Les nombres complexes : forme algébrique

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1 Isabelle orel-ts-cours complexes forme algébrique Les nombres complexes : forme algébrique Introduction. Le problème L histoire des nombres complexes commence en pleine Renaissance italienne avec les algébristes italiens, à propos de la résolution des équations de degré 3. Citons, entre autres, Cardan (50-576) et Tartaglia ( ). En 547, Cardanpublie dans Ars agna le résultat suivant : Une solution de l équation x 3 = px + q est 3 q q + 4 p q q 4 p3 7. Cette formule fonctionne parfaitement pour l équation x 3 = 36x+9 par exemple : une solution est 7. En factorisant alors, on obtient : x 3 36x 9 = (x 7)(x +7x+3). Le discriminant de x + 7x + 3 étant négatif, on en conclut que l équation x 3 = 36x + 9 a une unique solution réelle : 7. Considérons à présent l équation : x 3 = 5x + 4. Si on applique la formule précédente, q 4 p3 = 76, ce qui pose un problème puisque l on doit en prendre la 7 racine. Pourtant, cette équation a trois solutions réelles, dont qui est une solution évidente. Afin de contourner ce problème, Bombelli a l idée, en utilisant les règles de calcul usuelles, d introduire des nombres pouvant avoir un carré négatif : c est l introduction des nombres complexes. Il a cependant fallu attendre deux siècles pour avoir une construction correcte de l ensemble des nombres comples C, faite pas Euler. Il a encore fallu attendre pour une interprétation géométrique des nombres complexes (Gauss et Argand au début du 9ième siècle), interprétation qui jouera un rôle prépondérant dans notre étude des nombres complexes.. Un petit peu de géométrie La droite des réels est en bijection avec l ensemble des réels : à tout nombre réel x, on peut associer un unique point de la droite (O; i ) : le point d abscisse x; et réciproquement, à tout point de la droite des réels (O; i ), on peut associer un nombre : l abscisse x de. Nous avons cependant l habitude de travailler dans le plan (en dimension ) et non pas sur une droite (en dimension ). On convient alors que tout point du plan représente un nombre, que l on appellera nombre complexe : Les nombres i et j étant des nombres complexes particuliers, on notera ( et non pas O ; i, ) j le repère du plan. ( O ; u, ) v L axe des abscisses reste l axe des réels. Tout point de cet axe rerpésente donc un nombre réel. Le point J(0; ) représente le nombre complexe noté i. Le point N(0; y) représente le nombre complexe y i. Placer alors les points N (3 i), N (0 i), N 3 ( i). Quels nombres complexes les nombres suivants représentent-ils : N 4 (0; 3); N 5 (0; 5)? Le point (a; b) représente le nombre complexe a+ib, puisque O = a OI+b OJ. Quels sont les nombres complexes représentés par les points (; ); ( ; 4); 3 (3; )? Déterminer les coordonnées des points du plan représentant les nombres complexes z = + 3i, z = + i et z 3 = 4 + ( 3)i. Tout point (a; b) représente donc le nombre complexe a + ib. Tout nombre complexe a + ib est représenté par le point (a; b). 3 b N J(i) (iy) (a + ib) a On peut remarquer que pour passer du point A () au point A (i), on effectue une rotation de centre O et d angle π. Par conséquent, on peut conjecturer que pour passer du point A (i) au point A 3 (i = i i) on effectue encore une rotation de centre O et d angle π. Il semblerait donc que i =.

