Exercices. Intégration et primitives

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1 Eercices Intégration et primitives Eercice Notion d intégrale ) Pour chaque fonction affine par morceau f, représentée ci-dessous, calculer, en utilisant les aires, l intégrale I( f ) sur l intervalle de définition de f ) Dans chaque cas, la fonction f est représentée par sa courbe C f, dont une équation est indiquée. a) Prouver que C f est un demi-cercle. Préciser son centre et son rayon. b) En déduire l intégrale de f sur son intervalle de définition. C f y= 4 C f y=+ ( ) 3 + 3) Les fonctions affines par morceau f et g sont définies sur l intervalle [ ;5] par : + si f ()= + si < 3 et g() = + 3 si 5 si 3< si < 5 4 a) Calculer les intégrales sur [ ;5] de f et g. b) En déduire les intégrales sur [ ;5] des fonction f+ 4g et 5 f g paulmilan / 4 mars

2 Eercice Encadremment et valeur moyenne ) Comparer, sans les calculer les réels I et J. a) I= e d b) J= ) Démontrer les encadrements suivants : a) t dt 9 b) e) ln d 3 ln( ) d ln 3+ ln 5 3) La suite (I n ) est définie surnpar : I n = a) Prouver que la suite (I n ) est décroissante. b) Est-elle convergente? e d c) +t dt 3 d) e 4 (+t n ) dt d e 4) Calculer la valeur moyenneµsur l intevalle [ ; ] de la fonction f : 5) Dans chacun des cas suivants,µdésigne la valeur moyenne d une fonction continue f sur un intervalle I. Calculer l intégrale indiquée : a)µ= ; I= [; 4] ; 4 c)µ= [ π ; I= π ] 4 ;π ; f paire ; 4 f () d b)µ=ln ; I= [; 3] ; π 4 f () d 6) Pour tout entier naturel non nul n, on pose : I n = a) Démontrer que n+ I n n b) La suite (I n ) est-elle convergente? 7) f est la fonction définie surr + par : f ()= +. La suite (u n ) est définie surnpar : u n = n n+ n f (t) dt d 3 f () d a) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. b) Prouver que pour tout entier n, u n n. La suite (u n) converge t-elle? paulmilan / 4 mars

3 Eercice 3 Primitive ) Prouver dans les cas suivantes que la fonction F est une primitive de la fonction f sur un intervalle I. a) f ()=tan ; F()=tan ; I= ] π ;π. [ ( b) f ()= (4 ; F()= + ; I=];+ [ ) 3 c) f ()=cos sin ; F()= cos ; I=R d) f ()= +e ; F()= ln(+e ) ; I=R e) f ()= ; F()=ln(ln ) ; I=];+ [ ln ) Montrer que les fonction F et G sont deu primitives de la même fonction f sur un intervalle I. F()= + 3 ; G()= ; I=];+ [. Eercice 4 Calcul de primitive Pour les eercices suivants, donner une primitive de la fonction f sur l intervalle I indiqué. Linéarité de la primitive ) f ()= , I=R ) f ()= +, I=R 3 3) f ()= 3, I=];+ [ 4) f ()= 4 3+, I= 5) f ()= Forme u u n cos, I=[ ; π [ 6) f ()=(+) 3, I=R 7) f ()= ( )5, I=R 3 8) f ()=(3 ) 5, I=R 9) f ()=(+ ) 5, I=R ) f ()=sin cos, I=R Forme u u ) f ()= 4, I=]4;+ [ ) f ()=, 4 I=] ; 4[ 3) f ()=, I=]; [ Forme u un, n 4) f ()= (+4), I=] 4;+ [ 3 5) f ()= 6) f ()= (3 ), I=] ; [ 3 ( +3), I=R paulmilan 3/ 4 mars

