Equations différentielles et Cinétique chimique

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1 Equaions différnills Cinéiqu chimiqu En Cinéiqu, l'éud ds visss lors ds réacions condui à ds équaions différnills don la plupar corrspondn au programm d Mahémaiqus ds classs d STS chimiss Ls sujs raiés n Chimi général prmn ainsi d'illusrr l cours d Mahémaiqus d monrr l'uilié d'un bonn maîris ds ouils mahémaiqus Cpndan, ls mêms xrcics son souvn résolus d manièr différn dans ls dux disciplins S'il s naurl qu chaqu profssur m n évidnc c qui s uil à sa maièr, il s préférabl qu ls chniqus d résoluion n soin pas rop différns qu'lls uilisn ds ouils corrspondan aux programms d Mahémaiqus acullmn nsignés dans l scondair Après avoir rapplé l cadr héoriqu, c documn donn ds xmpls d'équaions différnills rnconrés n Cinéiqu, principalmn à l'anion ds éudians ds nouvaux collègus d Mahémaiqus Ls collègus d Chimi qui connaissn parfaimn l suj, rouvron pu-êr uil d voir commn on pu rédigr ls calculs n nan comp d l'évoluion ds programms d Mahémaiqus En pariculir pour ls "équaions à variabls séparabls" I Ls ouils mahémaiqus ) Ls équaions différnills linéairs à cofficins consans, du prmir ou du scond ordr Il s'agi ds équaions différnills d'inconnu y, d la variabl, dérivabls un ou 2 fois au moins, sur un inrvall I d IR : a y'() + b y() = ϕ() (E ) a y"() + b y'() + c y() = ϕ() (E 2 ) Où a, b c son ds consans rélls ϕ un foncion coninu sur I On appll équaions sans scond mmbr ("ESSM"), ls équaions homogèns associés : a y'() + b y() = 0 (H ) a y"() + b y'() + c y() = 0 (H 2 ) M Chrki ENCPB / RNChimi /8

2 L héorèm fondamnal : La soluion général d'un équaion différnill linéair s la somm d la soluion général d son équaion sans scond mmbr d'un soluion pariculièr d c équaion : y = y ESSM + y p ) a) Résoluion d l'équaion homogèn a y'() + b y() = 0 (H ) On rmarqu qu si a = 0, ls soluions d (H ) son ls foncions consans sur IR On démonr qu si a 0, ls soluions d a y'() + b y() = 0 (H ) son ls foncions définis sur IR par b y() = C a ; où C s un consan réll dépndan d'un condiion "iniial" y ( 0 ) = y 0 C résula s démonré un bonn fois pour ous La méhod répandu qui uilis la foncion logarihm népérin, ln, s à évir car ll impos un discussion sur l sign d y L adjcif "iniial" s mployé pour dir qu la condiion s préalablmn fixé Ainsi 0 n's pas nécssairmn nul ) b) Résoluion d l'équaion homogèn a y"() + b y'() + c y() = 0 (H 2 ) On suppos qu a b son différns d 0 On démonr qu la résoluion d l'équaion caracérisiqu a r² + b r + c = 0 (), suffi à dérminr ls soluions d (H 2 ) On discu suivan l sign d son discriminan s Δ = b² 4ac *Si Δ > 0, () a 2 racins rélls disincs r = -b- Δ r 2a 2 = -b+ Δ : 2a La soluion général d (H 2 ) s défini sur IR par : y() = r r2 A + B *Si Δ = 0, () a racin réll r = b 2a : La soluion général d (H 2 ) s défini sur IR par : y() = b 2a (A + B) *Si Δ < 0, () a 2 racins complxs conjugués r = -b-i Δ 2a = α i β r 2 = -b+i Δ 2a = α + i β : La soluion général d (H 2 ) s défini sur IR par : y() = (A cos( β) + Bsin( β)) α Dans chaqu cas, A B son 2 consans rélls dépndan d 2 condiions iniials Comm pour l prmir ordr, il n'y a pas liu d jusifir cs résulas M Chrki ENCPB / RNChimi 2/8

