REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices

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Eugène Durand
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1 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices EXERCICE 1 : Soit E u espace vectoriel et u L(E) tel que u u +u = 0 Motrer que Sp (u) {0, 1, } EXERCICE : 1) Soit A ue matrice carrée telle que A = 0, avec A différet de 0 Motrer que A 'est pas iversible et que 0 est l'uique valeur propre de A ) Soit A ue matrice carrée telle que A A A + I = 0 A est-elle iversible? Motrer que les valeurs propres de A sot das {-1, 1, } EXERCICE : 1 O cosidère la matrice carrée d ordre : M Sur la cosole Scilab, ous pouvos saisir la matrice M et calculer rapidemet M 7M 10M 1) Doer les valeurs propres évetuelles de M ) Motrer que 0, et 5 sot effectivemet valeurs propres de M EXERCICE 4 : 0 1 Pour tout réel o ul o pose A 0 et o pose par ailleurs AI I A 1) Calculer ) E déduire, sas calcul, que 1 et sot des valeurs propres de A ) A est-elle iversible? si oui, préciser sa matrice iverse I

2 EXERCICE 5 : EDHEC S 016 EXERCICE 6 : Détermier les valeurs propres das et das des matrices suivates : 1) 1 1 A 0 1 ) ) 4) 5) 1 1 A A A A EXERCICE 7 : Préciser parmi les matrices précédetes les matrices diagoalisables das, das EXERCICE 8 : O cosidère l applicatio f défiie das 1) Motrer que f est u edomorphisme d e X ) Détermier les valeurs propres et les sous espaces propres de f ) L edomorphisme f est-il diagoalisable? X par : P X, f P X 1 P' X 1 P

3 EXERCICE 9 : ORAL HEC S 011 (questio sas préparatio) Soit A O admet que A I A où I désige la matrice idetité d ordre 1) Motrer que la matrice A admet ue seule valeur propre La matrice A est-elle diagoalisable? ) Détermier le sous-espace propre associé à ) Motrer que la matrice A est semblable à la matrice B EXERCICE 10 : Soit J et f l'edomorphisme de dot la matrice das la base caoique de est J 1) Détermier la dimesio de Im f ) Démotrer que 0 est valeur propre de f et doer la dimesio du sous espace propre associé à la valeur propre 0 1 ) Calculer J 1, e déduire les valeurs propres de f et la dimesio de chaque sous espace 1 propre EXERCICE 11 : EDHEC E 01 1) Motrer que, si f désige u edomorphisme de diagoalisable, alors l edomorphisme f est aussi diagoalisable (o rappelle que f f f ) O se propose das la suite de motrer que la réciproque de cette assertio est fausse Pour ce faire, o cosidère l edomorphisme g de dot la matrice das la base caoique de est : 0 1 A = O ote I la matrice idetité de M ( ) ) a) Détermier la matrice A puis établir que 4 A I E déduire les valeurs propres possibles de la matrice A b) Doer ue base (u) de Ker ( g Id ) c) Détermier Ker ( g Id ) d) E déduire que g est pas diagoalisable ) a) Résoudre l équatio A X = X, d'icoue le vecteur X élémet de M,1 ( ), et e déduire ue base (v, w) de Ker ( g Id ) b) Motrer que la famille (u, v, w) est ue base de c) Écrire la matrice de g das la base (u, v, w) et coclure

4 EXERCICE 1 : ESCP E O cosidère la matrice A 1 1) Motrer que la matrice A est diagoalisable et expliciter ue matrice diagoale D semblable à A k k Soit k u etier aturel, calculer D e déduire A u ) O cosidère la suite ( u) défiie par la relatio de récurrece : u 1 et la coditio u 1 iitiale u0 c, où c est u ombre réel strictemet positif O cosidère les suites v et coditios iitiales : v0 c et w0 1 a) Pour tout etier aturel, exprimer u à l aide de v et de v1 v w w défiies par les relatios de récurrece : et les w 1 v w w b) Pour tout etier aturel, exprimer u e foctio de et de c c) Motrer que la suite ( u) coverge et calculer sa limite EXERCICE 1 : ispiré d EDHEC E Soit la matrice C Motrer que le polyôme P X X X est u polyôme aulateur de C Détermier les valeurs propres de la matrice C Justifier que, pour tout etier aturel o ul, il existe u uique polyôme Q et trois réels a, bet c tels que : X X X X Q X a X b X c a) E utilisat les racies de P, détermier les valeurs de a, bet c e foctio de b) E déduire l expressio, pour tout eter aturel o ul, de C e foctio de C et C EXERCICE 14 : Soit la matrice A de l edomorphisme f de 1 Cette matrice est-elle diagoalisable? Quel est le rag de f? E déduire ue valeur propre de f relativemet à la base caoique de Motrer qu il existe au mois u vecteur propre u de f associé à ue valeur propre o ulle de f et que u Im f Doer les valeurs propres de f

EXERCICE 15 : HEC E 016 EXERCICE 16 : EM LYON E 000 O cosidère la matrice carrée réelle d'ordre trois : 0 1 J 0 1 et l'edomorphisme f de 0 1 0 matrice J das la base caoique de a 1 O cosidère, pour

