Fonction exponentielle

Transcription

1 Chapitr 7 Fonction ponntill Sommair 7. Activités Eponntill Qulqus propriétés d l ponntill Un prssion d la fonction ponntill Comportmnt d la fonction ponntill au borns d son nsmbl d définition Forms indétrminés Eponntill : définition t prmièrs propriétés Définition Prmièrs propriétés Théorèm fondamntal Eprssion d l ponntill Propriétés algébriqus Étud d la fonction ponntill Définition Limits au borns Variations Courb rprésntativ Autrs its faisant intrvnir la fonction ponntill Ercics Propriétés algébriqus Résolutions Étuds d fonctions comportant

2 7. Activités Trminal ES 7. Activités 7.. Eponntill. Rapplr pourquoi l équation ln()=m, où m st un rél qulconqu, admt un uniqu solution ]0;+ [.. On appll ponntill d, l nombr y, noté p(), solution d l équation ln(y) =. (a) Qul st l nsmbl d définition d la fonction f ()=p()? (b) Montrr qu p() > 0. (c) Détrminr par l calcul p() t p( ). 7.. Qulqus propriétés d l ponntill. (a) Détrminr par l calcul ln(p(0)) t ln(p()). Qu constat-t-on? On admttra qu c st toujours vrai. On a donc, pour tout R, ln(p())= (b) Qu put-on dir alors d ln(p(a + b))? En utilisant ls propriétés algébriqus du logarithm, primr plus simplmnt ln(p(a) p(b)). Qu n conclur? On a donc, pour tous réls a t b, p(a+ b)= Détrminr par l calcul p(ln()) t p(ln()). Qu constat-t-on? On admttra qu c st toujours vrai. On a donc, pour tout......, p(ln())= On a rappll qu si (u(v)) st dérivabl alors (u(v)) = u (v) v. (a) Détrminr un prssion d (ln(p())) n fonction d (p()) t d p(). (b) On a vu plus haut qu, pour tout R, ln(p())=. En déduir un autr prssion d (ln(p())). (c) Qu put-on n conclur pour (p())? On a donc (p()) = Un prssion d la fonction ponntill. Complétr l tablau suivant, avc ds valurs acts : p(). Qu constat-t-on? On admttra qu cla st vrai mêm quand n st pas ntir. On a donc, pour tout R, p()= Comportmnt d la fonction ponntill au borns d son nsmbl d définition On s propos d étudir ls its d la fonction ponntill au borns d son nsmbl d définition : R t d tracr sa courb rprésntativ.. (a) Complétr l tablau d valurs suivant, avc ds valurs approchés au diièm : (b) Détrminr, par l calcul, tl qu p()> p() (c) Commnt smbl s comportr la fonction ponntill quand tnd vrs +?. (a) Complétr l tablau d valurs suivant, avc ds valurs approchés au diièm : p() (b) Détrminr, par l calcul, tl qu p()< 0000 (c) Commnt smbl s comportr la fonction ponntill quand tnd vrs? 3. Tracr la courb rprésntativ d la fonction ponntill dans un rpèr orthonormal. 04 http ://prpndiculairs.fr.fr/

3 Trminal ES 7. Eponntill : définition t prmièrs propriétés 7..5 Forms indétrminés On pos :. (a) Étudir la it d f n +. (b) f ()= p() pour tout R t g ()= p() pour tout R i. Epliqur pourquoi, lorsqu tnd vrs, la it d f st un form indétrminé. ii. À l aid d la calculatric, complétr l tablau suivant : iii. Conjcturr la valur d f ().. (a) Étudir ls its d g n, n 0 t n 0 +. (b) f () i. Epliqur pourquoi, lorsqu tnd vrs +, la it d g st un form indétrminé. ii. À l aid d la calculatric, complétr l tablau suivant : iii. Conjcturr la valur d g () g () 7. Eponntill : définition t prmièrs propriétés 7.. Définition On a vu au chapitr 5, au paragraph 5..3 pag 8, qu l équation ln(y)=, où st un rél qulconqu, admt un uniqu solution y appartnant à ]0; + [. C rél y, l antécédnt d par la fonction logarithm népérin, sra noté p(). Définition 7.. Pour tout rél, on appll ponntill d, t on not p(), l uniqu rél d ]0;+ [ dont l logarithm népérin st. On a ainsi : p : R ]0;+ [ p(), où p() st l nombr tl qu ln(p())= Par définition on a donc, pour tout nombr y strictmnt positif : y = p() ln(y)=ln(p())= 7.. Prmièrs propriétés D la définition précédnt on put déduir ls prmièrs propriétés suivants, démontrés pour la plupart n activité : p(0)= ; p()=; Comm la fonction logarithm st défini sur ]0;+ [ à valurs dans R, alors la fonction ponntill st défini sur R à valurs dans ]0;+ [ ; n particulir p()>0 pour tout rél ; Ls fonctions ponntill t logarithm sont ds fonctions dits réciproqus car, par définition, on a : ln(p())= pour tout rél t p(ln())= pour tout rél > 0 ; p()=p(y) = y ; En fft, p()=p(y) ln(p())= ln(p(y)) =y Théorèm fondamntal Théorèm 7.. Pour tous réls a t b, p(a+ b)=p(a) p(b) La fonction ponntill transform ls somms n produits C théorèm a été démontré n activité. David ROBERT 05