3 ) c) Soluion pariculièr d'un équaion différnill linéair à cofficins consans On rchrch un soluion pariculièr y p d a y'() + b y() = ϕ() (E ) ou d a y"() + b y'() + c y() = ϕ() (E 2 ), d la mêm form qu la foncion ϕ C sra n général, un foncion polynôm, un sinus, un cosinus ou l produi d l'un d cs foncions par un foncion xponnill Paran d la form général d y p, on pourra la dérminr précisémn n xpriman qu y p s un soluion d (E ) ou d (E 2 ) sur IR ou sur l'inrvall I 2) Ls équaions "à variabls séparabls" C yp d'équaions différnills n figur pas au programm d Mahémaiqus du BTS Chimis, n an qu l Il s cpndan possibl d résoudr clls qui provinnn d la Cinéiqu, n déaillan l problèm n s limian à ds calculs d primiivs Il s'agi ds équaions pouvan s mr sous la form g(y) dy = f() () où l'inconnu y s un foncion dérivabl sur un inrvall I d IR, d variabl f s un foncion coninu sur I g s un foncion coninu sur y(i) Conrairmn aux équaions linéairs, il n'y a pas d méhod général pour résoudr ou "inégrr" l'équaion () C's ici qu l'on va rnconrr ls plus grands difficulés si on s'écar ds concps éudiés qu'on uilis un formalism ou ds savoir-fair qui n son plus d'acualié 2 a) Résoluion d g(y) dy = f() () Rchrch d la soluion y vérifian la condiion y( 0) = y 0 On chrch donc la soluion d (), défini sur un inrvall I qui vérifi y( 0 ) = y 0 ( 0 I) On a, pour ou d I : g(y()) dy () = f(), soi : g(y())y'() = f() Si G s un primiiv d g sur y(i) F un primiiv d f sur I, on a : G'(y())y'() = F'() (2) On rconnaî dans l mmbr d gauch d l'égalié (2), l'xprssion d la dérivé d la foncion composé " Gο y " (G "rond" y) qui s défini sur I, par ( Gο y )() = G(y()) Pour résoudr (), il suffi "d'inégrr" (2), "mmbr à mmbr", par rappor à la variabl C qui rvin à rchrchr l'nsmbl ds primiivs ds foncions corrspondan à chacun ds 2 mmbrs ; on obin : G(y()) = F() + C (3) M Chrki ENCPB / RNChimi 3/8

4 où C s un consan d'inégraion qu l'on dérmin à l'aid d la condiion iniial En ff : G(y( 0 )) = F( 0 ) + C donc C = G(y 0 ) F( 0 ) On rpor nsui la valur d C dans (3) Pour obnir xplicimn l'xprssion d y n foncion d, il fau nsui xrair y d l'équaion (3) C qui s simpl si on sai dérminr la foncion réciproqu d G C's l cas lorsqu G s la foncion invrs ou la foncion ln 2 b) C qu'il fau évir d'écrir pour résoudr g(y) dy = f() () i () équivau à g(y) dy = f() donc g(y) dy = f() Si nos éudians connaissn n général la noaion dy pour désignr la dérivé d y par rappor à, ils ignorn l plus souvn la significaion d dy d D'aur par, l symbol "somm" d l'inégral qui s uilisé ici sans borns, n's plus inrodui dans l scondair ii Pour ssayr d'accélérr la résoluion, il s commod d dérminr d'un sul coup la primiiv qui vérifi la condiion iniial y( 0 ) = y 0, d la manièr suivan Paran d G'(y())y'() = F'() (2) n inégran chaqu côé d l'égalié sur [ 0 ; ], on s né d'écrir : (y())y'() = G' F'() 0 0 L problèm posé par c écriur vin du fai qu la variabl d'inégraion s désigné par la mêm lr qu cll qui inrvin dans la born supériur d l'inégral C qui s inrdi n mahémaiqus à caus ds inégrals foncions d la born supériur On pu l résoudr n noan d'un aur manièr la variabl d'inégraion, qui s di "mu", ou n man un indic à la born supériur On a alors : (y(u))y'(u)du = i G' F'(u)du ou 0 = i G'(y())y'() F' () Sous c form l calcul s convnabl du poin d vu ds mahémaiqus Mais l rspc nécssair ds convnions alourdi la rédacion M Chrki ENCPB / RNChimi 4/8