2 Isabelle orel-ts-cours complexes forme algébrique.3 Le corps des complexes On admet le théorème suivant : Théorème sur l existence de C Il existe un ensemble C contenant R et vérifiant : C est muni d une addition et d une multiplication qui prolongent celles de R et suivent les mêmes règles de calcul; Il existe un élément i de C tel que i = ; Tout élément z de C s écrit de manière unique : z = a + ib avec a et b réels. C est l ensemble des nombres complexes. Vocabulaire et définitions L écriture z = a + ib avec a et b réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z. Dans ce cas, a est appelé la partie réelle de z et noté Rez et b la partie imaginaire de z et noté Imz. Si b = Imz = 0 alors on dit que z est réel. Si a = Rez = 0 alors on dit que z est un imaginaire pur. On écrit : z ir. Remarques :. Rez et Imz sont des réels.. Pour tout nombre réel x, on a : x = x + i 0 C. On a donc bien R C. 3. Si Rez = Imz = 0, alors z = 0 : z est le complexe nul. Exemples :. +4i est le nombre complexe ayant pour partie réelle et 4 pour partie imaginaire.. Le nombre complexe 5 est réel. 3. Le nombre complexe i est imaginaire pur..4 Représentation géométrique d un nombre complexe ( On considère le plan muni d un repère orthonormal direct O ; u, ) v. Soit z = x + iy un nombre complexe, x et y étant des réels. Le point du plan, de coordonnées (x; y) est l image de z ou point associé à z. Il est noté. Au point du plan de coordonnées (x; y) est associé le complexe z = x + iy, appelé affixe de et noté z. L axe des abscisses représente l ensemble R des réels. L axe des ordonnées représente l ensemble ir des imaginaires purs. La distance O est appelée module de z, notée O = z. Par conséquent (application directe du théorème de Pythagore, le repère étant orthonormé), z = x + y. Le vecteur w = x u + y v est l image vectorielle du complexe z. z = x + iy est appelé l affixe du vecteur w. En particulier, AB a pour affixe zb z A et AB = AB = zb z A Im Applications : axe imaginaire pur O = z axe réel 3 4Re Déterminer le module des nombres complexes suivants : z = + i z = i z 3 = i z 4 = 7 z 5 = cos 7π + i sin7π z 6 = cos π 3 + i sin π 4. On considère les points A( + 3i) et B( i). Déterminer AB.

3 Isabelle orel-ts-cours complexes forme algébrique 3 3. On considère les points A, B, C et D d affixes respectives z A = +3i, z B = i, z C = 5i et z D = 4 i. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? 4. Déterminer l ensemble des points du plan tels que z + 3 = z i. 5. On considère deux points A(z A ) et B(z B ). Quelle est l affixe du milieu I de [AB]? 6. Soient A(z A ), B(z B ) et C(z C ) trois points du plan et soient α, β et γ trois réels tels que α + β + γ 0. Quelle est l affixe du barycentre du système {(A; α); (B, β); (C, γ)}?.5 Egalité de deux complexes Théorème sur l égalité de deux complexes. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie imaginaire et même partie réelle. C est-à-dire : soient a, b, a et b des réels. a+ib = a +ib a = a et b = b.. Soient a et b des réels. a + ib = 0 a = b = 0.. C est une reformulation du troisième point du théorème sur l existence de C.. Soient a et b réels, tels que a + ib = 0. Alors, a + ib = 0 + i 0. Donc, d après le point précédent, a = 0 et b = 0. Applications :. Résoudre dans C l équation z = Le nombre i est solution de l équation i =. Soit z une autre solution. Alors z i = 0 = (z i)(z + i). Donc z = i ou z = i.. Soit le nombre complexe z = x y + ixy, avec x et y réels. Soit le point de coordonnées (x; y). Les points tels que z est réel sont les points dont les coordonnées vérifient xy = 0, c est-à-dire x = 0 ou y = 0. Donc l ensemble des points tels que z est réel est la réunion de l axe réel et de l axe imaginaire. Calculs avec la forme algébrique. Les quatre opérations Ce paragraphe explique les quatre opérations avec des nombres complexes. Ces opérations prolongeant celles dans l ensemble des réels, les formules ne sont pas à apprendre : vous devez simplement savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser deux nombres complexes donnés. Soient z = a + ib et z = a + ib deux nombres complexes. D après le théorème, pour additionner ou multiplier deux complexes, on suit les mêmes règles de calcul que dans R. On a alors : z + z = a + ib + a + ib z + z = (a + a ) + i(b + b ) et : zz = (a + ib) (a + ib ) zz = aa bb ) + iab + iba zz = (aa bb ) + i(ab + ba ) Par conséquent, en prenant z =, z = ib. On en déduit alors, z z = (a a ) + i(b b ). Si z = a + ib 0, alors a 0 et b 0. On a alors : (a + ib)(a ib) = a + b 0. D où : a (a + ib) ( a + b i b (a + ib)(a ib) a ) = + b a + b = a + b a + b = Donc tout nombre complexe z non nul admet un inverse, noté z. Ceci permet de définir le quotient z z = z z avec z 0. Exemple : Ecrire sous forme algébrique le complexe 3i. Formules à savoir retrouver et utiliser mais à ne pas apprendre par coeur (a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b ) (a + ib) (a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + ba ) (a + ib)(a ib) = a + b. Interprétation géométrique On se place dans le plan complexe (O; u ; v ). Soient et (z ) deux points du plan. L écriture algébrique de z est z = a + ib et celle de z est z = a + ib.. Soit S le point défini par OS = O + O. On a alors : OS = (a + a ) u + (b + b ) v. L affixe du point S est donc : Donc : z S = (a + a ) + i(b + b ) = z + z