4 7) f ()= 8) f ()= Forme u u 9) f ()=, I=] ; 3[ ( 3) 4 ( 3 + 8) 3, I=] ;+ [ +, I= ] ;+ [ Forme u e u ) f ()=e +, I=R ) f ()=e 3, I=R 3) f ()= e, I=R 4) f ()=sin e cos, I=R Forme u(a + b) 5) f ()=cos(3)+sin(), I=R ) f ()=, I=];+ [ 6) f ()=3 cos sin()+, I=R ( π ) 7) f ()=sin 3, I=R Eercice 5 Primitive et condition initiale Pour les eercices suivants, trouver la primitive F, de la fonction f, qui vérifie la condition donnée sur un intervalle I à préciser. ) f ()= , F()= ) f ()= +, F()= 3) f ()= (+), F()= ( 4) f ()=sin π ) ( π, F = 4 ) ( π 5) f ()=cos sin, F = ) 6) f ()= cos 3 sin ( π ), F = 7) f ()= (+), F( )= 8) f ()= 3, F()= 9) f ()= ( ), F()= ) f ()=e 3+, F( )= ) f ()= e, F( ln )= ) f ()= + +, F()= Eercice 6 Calcul d intégrales Pour les eercices suivantes, calculer les intégrales indiquées à l aide d une primitive. ) I= ) I= 3) I= 4 ( 3) d (t 4t+3) dt ( t + t ) dt t 4) I= 5) I= 6) I= ln 3 ln 3 3 ( + ) d e d dt (t+) 7) I= 8) I= 9) I= 4 d 3 d 4 d paulmilan 4/ 4 mars

5 ) I= d ) I= 4 5e 3 d ) I= te t dt Eercice 7 Calcul d aire La fonction f est représentée par la courbe ci-dessous. Utiliser la relation de Chasles pour calculer les intégrales : I= 3 f (t) dt et J= f (t) dt y= Eercice 8 Calcul d intégrale par une décomposition ) a) Trouver les réel a et b tels que, pour tout réels der { 3; 3}, on a : b) En déduire : I= d 9 = a 3 + b +3 ) a) Trouver trois réel a, b et c tels que pour tout réel der { 3}, on a : = a+b+ c +3 b) En déduire : I= ) a) Prouver que pour tout réel : b) En déduire : I= +e d d e +e= +e paulmilan 5/ 4 mars

6 Eercice 9 Calcul de primitives Calculer une primitive de la fonction f sur l intervalle indiquée. ) f ()= I=] ; [ 3 ) f ()= cos I=] π; ] sin 3) f ()= e I=];+ [ 4) f ()=sin cos I=R 5) f ()= Eercice sin cos I=];+ [ 6) f ()= 7) f ()= ln ln I=];+ [ I=];+in f ty[ 8) f ()= ln I=];+ [ 9) f ()= e e e + e Primitive d une fonction rationnelle par décomposition I=R f désigne une fonction rationnelle définie sur un intervalle I. Déterminer une primitive de f à l aide de la décompostion proposée ) f ()= I=];+ [. Ecrire f () sous la forme f ()=a+ b + ) f ()= 3 4 3) f ()= I=];+ [. Ecrire f () sous la forme f ()=a+b+ c a) I=]3;+ [ b) I=] 3; 3[ c) I=] ; 3[ 4) f ()= + + ( ) I=];+ [. Ecrire f () sous la forme f ()= Eercice Intégration par partie Calculer les intégales suivantes à l aide d une intégration par partie. a b ( ) + (+) ) I= ) I= 3) I= e e π ln d ln t dt ( ) cos d 4) I= 5) I= 6) I= (+)e d (t )e t dt + d paulmilan 6/ 4 mars