5 iii L'abus d'écriur qui prm d'allr ncor plus vi, consis à cumulr ls 2 chniqus précédns La soluion d g(y) dy = f() () vérifian la condiion y( 0) = y 0 s ll qu : yi g(y)dy = y 0 0 f () C méhod s plus rapid mais ll nécssi davanag d rcul sur l cours d'inégraion pour comprndr l sns ds différns écriurs Il fau aussi nir comp du fai qu l calcul ds primiivs rprésn déjà un difficulé pour un bonn pari d nos éudians Il n m smbl donc pas souhaiabl d'xposr c méhod, au moins dans un prmir mps II Qulqus élémns du cours d Cinéiqu chimiqu ) Equaion-bilan d'un réacion Dans un sysèm sièg d'un réacion uniqu, l'équaion-bilan éan : ν i B i = 0 i v i s l cofficin ou nombr sœchiomériqu algébriqu du i èm corps B i Si B i s un réacif, v i s négaif ; si B i s un produi d la réacion, v i s posiif Exmpl : Si on considèr la réacion chimiqu qui s radui par N 2 + 3H 2 = 2NH 3, n écrivan c équaionbilan sous la form 2NH 3 N 2 3H 2 = 0, on obin ls nombrs sœchiomériqus suivans : +2 pour l'ammoniac, - pour l diazo -3 pour l dihydrogèn 2) Définiion d la viss volumiqu d'un réacion pour un sysèm frmé d composiion uniform Lorsqu l volum d'un sysèm s consan si l mélang réacionnl s homogèn, on monr qu la viss volumiqu d formaion d'un produi s égal à la dérivé mporll d sa concnraion : v fbi = d[b i] La viss volumiqu d dispariion d'un réacif s : v dbi = d[b i] La viss volumiqu d la réacion s alors : v = d[b i ] ν i B i ; ν i éan l nombr sœchiomériqu d M Chrki ENCPB / RNChimi 5/8

6 3) Ordr d'un réacion Définiion : Un réacion chimiqu mainnu à mpéraur consan adm un ordr si sa viss volumiqu s'xprim à l'aid d'un foncion monôm ds concnraions ds réacifs Considérons par xmpl, un réacion chimiqu d'équaion : αa + βb + γc = ν P + ν 2 P 2 + Si la viss volumiqu s : v = k [A] p [B] q [C] r : - la réacion a pour ordrs parils, rspcivmn par rappor aux réacifs A, B C, ls nombrs raionnls p, q r Ils son indépndans ds nombrs sœchiomériqus - la somm p + q + r s l'ordr global d la réacion - la grandur k s applé consan d viss d la réacion Ell s indépndan ds concnraions d la duré d la réacion La loi smi-mpiriqu d'arrhnius monr qu k n dépnd qu d la naur ds réacifs pris à mpéraur consan D'après c qui a éé di précédmmn, on n dédui qu : v = α d[a] = β d[b] = γ d[c] = ν d[p ] = ν 2 d[p 2 ] = = k [A] p [B] q [C] r On pu alors dérminr la concnraion à ou insan d'un réacif ou d'un produi n résolvan l'un ds équaions différnills précédns n nan comp d la concnraion iniial d c corps 4) Avancmn volumiqu d'un réacion Soi la réacion d'équaion-bilan i ν i B i = 0 n i éan la quanié d maièr du corps B i Δn i éan la variaion d c quanié nr ls insans + Δ, on démonr qu l rappor Δn i n dépnd pas d B i On l'appll variaion d'avancmn d la réacion nr Δ on l no Δ ξ ξ () s alors l'avancmn d la réacion à l'insan En général, on prnd ξ (0) = 0 ν i M Chrki ENCPB / RNChimi 6/8