5 EXERCICE 15 : HEC E 016 EXERCICE 16 : EM LYON E 000 O cosidère la matrice carrée réelle d'ordre trois : 0 1 J 0 1 et l'edomorphisme f de matrice J das la base caoique de a 1 O cosidère, pour tout ombre réel a, la matrice carrée réelle d'ordre trois : M a 0 a a 1 a Détermier les valeurs propres et les sous-espaces propres de f b Motrer que la matrice J est diagoalisable Détermier ue matrice réelle diagoale D d'ordre 1 trois et ue matrice réelle iversible P d'ordre trois telles que J PDP c E déduire que, pour tout ombre réel a, il existe ue matrice réelle diagoale D a d'ordre trois, que l'o calculera, telle que M PD P 1 a a d Quel est l'esemble des ombres réels a tels que M a soit iversible? O se propose, das cette questio, de détermier l'esemble des ombres réels a tels qu'il existe ue matrice X carrée réelle d'ordre trois vérifiat X M a Soiet u ombre réel et X ue matrice carrée réelle d'ordre trois tels que X M a ) Motrer que X commute avec M a, puis que X commute avec J ) O ote h l'edomorphisme de de matrice X das la base caoique de Déduire de la questio précédete que tout vecteur propre de f est vecteur propre de h 1 ) Etablir qu'il existe ue matrice réelle diagoale d'ordre trois telle que X PP et Motrer que : Da ) E déduire : a b Réciproquemet, motrer que, pour tout ombre réel a supérieur ou égal à, il existe ue matrice carrée réelle X d'ordre trois telle que X M a c Coclure a de

6 EXERCICE 17 : EDHEC S 014 EXERCICE 18 : EDHEC S 005 Das cet exercice, est u etier aturel supérieur ou égal à O désige par I la matrice uité de M (IR) 1) O ote tr l applicatio liéaire qui à toute matrice de M (IR) associe sa trace, c est-à-dire la somme de ses élémets diagoaux a) Motrer que Im tr = IR b) E déduire la dimesio de Ker tr c) Établir que M (IR) = Ker tr Vect (I) ) Soit l applicatio f qui, à toute matrice M de M (IR) associe f (M) = M + tr(m) I, a) Motrer que f est u edomorphisme de M (IR) b) Utiliser la première questio pour détermier les valeurs propres de f E déduire que f est u automorphisme diagoalisable de M (IR) ) Soit g l applicatio qui, à toute matrice M de M (IR) associe g (M) = M + tr(m) J, où J désige ue matrice o ulle de M (IR) dot la trace est ulle O admet que g est u edomorphisme de M (IR) a) Établir que le polyôme X X + 1 est u polyôme aulateur de g b) Motrer que 1 est la seule valeur propre de g c) g est-il diagoalisable? EXERCICE 19 : EDHEC S 01 Soit f l'edomorphisme de dot la matrice das la base caoique ( e 1, e, e ) de est : A 1 O ote Id l'edomorphisme idetité de 1) a) Calculer A et A, puis détermier u polyôme aulateur de f b) E déduire les valeurs propres de f c) L'edomorphisme f est-il diagoalisable?

7 0 1 0 ) Trouver ue base B de das laquelle la matrice de f est T ) a) Motrer que Ker f Ker( f Id) b) O veut motrer qu'il 'existe pas d'edomorphisme g de vérifiat : f O suppose pour cela qu'u tel edomorphisme existe Établir que Ker f est stable par g puis motrer que la matrice de g das la base B est de la forme : a a a G b b b 0 0 c E utilisat la matrice de f das cette même base, trouver ue cotradictio et coclure 4) Étude d'u cas plus gééral O ote Id l'edomorphisme idetité de (où désige u etier aturel supérieur ou égal à 1) et o désige par u réel o ul a) O cosidère u edomorphisme h de 1 et o suppose que : h Motrer que : 1 Ker h Ker( h Id) b) Motrer réciproquemet que, si u edomorphisme h de 1 1 Ker h Ker( h Id), alors o a : h h EXERCICE 0 : ORAL HEC S 010 (questio sas préparatio) Soit f l applicatio défiie sur 1) Motrer que f est u edomorphisme de X g h est tel que X par : P X, f P XP X X P' X X P" k ) Détermier, pour tout etier aturel k, f X Que peut -o dire du degré de ) L applicatio f est-elle ijective? surjective? 4) a) Détermier tel que X soit stable par f b) L etier état aisi choisi, soit l edomorphisme iduit par f sur X, l edomorphisme est-il diagoalisable? EXERCICE 0 : ORAL HEC S 010 (questio sas préparatio) * Soit f u edomorphisme d u espace vectoriel E de dimesio tel que : f Id f Id 0 et f Id f Id 0 Etudier la diagoalisabilité de l edomorphisme f EXERCICE 1 : ORAL HEC S 011 (questio sas préparatio) Soit f u edomorphisme de 4 tel que f f 1 sot des valeurs propres Démotrer que l edomorphisme f est diagoalisable et dot 1et

8 EXERCICE : EDHEC S 006 EXERCICE : ESSEC BL 006

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