7 Eercice Primitive par intégration par partie Trouver la prmitive F, nulle en a, des fonction f suivantes déterminées sur I ) f (t)=ln(t ) I=];+ [ a= ) f (t)=(t+) sin t I=R a= 3) f (t)=(t+) e t I=R a= (on fera deu intégrations par partie). 4) f (t)=(ln t) I=];+ [ a= (on fera deu intégrations par partie). 5) f (t)=e t cos t I=R a= (on fera deu intégrations par partie). Eercice 3 Asie juin 5 n s intéresse dans cet eercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e. n définit, pour tout entier naturel n, l intégrale I n = ) Calculer I. ) Établir que pour tout entier naturel n, I n n n! n! ( )n e d. ( e ). 3) À l aide d une intégration par parties, montrer que n N, n, I n+ = I n n+ (n+)!. 4) Démontrer par récurrence que e = +! + n + +! n! + I n. 5) n pose, pour tout entier naturel n, u n = n n!. a) Calculer u n+ u n et prouver que pour tout entier naturel n 3, u n+ u n. b) En déduire que pour tout entier naturel n 3, u n u 3 ( ) n 3. 6) En déduire la limite de la suite (u n ) puis celle de la suite (I n ). 7) Justifier enfin que : ) e n = lim ( n +!! n! 8) Cette égalité permet de trouver une valeur approchée de e. Ecrire deu algorithmes avec votre calculatrice qui permettent : a) De donner la valeur de S n = +! + n + + en fonction de n. n remplira! n! le tableau suivant pour valider cet algorithme : n 3 S n b) De donner le nombres itérations nécessaire pour obtenir une précision donnée : Précision P Nombre d itération paulmilan 7/ 4 mars

8 n pourra constater que itération supplémentaire augmente la précision d un facteur. Eercice 4 Suite n considère les suites ( n ) et (y n ) définies pour tout entier naturel n non nul par : n = t n cos t dt et y n = ) a) Montrer que la suite ( n ) est à termes positifs. b) Étudier les variations de la suite ( n ). t n sin t dt c) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite, ( n )? ) a) Démontrer que, pour tour entier naturel n non nul : b) En déduire la limite de la suite ( n ). n n+ 3) a) À l aide d une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : n+ = (n+)y n + sin() b) En déduire que : lim n y n = 4) n admet que, pour tout entier naturel n non nul : Déterminer lim n + n n et lim n + ny n Eercice 5 Amérique du Sud nov 4 y n+ = (n+) n cos() n a représenté ( ci-contre, dans un repère orthonormal, ı, ) j, la courbe représentative de la fonction f dérivable sur R, solution de l équation différentielle A B (E) : y + y= et telle que f ()=e ) Déterminer f () pour tout réel. ) Soit t un réel donné de l intervalle [ ;e]. Résoudre dansrl équation e = t d inconnue. 3 paulmilan 8/ 4 mars

9 3) Soit A le point d abscisse et B le point d abscisse de la courbe. n considère le solide obtenu par rotation autour de l ae des ordonnées de l arc de courbe AB comme représenté ci-contre. n note V son volume. n admet que V=π e ( ln t) dt. Calculer V à l aide de deu intégrations par parties successives. Eercice 6 Volume d un phare Calculer le volume V du phare ci-contre obtenu par révolution autour de l ae (z) du morceau de parabole d équation : z 4 z= ( ) dans le plan (z) ; unité 6 cm Eercice 7 Contenance d un château d eau L intérieur d un château d eau a la forme du solide de révolution obtenu en faisont tourner autour de z) la branche d(hyperbole définie par : z z=5 z. L unité étant égale à m, calculer la contenance du château d eau (en hectolitre). Eercice 8 La trompette paulmilan 9/ 4 mars

10 eercices Déterminer le volume de la trompette obtenue par révolution autour de l ae (z) du morceau de parabole d équation : y y=z avec z z Eercice 9 Volume d un tore Un tore est un solide qui a la forme d une «chambre à air» ou d un «donut» pour les anglais. Il est caractérisé par d et R comme indiqué sur la figure suivante : d R Si l ae du tore est l ae z alors lorsqu on découpe le tore par des plan perpendiculaires à cet ae, on obtient des couronnes dont les rayon des cercles intérieur et etérieur sont respectivement d+ r(z) et d r(z). n donne le schéma suivant : d z r(z) r(z) R ) Déterminer la surface d une couronne d altitude z en fonction de d et r(z). ) en déduire le volume du tore paulmilan / 4 mars