7 Dans l cas d'un sysèm frmé, on a : Δn i = n i () n i (0) = ν i Δ ξ = ν i ξ, d'où n i () = ν i ξ + n i (0) L volum Vd la réacion éan consan, on a : [B i ] = n i () V = V (ν i ξ + n i (0)) = ν i ξ V + [B i] 0 On n dédui un aur xprssion d la viss volumiqu : v = d[b i ] ν i n noan ξ = d ξ la dérivé mporll d l'avancmn = V d ξ = V ξ = V ξ, ξ L quoin s applé avancmn volumiqu d la réacion ; il s noé ξ V V On pu donc xprimr la concnraion d ou corps B i sous la form : [B i ] = [B i ] 0 + ν i ξ V La viss volumiqu s alors v = ν i d[b i ] = ξ V III Exmpls d réacions d'ordr simpl On considèr un réacion chimiqu faisan inrvnir 2 réacifs A B s déroulan dans ls condiions précisés dans l paragraph précédn, d'équaion-bilan αa + βb = ν P + ν 2 P 2 + Ls concnraions ds réacifs ds produis son ls suivans : [A] [B] [P i ] à l'insan iniial = 0 a b 0 à insan >0 a α ξ V () b β ξ V () ν i ξ V () Si la réacion adm un ordr si l'on arriv à dérminr la concnraion d'un réacif ou l'avancmn volumiqu ξ, on pu calculr ous ls concnraions V M Chrki ENCPB / RNChimi 7/8

8 ) Réacion d'ordr par rappor à A : v = α d[a] = k [A] En posan y() = [A] pour la concnraion du réacif A à l'insan y(0) = [A] 0 = a pour sa concnraion iniial, la foncion y s la soluion d l'équaion différnill (E) : y'() = k y() qui α vérifi la condiion iniial x(0) = a (E) s'écri : y'() + αky() = 0 C's un équaion linéair homogèn du prmir ordr qui a pour soluion général y défini sur [0 ; + [ par y() = C αk La soluion d (E) qui vérifi x(0) = 0 s ll qu C 0 = a, soi C = a La concnraion d A s donc dérminé par : y() = a αk 2) Réacion d'ordr 2 par rappor à A : v = α d[a] = k [A] 2 La foncion y qui dérmin la concnraion d A s soluion d l'équaion non linéair (E) : y'() y²() = αk y éan un foncion défini sur [0 ; + [ qui n s'annul pas sur ]0 ; + [ On "inègr" (E) par l calcul ds primiivs d chaqu mmbr : consan réll Sachan qu y(0) = a, on a : y(0) = λ donc λ = a La soluion chrché s donc défini sur [0 ; + [ par : y() = αk + a = αk + λ ; λ éan un y() 3) Réacion d'ordr p par rappor à A (p nir, p 2) : v = α d[a] = k [A] p La foncion y qui dérmin la concnraion d A s soluion d l'équaion non linéair (E) : y'() y p () = αk y éan un foncion défini sur [0 ; + [ qui n s'annul pas sur ]0 ; + [ (E) s'écri aussi : y'() y p () = αk M Chrki ENCPB / RNChimi 8/8

