Classe : TES1 Le 19/12/2003. MATHEMATIQUES Devoir N 3 ;0, 3 ;0. les tangentes à la courbe (C) aux points D et E sont parallèles à l axe des abscisses.

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1 Classe : TES1 Le 19/12/200 MATHEMATIQUES Devoir N Calculatrice autorisée Durée : h Eercice 1:,5 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur le graphique ci-contre, la courbe C) représente une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ;. On précise que : la courbe C) passe par les points A, D, E, F, G et J de coordonnées respectives 2; 5 ), 1; ), ; 1), 1 ) ;0, ; ) et 0; 1). ) 11 la droite AB) est tangente en A àlacourbec) et le point B a pour coordonnées ;0. les tangentes à la courbe C) au points D et E sont parallèles à l ae des abscisses. 1. Sans fournir de justifications, indiquer : a) les valeurs de f 1) et de f 2) ; b) les solutions, sur l intervalle ;, des inéquations f) > 0 ; f) 1 ; c) les solutions, sur l intervalle ;, de l inéquation f ) a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle ;. b) On note g la fonction définie sur ; par : g) = 1 f). Déterminer, en justifiant, le tableau de variation de g. Faire figurer la limite de g en 1.) c) On note h la fonction définie sur ; par : h) =lnf)). Quelles sont les valeurs de pour lesquelles h) est positif ou nul? Justifier la réponse. Eercice 2: points) 1. a) Ecrire les nombres suivants en fonction de ln 2 et ln : ) 1 A =ln18 ln 8 B =ln2+ln 2 b) Démontrer que : ln 8 + lne 2 )+2ln e)=ln f est la fonction définie sur ]1; + [ par : f) = 1 ) +2ln. 1 a) Etudier les limites de f en 1. Interpréter graphiquement ce résultat. ) b) Etudier la limite en + de la fonction ln. 1 En déduire une équation d une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f.

2 Eercice :,5 points) Soit P le polynôme défini sur R par : P ) = a) Déterminer les réels a, b et c tels que : P ) = 2)a 2 + b + c). b) On admet que a =1, b =1et c = 12. Résoudre dans R l équation P ) =0. 2. En déduire les solutions dans R de l équation suivante : 2ln +ln 1) = ln1 2). Eercice : 8 points) Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par : f) = ln ). 1. a) Déterminer les limites de f en 0 et en +. b) Donner une interprétation graphique des résultats. 2. a) Calculer f ) où f désigne la fonction dérivée de f sur ]0; + [. b) Montrer que f ) = ln ). 2. Montrer que f ) > 0 sur ]e ;+ [. En déduire le tableau de variation de la fonction f.. Calculer fe ). En déduire le signe de f sur ]0; + [. 5. Soit la fonction F définie sur ]0; + [ par : F ) = 50ln ) a) Montrer que F est une primitive de f sur ]0; + [. b) En déduire le tableau de variation de la fonction F, on calculera les limites au bornes du domaine de définition. 6. La société Dumoulin, qui fournit des hangars préfabriqués pour l industrie, peut en produire jusqu à 50 par mois. Son bénéfice, pour q quantités produites q entier compris entre 10 et 50), est donné par : Bq) = 50ln q ) 2 +0en milliers d euros. a) A partir de la calculatrice, déterminer l ensemble des valeurs de q qui permettent d obtenir un bénéfice positif. b) Déterminer la valeur de q qui permet d obtenir un bénéfice maimum. Préciser ce bénéfice maimum.

