népérien Définition : sur I =]1; + [ On admet qu il existe une unique fonction, définie et dérivable sur R +, dont la dérivée est la fonction inverse x 1, et vérifiant en outre ln(1) = 0. x On l appelle fonction logarithme népérien ; elle est notée ln. Exercices Ecrire uniquement à l aide d un seul logarithme les nombre réels suivants : A = 2 ln 3 + ln 2 = ; B = ln 7 2 ln 9 = ; C = 4 ln ln 2 + ln 8 = ; D = 2 ln 12 ln 9 = Ecrire les nombres suivants sous la forme x ln 2 + y ln 3 : E = ln(3 2 4 ) ln 6 ln 4 3 =

15 F = ln 18 2 ln( ) = G = ln 3 ln ln 9 4 = Exercice 21. Résoudre les équations et inéquations suivantes : ne pas oublier de donner l ensemble de validité AVANT de commencer la résolution (E 1 ) : ln(3x) = ln(x + 2) (E 2 ) : ln(3x) = ln(x 2) (E 3 ) : ln(x + 3) = ln 3 + ln(x 2) (E 4 ) : ln(x 2 4) = ln( 2x) (I 1 ) : ln(3 x) ln(2x + 1) (I 2 ) : ln(x + 1) < ln 2 9 La fonction Exponentielle Définition : D après le paragraphe précédent, tout réel b possède un unique antécédent a > 0 par la fonction logarithme népérien, i.e. ln a = b. Ceci{ nous permet de définir { une fonction sur R, x R y R appelée fonction exponentielle, notée exp, telle que : y = exp x + x = ln y On dit que la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction ln Exercices Simplifiez les expression suivantes : A = e ln 5 = ; B = e 2 ln 2 = ; C = e 2 ln 3 = ; D = e 2x 1 e x+1 = E = ln(e 7 ) = ; F = e 1 2 ln 7 = ; G = e1 3x = 2. Résoudre les équations et inéquations suivantes : (E 1 ) : e x+1 = 1 ; (E 2 ) : e 3x 1 = 5 (E 3 ) : e x2 = e 2 x ; (I 1 ) : e x 1 0 ; (I 2 ) : e x > e 2 (I 3 ) : e x 5 Exercice 23. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, définies et dérivables sur l intervalle I : f 1 (x) = ln 2x sur I =]0; + [ f 2 (x) = ln(x 2 ) sur I =]0; + [ f 3 (x) = (ln x) 2 sur I =]0; + [ f 4 (x) = ln x x sur I =]0; + [ f 5 (x) = e x sur I = R f 6 (x) = x.e x2 sur I = R

16 Courbe de la fonction exponentielle : On admet que la courbe de la fonction exponentielle est l image de celle de la fonction logarithme népérien par la symétrie d axe la première bissectrice. Figure 6 Tableau de variation et courbe de la fonction exp 10 Fonctions exponentielles de base a Définition : Soit a un réel strictement positif : on appelle fonction exponentielle de base a la fonction définie sur R par : f a (x) = a x = e x ln a. Variations : Si a > 1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur R, elle est strictement décroissante si 0 < a < 1.

17 x 0 + x 0 + f (x) = ln ae x ln a + f (x) = ln ae x ln a f(x) = a x f(x) = a x ( ) 1 x Figure 7 Les courbes des fonctions x 0, 5 x, x 2 x, x et x 3 x 3 Remarques : Les courbes des fonction f a et f 1 sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées a (Oy). Exercices Simplifiez les expressions suivantes : A = e 1 3x e 2x+7 = ; B = 45x 3 4 2x 1 = C = 3 1+x 9 x 2. Résoudre les équations suivantes : (E 1 ) : 3 x = ; (E 2 ) : 1, 02 x = 3 ; (E 3 ) : e x 2 1 = 8 e x

18 3. M. X fait un placement de 5000 euros sur un compte rémunéré au taux annuel de 3, 5% à intérêts composés. On note C n le capital (exprimé en euros) acquis au bout de n années. Déterminer l expression de C n en fonction de n. Soit f la fonction définie sur [0; 25] par f(x) = , 035 x. Étudier les variations de f. Déterminer par un calcul au bout de combien de temps (au mois près) M. X aura doublé son capital. 4. Pour fabriquer un nouveau produit, une entreprise a investi euros dans une nouvelle machine. Cette machine se revend au bout d une durée d utilisation t, exprimée en années, au prix p, exprimé en milliers d euros, donné par la fonction : p(t) = 500e t 10 Calculer p (t) et déterminer les variations de p Déterminer par un calcul au bout de combien de temps (au mois près) la machine a perdu la moitié de sa valeur. 11 Fonctions puissances d exposants réels Définition : Soit r un réel non nul : on appelle fonction puissance d exposant r la fonction définie sur R + par : f r (x) = x r = e r ln x. Variations : Si r > 0, la fonction puissance d exposant r est strictement croissante sur R, elle est strictement décroissante si r < 0. Figure 8 Les courbes des fonctions x 1, x x 1, x x 1, x x 1 2 et x x 2

19 Exercices Écrire sous la forme 2 a 3 b (a et b réels) a) 6 4,5 b) 18 1,3 2 5 = c) 12 1,6 9 0,5 d) 126,4 6 2,3 2. Résoudre les équations suivantes : (E 1 ) : x 3 = (E 2 ) : (1 + t) 4 = 0, 0016 (E 3 ) : x 1 5 = 3 (E4 ) : (1 + t) 1 2 = 0, Pour un produit, une étude statistique montre que la demande (en milliers d unités) y en fonction du prix unitaire x (en euros) suit la relation ln y = 0, 9 ln x + 2. Montrer qu on a la relation y = e 2 x 0,9. En déduire le prix unitaire que l on doit fixer pour une demande de 3000 unités. Remarques : Fonctions puissances entières 1. Si n N, la fonction «puissance n» est définie sur R par f n : f n (x) = x n 2. Les propriétés vues ci-dessus, restent bien entendu valable lorsque les puissances sont des entiers naturels. 3. Illustration : Si 0 < x < 1 alors x > x 2 > x 3 > x 4 >... > x n > x n+1 >... > 0 Si x > 1 alors 0 < x < x 2 < x 3 < x 4 <... < x n < x n+1 <... Figure 9 Les courbes des fonctions x x, x x 2, x x 3 et x x 4