9 En inégran (E), on obin succssivmn : - p + y p+ ()= αk + λ ; λ éan un consan qu l'on dérminra à l'aid la condiion iniial y(0) = a y p = (p )(αk λ) () y p () = (p )(αk λ) La soluion chrché s donc défini sur [0 ; + [ par : y() = p (p )( αk λ) 4) Réacion d'ordr par rappor à A à B : v = α d[a] = β A l'aid d l'avancmn volumiqu, on pu écrir : v() = k (a α d[b] = k [A] [B] ξ V ()) (b β ξ V ()) On disingu alors 2 cas, suivan qu ls concnraions iniials ds réacifs son proporionnlls aux nombrs sœchiomériqus ou pas Dans l prmir cas, on di qu l mélang iniial s sœchiomériqu 4a) Cas d'un mélang iniial sœchiomériqu On a ici a α = b β, d'où : a α ξ V () = b β ξ V (), par sui : [A] L mélang s donc sœchiomériqu à ou insan α = [B] β On n dédui qu : [B] = β [A] α ; d'où : v = k β α [A]2 On s ramné à un résoluion smblabl à cll d'un réacion d'ordr 2 par rappor à A Il suffi d rmplacr dans ls calculs du duxièm xmpl, k par k β α On obin alors pour la concnraion d A, la foncion y défini sur [0 ; + [ par : y() = βk + a M Chrki ENCPB / RNChimi 9/8

10 4b) Cas d'un mélang iniial qulconqu (On suppos qu a<b) Pour simplifir ls calculs, on suppos qu l'on a un réacion du yp A + B P C qui vu dir qu ls nombrs sœchiomériqus son -,- + ou ncor : α =, β = ν i = On pourra s'inspirr d c cas pariculir pour rair l cas général, la méhod rsan la mêm On a donc ici : v = d[a] Or d[a] = d[b] = d(a ξ V ) = = k [A] [B] = k (a ξ V ) (b ξ V (), d'où : v = ξ V ) ξ V = k (a ξ V ) (b ξ V ) Pour dérminr ls concnraions, on s donc amné à résoudr l'équaion (E) : ξ V (a ξ V ) (b ξ V ) = k ξ V (qui s ici la concnraion du produi) sricmn Il fau rmarqur qu l'on a obligaoirmn infériur aux concnraions iniials ds réacifs C qui prouv qu : a ξ V >0 b ξ V >0 La résoluion d (E) s fai n plusiurs éaps : On commnc par décomposr la fracion n élémns simpls (a ξ V ) (b ξ V ) C qui rvin à dérminr ls consans c d lls qu : On rouv c = b a d = b a (a ξ V ) (b ξ V ) = c (a ξ V ) + d (b ξ V ) 2 On uilis la décomposiion précédn pour inégrr (E), n nan comp d la condiion iniial ξ (0) = 0 V (E) s'écri : ξ V ξ V b a (a ξ V ) = k donc (b ξ V ) ξ V (a ξ V ) ξ V = k (b a) (b ξ V ) M Chrki ENCPB / RNChimi 0/8

11 En inégran, on obin : ln (a ξ V ()) + ln (b ξ V ()) = k (b a) + λ d'où : b ξ V () ln = k (b a) + λ () a ξ V () Comm ξ V (0) = 0, on a ln b = λ En rporan dans (), on obin : a b ξ V () ln ln b = k (b a) (2) a ξ V () a a(b On a donc la rlaion : ln b(a ξ V ()) = k (b a) ξ V ()) 3 Il fau mainnan obnir l'xprssion d ξ V () n foncion d ds consans a, b k On uilis la foncion xponnill on résou l'équaion : a (b ξ V ()) = b (a ξ V ()) k(b a) b ξ V () k(b a) a ξ V ()= ab k(b a) ab On a donc : ξ V () = ab k(b a) b k(b a) a = [P] On n dédui ls concnraions ds 2 réacifs : à ou insan ( 0), [A] = a ξ V () = a k(b a) b b k(b a) a [B] = b ξ V () = b k(b a) a b k(b a) a M Chrki ENCPB / RNChimi /8

