Devoir commun Décembre ème LV2
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- Colette Favreau
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1 Devoir commun Décembre ème LV2 Collège OASIS Corrigé de l Epreuve de Mathématiques L usage de la calculatrice est autorisé, mais tout échange de matériel est interdit Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque Exercice 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chaque question, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A, B, ou C choisie ( ex : 1 -> C ) N Questions A B C = Le nombre décimal 0,246 s écrit aussi : 2, , , L inverse de 1 est : Un bidon contient 25 L. Si on augmente sa contenance de 2%, il peut alors contenir : 25,2 L 25,5 L 27 L et 3151 sont-ils premiers entre eux? Oui Non On ne peut pas le savoir 6 L expression 6 4(x 2) est égale à : 2x x 4x 2 Exercice 2 Voici un octogone régulier ABCDEFGH. 1. Représenter un agrandissement de cet octogone en l inscrivant dans un cercle de rayon 3 cm. Aucune justification n est attendue pour cette construction. 2. Démontrer que le triangle DAH est rectangle. Calculer la mesure de l angle BEH.
2 1 ) Explications : - Construire le cercle de centre 0 et de rayon 3 cm. - Sur ce cercle, placer un point A, puis placer un point B tel que AOH = 360 = A l aide du compas, reporter la longueur AB en partant de B jusqu à revenir en A. 2 ) L octogone ABCDEFGH est régulier et inscrit dans le cercle de centre O. Les points D et H sont diamétralement opposés, le triangle DAH est donc inscrit dans le cercle de diamètre [DH]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse. Le triangle DAH est donc rectangle en A. 3 ) ABCDEFGH est un octogone régulier de centre 0. Or, si un polygone régulier de centre O a n côtés, alors tous les angles au centre formés par deux sommets consécutifs ont la même mesure égale à 360 n Donc, BOH = 2 AOH = = 2 45 = 90 8 Or, dans un cercle, si un angle inscritet un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l angle au centre est le double de celle de l angle inscrit. Donc, BEH BOH = = 90 :2 = 45 2
3 Exercice 3 Cédric s entraîne pour l épreuve de vélo d un triathlon. La courbe ci-dessous représente la distance en kilomètres en fonction du temps écoulé en minutes. Pour les trois premières questions, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques. Aucune justification n est attendue sur la copie. 1. Quelle distance Cédric a-t-il parcourue au bout de 20 minutes? Cédric a parcouru 10 km au bout de 10 minutes 2. Combien de temps a mis Cédric pour faire les 30 premiers kilomètres? Cédric a mis 50 min pour faire les 30 premiers kilomètres. 3. Le circuit de Cédric comprend une montée, une descente et deux portions plates. Reconstituer dans l ordre le trajet parcouru par Cédric. Voir le Graphique : Plat Descente Plat montée 4. Calculer la vitesse moyenne de Cédric (exprimée en km/h) sur la première des quatre parties du trajet. Sur la 1 ère partie du trajet, il parcourt 10 km en 20 minutes, en 60 minutes, il parcourt donc : = 30km sa vitesse en km/h est donc 30 km/h
4 Exercice 4 ABCD est un rectangle tel que AB = 30 cm et BC = 24 cm. On colorie aux quatre coins du rectangle quatre carrés identiques en gris. On délimite ainsi un rectangle central que l on colorie en noir. 1. Dans cette question, les quatre carrés gris ont tous 7 cm de côté. Dans ce cas : a. quel est le périmètre d un carré gris? b. quel est le périmètre du rectangle noir? 2. Dans cette question, la longueur du côté des quatre carrés gris peut varier, et on l appelle x a. Exprimer la longueur L et la largeur l du rectangle en fonction de x b. Calculer le périmètre du rectangle en fonction de x c. Est-il possible que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris? 1. a. Périmètre d'un carré gris : 7 x 4 = 28 cm b. Longueur du rectangle noir : 30 2x7 = = 16 cm Largeur du rectangle noir : 24 2x7 = = 10 cm Périmètre du rectangle noir : ( ) x 2 = 26 x 2 = 52 cm 2. a. Longueur L du rectangle en fonction de x: 30 2x Largeur du rectangle en fonction de x : 24 2x b. Périmètre du rectangle en fonction de x: [(30-2x)+(24 2x)] x 2 = (30 2x x) x 2 = (54 4x) x 2 = 108 8x c. On est ramené à résoudre l'équation : 108 8x = 4x 8x - 4x =108 4x = 108 x = 27 Le carré devra mesurer 27 cm de côté