3 Eercice 1: 1. a) f 1) = 0 f 2) = y B y A = 0 5 B 11 A 2 = 5 5 = 1. b) l ensemble des solutions de l inéquation f) > 0 est ] 1 ; ]. l ensemble des solutions de l inéquation f) 1 est [0; ]. c) f ) 0 lorsque la fonction f est décroissante, alors f ) 0 sur [1; ]. 2. a) Tableau de variation de f : 1 1 f 0 1 b) g est la fonction définie sur ; par : g) = 1 f). g ) = f ) f)) 2 or f)) 2 > 0 sur alors g ) > 0 sur ]1; [ ; g ) < 0 sur ;,doncg ) est du signe de f ) ] 1 [ ;1 ]; ] et g ) =0pour =1et = Tableau de variation de g : 1 1 g ) g lim f) =0 + donc lim g) =+ ; f1) = alors g1) = 1 1 f) = 1 alors g1) = 1 ; f) = alors g) =. c) h est la fonction définie sur l intervalle ; par : h) =lnf)). h) 0 lorsque f) 1 c est à dire lorsque [0; ]. Eercice 2: 1. a) A = ln18) ln 8 = ln2 ) 2 ) ln2 ) = ln 2 + ln 2 ) ln2= 2ln2+2ln 1 B =ln2+ln =ln2 ) ln )=ln2 )+ln ln=9ln2 2 b) ln 8 + lne 2 )+2ln e)=ln2 ) ln + ln e)=ln2+2+2ln2 2 ) ln e =ln2+2+ln2+1=ln2+ 2. f une fonction définie sur ]1; + [ par : f) = 1 +2ln 1 a) lim =1 et lim 1 1 1=0+ d où lim =+ de plus lim ln X = X + ) donc lim ln =+ et lim f) = la droite d équation =1est donc asymptote à la courbe représentative de f. ) b) lim + 1 = lim + = lim 1=1 et lim ln X =0 d où lim ln =0. + X On a alors f) 1 ) =ln et lim 1 f) 1 + =0 et la droite d équation y = 1 est asymptote à la courbe représentative de f en +. ).

4 Eercice : P est le polynôme défini sur R par : P ) = a) P ) = 2)a 2 + b + c) =a + b 2 + c 2a 2 2b 2c = a +b 2a) 2 +c 2b) 2c a =1 a =1 b 2a = 1 On a alors : b =1 c 2b = 1 c = 12 2c =2 donc P ) = 2) ). b) P ) =0lorsque 2=0, c est à dire =2 ou = 0 on résout = 0 = ) = 9 l équation a alors deu solutions : 1 = 1 9 = et 2 = 1+ 9 = 2 2 donc les solutions de l équation P ) =0sont 2 ; et On résout 2ln +ln 1) = ln1 2) il faut que >0, 1 > 0, c est à dire >1 et 1 2 > 0, c estàdire> 12 ] [ 12 donc on résout cette équation sur ;+ et 2ln +ln 1) = ln1 2) ln 2 )+ln 1) = ln1 2) ln 2 1)) = ln1 2) d où 2 =1 2 et =0 ] [ 12 et les solutions de cette dernière équation sont 2 ; et -, mais ;+. Donc les seules solutions de l équation 2ln +ln 1) = ln1 2) sont 2 et. Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par : f) = ln ). 1. a) lim =+ et lim ln =+ donc lim f) = ln ) =00 ln 00 ln or lim + =0 et lim + =0 donc lim f) =0. + b) la droite d équation =0estasymptoteàlacourbeC la droite d équation y =0est asymptote à la courbe C en f) =u) v) où u) = ; u ) = 2 v) = ln ; v ) = 1 f = u v + uv f ) = ln )+ 2 1 ) = 00 ln = ln ). 2. sur ]0; + [, 2 > 0, doncf ) est du signe de ln ln > 0 ce qui donne ln > donc >e alors f ) > 0 sur ]e ;+ [ Tableau de variation de f : 0 e + f ) fe )= e lne )) = ) = e e f e

5 . fe )= ln ) = ) = 0 e e f est strictement décroissante sur ]0; e [,alorsf) > 0 sur ]0; e [ et f) < 0 sur ]e ; e ] f est strictement croissante sur ]e ;+ [, et lim f) =0,doncf) < 0 sur + ]e ;+ [. Donc f) > 0 sur ]0; e [ ; f) < 0 sur ]e ;+ [ et f) =0pour = e. 5. F est la fonction définie sur ]0; + [ par : F ) = 50ln ) + 0 a) F ) = 50u)) 2 +0 où u) =ln ; u ) = 1 F ) = 50 2 u ) u) F ) = 1 ln ) = ln ) =f) b) alors F ) > 0 sur ]0; e [ et F ) < 0 sur ]e ;+ [ Tableau de variation de F : 0 e + F ) lim ln =+ d où lim 0 donc lim 0 F ) = ln 0 )2 =+ 0 F lim ln =+ d où lim ln + + )2 =+ et lim F e )= 50lne ) ) 2 +0= 50 ) 2 +0=0 + F ) = 6. a) On aura un bénéfice positif pour une quantité comprise entre 10 et. b) On regarde le maimum de la fonction F ; il est atteint pour = e. Donc le bénéfice est maimum pour une quantité produite égale à 20. Ce bénéfice sera d environ 0000 euros.