12 Rmarqu : La rlaion (2) s'écri aussi ln [B] = k (b a) + ln b [A] a On pu alors dérminr xpérimnalmn, la consan d viss d la réacion k, à l'aid d'un "ajusmn affin" (ou "régrssion linéair") C yp d réacion s éudié dans ls sujs d mahémaiqus du BTS Chimis ds sssions 990, D'aurs sujs éudin ds réacions don l raimn mahémaiqu s rès proch IV Exmpls d réacions composés ) Réacions opposés d'ordr Il s'agi ds réacions pour lsqulls ls réacifs son ncor présns à l'éa final car la réacion s révrsibl k On considèr ici, un réacion du yp A B d consan d viss k, d'ordr par rappor à A, k la réacion opposé B 2 A d consan d viss k 2, d'ordr par rappor à B On appll v v 2 ls visss volumiqus rspcivs ds 2 réacions ; on a donc : v = k [A] v 2 = k 2 [B] L volum d la réacion éan consan, on a : [A] [B] à l'insan iniial = 0 a b à insan >0 a ξ V () b + ξ V () La viss global d'appariion ou d dispariion d chacun ds 2 corps s la somm ds visss parills d[a] d[a] d[a] d[b] d[b] d[b] liés à chaqu réacion, on a ainsi : = + = On pu dérminr ls concnraions d A B d 2 manièrs différns La prmièr méhod consis à calculr d'abord, l'avancmn volumiqu ξv d la réacion La scond méhod prm d rouvr dircmn ls 2 concnraions, n résolvan un sysèm différnil M Chrki ENCPB / RNChimi 2/8

13 Prmièr méhod : d[a] d[a] d[a] = + 2 d[a] d[a] or v = = k[a] = k(a - ξv ()) v2 = + 2 d[a] = k(a - ξv ()) + k2 (b + ξv ()) d(a - ξv ()) dξv () = = (k + k2 ) ξv () + k2b - ka = k2[b] = k2 (b + ξv ()) donc : dξv () ξv s donc soluion d l'équaion linéair du prmir ordr : + (k + k2 ) ξv () = ka - k2b (E) dξ La soluion général d l'équaion sans scond mmbr : V () + (k + k2) ξv () = 0 s défini sur -(k k ) [0 ; + [ par : C 2 ESSM () + ξ = On chrch un soluion complè d l'équaion complè (E) sous la form d'un consan (par référnc au scond mmbr), n posan ξ p () = λ : ξp s soluion d (E) si sulmn si : pour ou 0, d'où : (k + k 2 ) λ = k a k 2 b par sui : λ = k a k 2 b k + k 2 La soluion général d (E) s donc défini [0 ; + [ par : -(k k ) ka k2b () () p () C + ξ 2 V = ξessm + ξ = + k + k2 Sachan qu l'avancmn volumiqu s nul à l'insan = 0, on a : D'où : C = k a k 2 b k + k 2 k On a alors : a k2b -(k k ) ( + ξ () 2 V = ) k + k2 dξp () + (k + k2 ) ξp () = ξ V (0) =0 ka - k2b, On n dédui alors ls concnraions ds 2 corps à l'aid d [A] = a ξ V () [B] = b + ξ V () M Chrki ENCPB / RNChimi 3/8