4 7.3 Étud d la fonction ponntill Trminal ES 7..4 Eprssion d l ponntill Théorèm 7.. Pour tout rél a t tout ntir rlatif p, on a : p(ap)=(p(a)) p. Pruv. Ainsi ln ( (p(a)) p) = ln ( p(pa) ) (p(a)) p = p(pa). ln ( (p(a)) p) = p ln(p(a))= pa= ln ( p(pa) ) D après l théorèm 7., pour tout ntir rlatif p, on put écrir : p(p)=p( p)=(p()) p = p Par convntion, on posra : = p(), pour tout rél, c st-à-dir mêm quand n st pas ntir. On a donc : Propriété 7.3. Pour tout R, p()= Propriétés algébriqus Avc la nouvll notation, ls propriétés, ntièrmnt compatibls avc ls propriétés ds puissancs, dvinnnt : Propriété 7.4. Pour tous réls t y, on a : +y = y 0 = t = y = y > 0 = ln( )= ( ) y = y ln() = (pour > 0) Pruv. On utilis ncor un fois ls règls d calcul sur l logarithm : ln ( +y) = (+y)ln()= +y = ln( )+ln( y )=ln ( ( ) y ) d où +y = y. ln ( y )=( y)ln()= y = ln( ) ln( y )=ln y d où y = y ln ( )= ln()= = ln( )=ln ( ) d où = ( ) y = y sra admis à notr nivau ln( 0 )=0ln()=0=ln() or ln( 0 )=ln() 0 = ln( )=ln() = Par définition appartint à l nsmbl d définition d la fonction logarithm donc > 0 ln( )= ln()= 7.3 Étud d la fonction ponntill 7.3. Définition Définition 7.. On appll fonction ponntill, noté p(), la fonction, défini sur R, qui à tout associ l nombr p() Limits au borns EXERCICE. On chrch à démontrr qu, pour tout rél, >. On considèr pour cla la fonction f défini sur R par : f ()=.. Détrminr f (), étudir son sign t drssr l tablau ds variations d f.. En déduir qu f à un minimum qu l on détrminra. 3. Justifir pour pour tout rél on a : + >. En déduir la it d la fonction ponntill n+. Théorèm 7.5. = 0 + =+ Pruv. On a vu dans l rcic ci-dssus qu + =+. Montrons qu = 0. Posons X =. Quand tnd vrs alors X tnd vrs+. Or = =. X Donc = = 0. X + X 06 http ://prpndiculairs.fr.fr/

5 Trminal ES 7.3 Étud d la fonction ponntill Variations Fonction dérivé Théorèm 7.6. La fonction ponntill st dérivabl sur R t, pour tout rél, on a : ( ) = La fonction ponntill st égal à sa propr dérivé. On admttra qu la fonction ponntill st dérivabl, pour l rst, la démonstration a été fait n activité. Sign d la dérivé Théorèm 7.7. La fonction ponntill st continu t strictmnt croisssant. Pruv. Étant dérivabl sur R, ll st continu sur R t sa dérivé (qui st ) st strictmnt positiv sur R, donc la fonction ponntill st strictmnt croissant sur R. Tablau d variations On a donc : + Sign d ( ) = + Variation d Propriété 7.8. Pour tous réls t y on a : y y C st un conséqunc d la strict croissanc d la fonction ponntill Courb rprésntativ Ls courbs C t C ds fonctions logarithm t ponntill sont symétriqus par rapport à la prmièr bissctric ; n fft, M ( ; y) C y = ln() = p(y) M (y ; ) C. On obtint donc la courb rprésntativ d la figur 7. pag suivant, où sont rprésntés la prmièr bissctric t ls courbs rprésntativs ds fonctions logarithm t ponntill Autrs its faisant intrvnir la fonction ponntill Forms détrminés Ls its suivants n sont pas ds forms indétrminés (n st un ntir qulconqu strictmnt positif). L lctur st invité à ls complétr } } + = = = = = = } } + = n = n = = n = n = Forms indétrminés Théorèm 7.9. On a : + =+ t, plus généralmnt, pour tout n N, + n =+. = 0 t, plus généralmnt, pour tout n N, n = 0. + ln() =+. David ROBERT 07

6 7.3 Étud d la fonction ponntill Trminal ES FIGURE 7. C t C, courbs rprésntativs ds fonctions logarithm t ponntill 5 4 C 3 j O ı C Pruv. Montrons qu + =+. Posons X =. On a alors = ln(x ). Quand tnd vrs +, X tnd aussi vrs +. + = X X + ln(x ) =+ car ln(x ) X + X = 0. Montrons qu = 0. Posons X =. On a alors = ln(x ). Quand tnd vrs, X tnd vrs 0 +. = X ln(x )=0. X 0 + Montrons qu + ln() =+. + ln() = + ln(). Or ln() + =+ t, comm + = 0 + ln(), + =+. Donc, par produit, + ln() =+. 08 http ://prpndiculairs.fr.fr/