4 Isabelle orel-ts-cours complexes forme algébrique 4 z = O+ O z +z O O. Soit k un réel et soit P le point défini par OP = ko. Alors OP = ka u + kb v. L affixe de P est donc ka + ikb = kz. Donc : ( z) z ko = kz O = O + O = O + O. Donc l affixe de est z z. On a donc z = z z 3 Conjugué d un nombre complexe 3. Définition Définition du conjugué Soit z = a + ib un nombre complexe (a et b réels). Le complexe z = a ib est appelé le conjugué de z. Exemples :. =. (-z) On a donc : Re = Re et Im = Im. O = O, par conséquent, z = z. 3.3 Propriétés Opérations avec le conjugué. z = z z = z.. z = z. 3. z + z = z + z. 4. z = z. 5. zz = z z. 6. z n = z n pour tout entier n.. i = i i = 5 6i. 4. 7i = + 7i. 3. Interprétation géométrique Dans le plan complexe, le point est le symétrique du point par rapport à l axe des réels. 7. ( z ) = pour tout z 0. z 8. ( z ) = z pour tout z 0. z z 9. pour tout z = a + ib, zz = a + b. On pose z = a + ib et z = a + ib.. z = z a + ib = a + ib a = a et b = b a = a et b = b z = z.. z = a ib = a + ib = z.

5 Isabelle orel-ts-cours complexes forme algébrique 5 3. Faire la suite pour s entraîner cela fonctionne de la même manière! 3.4 Propriétés Théorème liant partie réelle, partie imaginaire, complexe et conjugué Soit z = a + ib avec a et b réels. On a alors :. z + z = Re.. z z = iim. 3. Re = z + z. 4. Im = z z. i Soit z = a + ib l écriture algébrique du complexe z.. z + z = a + ib + a ib = a = Re.. z z = a + ib (a ib) = ib = iim. Condition nécessaire et suffisante pour avoir un réel ou un imaginaire pur z R z = z et z ir z = z.. z R z = z Im = 0 z z i. z ir z = z Re = 0 z + z 3.5 Applications. Déterminer le conjugué de 4 5i 3 + i. = 0 z z = 0. = 0 z + z = 0.. Pour tout nombre complexe z 5, déterminer le conjugué de z i 5z Ecrire le complexe z = i sous forme algébrique i 4. Soit z un nombre complexe. Parmi les nombres suivants, lesquels sont réels? imaginaires purs? + zz; z z ; (z + iz)(z iz). 5. Résoudre l équation z + i = iz Calculer ( + i 3) 3 ( i) ontrer que pour tout nombre complexe z i, iz + z i ir. 4 odule d un nombre complexe Propriétés du module : Soient z et z deux nombres complexes. Alors :. zz = z z.. Pour tout entier naturel n, z n = z n. 3. Pour tout z 0, z = z. 4. Si z 0, z z = z z.. On écrit z et z sous forme algébrique : z = a + ib et z = a + ib. Alors : zz = (aa bb ) + i(ab + ba ) zz = (aa bb ) + (ab + ba ) zz = (aa ) + (bb ) aa bb + (ab ) + (ba ) + ab ba zz = a a + bb + a b + ba zz = a (a + b ) + b (a + b ) zz = (a + b )(a + b ) zz = z z Tout étant positif, on en conclut que zz = z z.. On montre alors par récurrence que pour tout entier naturel n, z n = z n (à faire). 3. Soit z 0. Alors :

6 Isabelle orel-ts-cours complexes forme algébrique 6 z = a ib a + b z = z = z = a + b (a + b ) a + b z 4 3 z + z (z ) z z (z + z ) 4. Pour tout nombre complexe z 0, on a alors : z = z = z = z z z z z = z z. Remarque : On a montré aussi (point 3) que pour tout z 0, z + z correspond au chemin O puis puis z +z correspond au chemin direct de O à Inégalité triangulaire z = z z et zz = a + b = z 3 4. Pour tous nombres complexes z et z, on a : z + z z + z. et étant deux points d affixes z et z, on a : z z =.. Soient et (z ). Soit S le point tel que OS = O + O. Donc OS a pour affixe z + z et par conséquent, OS = z + z. De plus, O = z et S = O = z. On applique alors l inégalité triangulaire dans le triangle OS : OS O + S. Soit, z + z z + z.. On a : z = z z. Donc = z = z z. Remarque : L inégalité triangulaire dit simplement que le plus court chemin pour joindre deux points est la ligne droite :