14 Duxièm méhod : d[a] d[a] d[a] = + 2 = v + v2 = k[a] + k2[a] d[b] d[b] d[b] = + = v v2 = k[b] k2[b] 2 En posan x = [A] y = [B], on a l sysèm différnil : dx = x' = k x + k 2 y dy = y' = k x k 2 y A l'aid d la prmièr équaion, on a : y = k 2 (x' + k x) En dérivan : y' = k 2 (x'' + k x') En muliplian par k 2 n rporan dans la scond équaion du sysèm, on obin : k 2 y' = x'' + k x' = k 2 k x' k 2 (x' + k x) D'où : x'' + (k + k 2 ) x' = 0 (E) x s donc soluion d'un équaion linéair homogèn du scond ordr Résoluion d x'' + (k + k 2 )x' = 0 (E) : L'équaion caracérisiqu s r² + (k + k 2 ) r = 0 Soi : r(r + (k + k 2 )) = 0 C équaion a 2 soluions rélls : r = 0 ou r = (k + k 2 ) -(k k ) On n dédui qu la soluion général d (E) s défini sur [0 ; + [ par : x() = C + D + 2 On calcul nsui la form général d y : y() = (x'() + k k x()) = y = -(k k ) 2 k 2 ( D(k + k 2 ) + 2 -(k k ) + k (C + D + 2 ) ) -(k k ) On obin : y() = D k k 2 C On dérmin nsui ls consans C D à l'aid ds condiions iniials x (0) = a y(0) = b : M Chrki ENCPB / RNChimi 4/8

15 On résou l sysèm : (S) C + D = a D + k C = b k 2 (S) k 2C + k 2 D = k 2 a k C k 2 D = k 2 b D'où : (k 2 + k ) C = k 2 (a + b) donc C = k 2(a + b) k 2 + k On n dédui : D = a C = ak bk 2 k 2 + k On a alors : [A] = x() = k 2(a + b) + ak bk 2 k 2 + k k 2 + k -(k + k 2 ) -(k + k 2 ) [B] = y() = k (a + b) k 2 + k ak bk 2 k 2 + k 2) Réacions succssivs d'ordr On s propos d'éudir l sysèm d réacions succssivs suivan : k k 2 A B C La prmièr réacion s d'ordr n A, a pour viss volumiqu v pour consan d viss k La scond s d'ordr n B, a pour viss volumiqu v 2 pour consan d viss k 2 On a donc : v = k [A] v 2 = k 2 [B] On appll x, y z ls concnraions rspcivs ds corps A, B C A l'insan = 0, on a ls concnraions iniials : x (0) = a, y (0) = 0 z (0) = 0 On a pour A : v = d[a] B inrvnan dans ls 2 équaions, on a : Donc : dy = k x k 2 y (2) Pour C : v 2 = d[c] = k [A] Donc : dx = k x () = k 2 [B] Donc : dz = k 2y (3) d[b] d[b] d[b] = + = v v2 = kx k2y 2 M Chrki ENCPB / RNChimi 5/8

16 Ls foncions x, y z son donc soluions sur [0 ; + [ du sysèm (S) : dx = k x () dy = k x k 2 y (2) dz = k 2 y (3) a) On commnc par résoudr l'équaion différnill linéair homogèn du prmir ordr x' + k x = 0 () : La soluion général d () s défini sur [0 ; + [ par : x () = K k La soluion d () qui vérifi la condiion x (0) = a s ll qu K = a O n a donc [A] = x () = a k b) En rporan l'xprssion d x dans l'équaion (2), on voi qu ls soluions y du sysèm (s) vérifin l'équaion différnill linéair du prmir ordr : y ' + k 2 y = a k k (4) L'équaion homogèn associé à (4) a pour soluion général la foncion défini sur [0 ; + [ par : y() = D k 2 On chrch un soluion pariculièr d (4) défini par : y p () = E k y p s soluion d (4) si sulmn si : pour ou 0, y p ' + k 2 y p = a k k On obin : k 2 E k = a k k Donc E = k a k 2 k (4) a donc pour soluion général la foncion défini sur [0 ; + [ par : y() = D k 2 + y(0) = 0 D = k a k 2 k On a donc : [B] = y() = k a ( k k 2 ) k 2 k k a k 2 k k c) Sachan qu pour ou 0, on a : x' () + y' () + z' () = 0, on n dédui, à l'aid ds condiions iniials, qu la soluion z du sysèm (S) vérifin : x () + y () + z () = a On a alors : [C] = z () = a x () y () = a + k k 2 k 2 k k 2 k M Chrki ENCPB / RNChimi 6/8