7 Trminal ES 7.4 Ercics 7.4 Ercics 7.4. Propriétés algébriqus EXERCICE 7.. Simplifr ls prssions suivants :. +ln(3). 3. ( + )( ) 4. EXERCICE 7.. Démontrr qu pour tout rél on a ls égalités suivants :. + = +. ( + ( + )( ) 5. ) ( ) = Résolutions EXERCICE 7.3. Résoudr dans R ls équations t inéquations suivants :. = 4. = =. = 3. = > 9. < 0. ( 4)( ) = = = 4 3. = = = 4 + EXERCICE 7.4. Résoudr ls équations suivants (on pourra posr X = ) :. 3 + = =0 3. = = 5 EXERCICE 7.5. Étudir slon ls valurs d l sign ds fonctions f, g t h définis sur R par : f ()= + 3 g ()=5 7 h()= Étuds d fonctions comportant EXERCICE 7.6. Détrminr ls its suivants :. + (+ ). (+ ) 3. ( + ) 4. + ( + ) EXERCICE 7.7. On considèr la fonction f défini sur R par : f ()= +. Soit C sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormal ( O; ı, j ) d unité cm.. Détrminr ls its d f n t+. En déduir qu C a du asymptots dont on donnra ls équations.. Détrminr f () t étudir son sign. Drssr l tablau d variations d f. 3. Justifir qu la courb C pass par l origin du rpèr. Tracr la courb C ainsi qu ss asymptots. 4. Donnr l cofficint dirctur d la tangnt à C n O. Tracr ctt tangnt dans l rpèr précédnt. EXERCICE 7.8 (Polynési Sptmbr 007). Pour chacun ds cinq propositions ci-dssous, indiqur si la proposition st vrai ou fauss n justifiant votr répons.. La fonction + 5 st la fonction dérivé d la fonction + ln(5).. L nsmbl ds solutions sur R d l équation ( )( + 4)=0 st : S= {0}. 3. Si ( ) n 00 0,7 alors n ln0,7 ln 0, L nsmbl ds solutions sur R d l équation ln ( ) = ln(5+ 9) st S = { ; 3}. ) st La it quand tnd vrs, <, d la fonction ln ( David ROBERT 09

8 7.4 Ercics Trminal ES EXERCICE 7.9 (Antills Sptmbr 009). On considèr un fonction f défini sur l intrvall [ ; 3] par : f ()= a + b+ c où a, b t c sont ds réls fiés. Un parti d la courb C rprésntativ d f st rprésnté sur la figur 7. d la présnt pag. FIGURE 7. Figur d l rcic 7.9 y 3 B D O A C 3 On dispos ds rnsignmnts suivants : C pass par A(0 ; ). B st l point d coordonnés ( ; 3) ; la droit (AB) st tangnt à C au point A. C admt un tangnt horizontal au point D d absciss ln(3).. On désign par f la dérivé d la fonction f. Traduir ls rnsignmnts précédnts par trois égalités utilisant f ou f.. En résolvant un systèm, détrminr a, b t c. 3. On admt à partir d maintnant qu f ()= (a) Étudir ls variations d f sur l intrvall [ ; 3]. (b) Montrr qu f s annul actmnt un fois sur [ ; ln(3)] n un rél α. Donnr, n justifiant, un valur approché au cntièm près d α. (c) Pour la suit, on admt qu f s annul actmnt un fois sur [ln(3) ; 3] n un rél β. Détrminr l sign d f sur l intrvall [ ; 3]. 4. (a) Détrminr un primitiv d f sur l intrvall [ ; 3]. (b) On considèr la surfac S déité par l a ds ordonnés, l a ds abscisss, la courb C t la droit d équation = ln(3). Hachurr S sur la figur n ann. (c) Détrminr, n justifiant avc soin, l air d S, n unités d air. On donnra la valur act t la valur décimal arrondi au cntièm. 0 http ://prpndiculairs.fr.fr/

9 Trminal ES 7.4 Ercics EXERCICE 7.0. On considér la fonction f défini sur R par : f ()=( ) ; sa rprésntation graphiqu C dans un rpèr orthogonal st donné sur la figur 7.3 d la présnt pag (unités : 4 cm n absciss t cm n ordonné). FIGURE 7.3 Figur d l rcic 7.0 y 3 C O A B + +. Étudir l sign d f () slon ls valurs d.. (a) Montrr qu f, la dérivé d f, put s écrir f ()=(+ ). (b) Étudir l sign d f () slon ls valurs d puis n déduir l tablau ds variations d f (on indiqura la valur act du minimum d f ()). (c) Détrminr l équation d la tangnt à C au point A t la tracr sur l graphiqu. 3. (a) Montrr qu la fonction F défini sur R par F ()=( 3) st un primitiv d f. (b) Colorir l domain ité par la courb C, l a ds abscisss t la droit d équation =. (c) Calculr la valur act d au cntièm. f (t)dt puis n déduir la valur d l air du domain colorié n cm arrondi David ROBERT