5 Exercice 5 Sur le dessin ci-contre, les points A, B et E sont alignés, et C le milieu de [BD]. 1. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 2. En déduire la nature du triangle BDE. 3. Calculer ED. Arrondir le résultat au dixième. 1. Dans le triangle ABC, on sait que BC = 3 AC² = 5² = 25 AB² + BC² = 4² + 3² = = 25 Donc AC² = AB² + BC², donc ABC est rectangle en B d'après la réciproque du théorème de Pythagore. 2. BDE est un triangle rectangle en B donc : ED² = EB² + BD² soit ED² = 7² + 6² = = 85 donc ED = 85 9,2 cm Exercice 6 Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Rappel : toutes les réponses doivent être justifiées. Affirmation 1 : «La vitesse moyenne d un coureur qui parcourt 18 km en une heure est strictement supérieure à celle d une voiture télécommandée qui parcourt 5 m par seconde.» 5 m par seconde correspond à 5x3600 m par heure soit m/h = 18 km/h C'est donc faux Affirmation 2 : «Pour tout nombre x, on a l égalité : (3x 5) 2 = 9x 2 25» C'est faux car (3x 5)² = 9x² 30x + 25 Affirmation 3 : «Le PGCD de 18 et de 36 est 9» Faux car le PGCD de 18 et 36 est 18 Affirmation 4 : «Le double de 9 4 est 9 2 Vrai car = = 9 2
6 Exercice 7 Pour choisir un écran de télévision, d ordinateur ou une tablette tactile, on peut s intéresser : à son format qui est le rapport longueur de l écran largeur de l écran à sa diagonale qui se mesure en pouces. Un pouce est égal à 2,54 cm. 1. Un écran de télévision a une longueur de 80 cm et une largeur de 45 cm. S agit-il d un écran de format 4 16 ou? Un écran est vendu avec la mention«15 pouces». On prend les mesures suivantes : la longueur est 30,5 cm et la largeur est 22,9 cm. La mention «15 pouces» est-elle bien adaptée à cet écran? 3. Une tablette tactile a un écran de diagonale 7 pouces et de format 4, sa longueur étant 3 égale à 14,3 cm, calculer sa largeur, arrondie au mm près = = c est donc du Calcul de la longueur de la diagonale 30, ,9 2 = 1454,66 38,14 cm Conversion en pouces 38,14 2,54 15 pouces. La mention est donc bien adaptée 3. Convertissons 7 pouces en cm : 7 2,54 = 17,78 En appliquant le Théorème de Pythagore, calcul de la largeur : 17, ,3 2 = 111, ,6 cm
7 Exercice 8 Voici un programme de calcul 1. Montrer que si on choisit 8 comme nombre de départ, le programme donne 12 comme résultat. 8 6 = 2 ; 8 2 = 6 ; 2 6 = Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées. Proposition 1 Le programme peut donner un résultat négatif ; Oui, exemple si on choisit comme nombre de départ 3 Proposition 2 si on choisit comme nombre de départ, le programme donne 4 Exercice 9 résultat ; = = 11 1 ; = = 3 ; = 33 4 La proposition est donc vraie Proposition 3 Le programme donne 0 comme résultat pour exactement deux nombres ; Pour obtenir 0, il suffit de choisir comme nombre de départ : 6 ou 2 1. Sans faire de calcul, expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction Les deux nombres sont pairs donc divisibles par 2 2. Calculer le PGCD des nombres 258 et avec la méthode de votre choix en détaillant les calculs. PGCD(258,1204) = En déduire la fraction irréductible égale à = = 3 14
8 Exercice 10 Des élèves participent à une course à pied. Avant l épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté ci-contre. On convient que : Les droites (AE) et (BD) se coupent en C. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. ABC est un triangle rectangle en A. Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE. Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche,. Elle sera prise en compte dans la notation Pour calculer la longueur réelle du parcours, on calculera d abord les longueurs manquantes : BC, CD et DE Calcul de BC ABC est rectangle en A, donc d après le Théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² soit BC² = 300² + 400² = = Donc BC = = 500m Calculs de CD et DE Les triangles ABC et CDE sont en situation de Thalès, donc CA = CB = AB 400 soit = 500 = 300 CE CD DE 1000 CD DE Calcul de CD CD = = 1250m 400 Calcul de DE DE = = 750m 400 longueur réelle du parcours ABCDE = 4200m
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