17 C yp d réacion s éudié dans ls sujs d mahémaiqus du BTS Chimis ds sssions D'aurs sujs éudin ds réacions don l raimn mahémaiqu s rès proch 3) Sysèm frmé d réacions d'ordr On s'inérss à l'éud cinéiqu d'un sysèm frmé d réacions d'ordr du yp : (k, k 2 k 3 éan ls consans d viss ds réacions) d[a] = k [A] + k 3 [C] d[b] L'éud ds visss volumiqus condui au sysèm (S) : = k B] + 2 [ k [A] A k 3 d[c] = k B] 3 [C] + k 2 [ k C k 2 B On a ls condiions iniials : [A] (0) =a [B] (0) = [C] (0) = 0 En noan x, y z ls concnraions rspcivs ds corps A, B C, (S) s'écri : d x = k x + k 3 z () dy = k k 2 y + x (2) dz = k k y 3 z + 2 (3) a) En addiionnan mmbr à mmbr ls 3 équaions du sysèm, on obin : dx + dy + dz = 0 A l'aid ds condiions iniials, on n dédui qu : pour ou 0, x () + y () + z () = a ; d'où : z () = a x () y () (4) D (2), on ir : x = k (y' + k 2 y) puis n dérivan, x' = k (y'' + k 2 y') (5) M Chrki ENCPB / RNChimi 7/8

18 En rporan dans () ls xprssions d z d x obnus dans (4) (5), on obin : (y'' + k k 2 y') = (y' + k 2 y) + k 3 a (y' + k k 2 y) y Soi : y'' + (k + k 2 + k 3 )y' +(k k 2 + k 2 k 3 + k 3 k )y = k 3 k a (E) y donc soluion d l'équaion différnill (E) qui s linéair du scond ordr b) Résoluion d l'équaion sans scond mmbr associé à (E), y'' + (k + k 2 + k 3 )y' +( k k 2 + k 2 k 3 + k 3 k )y = 0 : Son équaion caracérisiqu s : r² + (k + k 2 + k 3 )r + (k k 2 + k 2 k 3 + k 3 k ) = 0 L discriminan s Δ = (k + k 2 + k 3 )² 4(k k 2 + k 2 k 3 + k 3 k ) En foncion du sign d Δ donc ds valurs ds 3 consans d viss, on obindra un soluion général y ESSM qui a l'un ds 3 forms indiqués dans l paragraph I ) b) d la pag 2 C soluion général fai inrvnir 2 consans qui sron dérminés à la fin, à l'aid ds condiions iniials c) On chrchra nsui un soluion pariculièr y p d (E) sous la form d'un foncion consan puisqu l scond mmbr d (E) s consan On pos donc y p () = λ y p s soluion d (E) si sulmn si : pour ou 0, y p '' + (k + k 2 + k 3 )y p ' +( k k 2 + k 2 k 3 + k 3 k )y p = k 3 k a D'où : (k k 2 + k 2 k 3 + k 3 k )λ = k 3 k a donc λ = k 3 k a k k 2 + k 2 k 3 + k 3 k On obin alors la soluion général d (E) : y = y ESSM + k 3 k a k k 2 + k 2 k 3 + k 3 k On n dédui nsui ls soluions x z du sysèm (S), à l'aid ds rlaions (4) (5) On dérmin nfin ls 2 consans qui inrvinnn dans y ESSM, n uilisan ls condiions iniials On obin ainsi ls concnraions ds 3 corps, à ou insan 0 C yp d réacion a éé éudié dans l suj d mahémaiqus du BTS Chimis d la sssion 2006 D'aurs sujs éudin ds réacions don l raimn mahémaiqu s assz proch M Chrki ENCPB / RNChimi 8/8