Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1

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1 Exercice 1 : Fonctions trigonométriques - Corrigé 1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et =1 cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout, cos 1 donc 0 et donc est bien croissante sur. b. est croissante sur 0;+ donc admet pour minimum 0=0 sin0=0 Il est donc clair que est positive sur.. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et = sin+= b. D après la question 1.b, 0 donc est positive sur et donc est croissante sur. En utilisant le même raisonnement qu à la question 1.b, est positive sur. 3. a. D après la question.b, pour tout réel positif, 0 et donc : cos 1+ ² 0 cos 1 ² Or,on sait quecos 1,donc on a bien 1 ² cos 1 b. Soit 0, alors 0, on peut donc lui appliquer l encadrement du 3.a : 1 ² cos 1 1 ² cos 1 L encadrement est donc encore vrai lorsque est négatif. Exercice : Proposition 1 fausse est dérivable sur 1;3 et = sin sin cos cos sin² On en déduit que = 1 sin².ainsi, π 3 = 1 sin² π = 1 3 = sin²+cos². sin² 1 = = Le coeficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d abscisse π 3 est donc 4 3. à la courbe représentative de au point d abscisse π 3 est égal 4 3. Proposition vraie : = 1 sin3=1 sin3 1 =0 =0 ou sin3=1 sin3= 1 sin3=sinπ 6 3=π 6 +π ou 3=π π 6 + π = π 18 +π 3 ou = 5π 18 + π 3 Les solutions sont donc :0, π 18 +π 3, 5π 18 + π 3 où et désignent des entiers relatifs. Exercice 3 : On sait que la fonction sinus est dérivable sur R donc en particulier en 0. La fonction : sin est aussi dérivable sur R donc en particulier en 0 et =cos et donc 0=cos0= 0+h 0 h On a donc : lim = et donc lim = h h

2 cos 1 lim correspond au nombre dérivé de la fonction cosinus en 0,cette limite est donc égale à cos 0=sin0=0 sin = sin =sin = sin sin7 Ainsi =sin Comme pour la première limite, on utilise le nombre dérivé de la fonction : sin7 qui vaut 7 sin lim =7 et lim = 7 sin7 on en déduit que lim = sin lim = lim sin 1 = lim sin 1 1 = lim sin sin 1 sin sin est le taux d accroissementde la fonction sinus en,il a donc pour limite =cos =0 1 sin Conclusion : lim =0 1 =0 +sin = 1 +sin Notons la fonction +sin : l 1 expression est l inverse du taux d accroissement +sin +sin de la fonction en 0 est définie et dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables et : = cossin = cossin donc 0= cos0sin0 = 1 0 +sin +sin +sin 0 +0 =0 +sin Ainsi lim =0 Pour le passage à l inverse, il faut donc distinguer deux cas : lim lim +sin +sin =0 donc lim +sin =+ =0 donc lim +sin = N 37 page 154 : 1) On sait que la fonction sinus est dérivable en 0 et sin 0=cos0=1 0+h 0 h On a donc : lim =1 et donc lim =1 h h On en de duit que lim =1=0

3 La fonction est donc continue en 0. Elle est ensuite continue sur «le reste de R» (c est-à-dire ;0 et 0;+ ) comme quotient de fonctions continues de dénominateur non nul. Pour tout re el non nul, = sin = sin = sin = Donc la fonction est paire : on en déduit que la courbe de admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie. 3)a) est dérivable sur ;0 et 0;+ comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul. Et comme on admet que est dérivable en 0 alors est dérivable sur R. b) Pour tout re el non nul = cos 1 sin ² = cos sin ² c) Le dénominateur de est positif donc est du signe de son numérateur à savoir cos sin. 4)a) La fonction est dérivable sur 0;comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et, pour tout 0;, =1 cos+ sin cos= sin Sur 0;, 0 et sin 0 sur 0; et sin 0 ; Par produit, on en déduit que 0 sur 0; et 0 sur ; Finalement, est décroissante sur 0; et croissante sur ;. D où le tableau de variations : D après le tableau de variations de la fonction, on en déduit que 0 sur 0;. De plus la fonction est continue et strictement croissante sur ;, 0 est compris entre et donc d après le corollaire des valeurs intermédiaires ne s annule qu une fois sur ; en 4,5. On en déduit que 0 sur ; et 0 sur ;. Finalement 0 sur 0; et 0 sur ;. b) ) Points d intersections de et H : =h sin = 1 sin=1 =

4 Son ordonnée est donc l inverse de son abscisse. Conclusion : H = ; Points d intersections de et H : =h sin = 1 sin= 1 =3 Son ordonnée est donc l opposé de l inverse de son abscisse. Conclusion : H = ; N 39 page 154 : 1) a) =0 0;1 donc la propriété est vraie au rang 1. Supposons que 0;1 pour un certain entier non nul et montrons que 0;1. On a donc ; par croissance de la fonction racine carre e et donc 0 1 On a bien démontré que, pour tout entier naturel non nul, 0;1. b) La 1 ère méthode proposée par l énoncé ne permet pas de prouver que la limite est égale à 1, on ne peut que la conjecturer On démontre tout d abord par récurrence (classique) que la suite est croissante et comme on sait qu elle est majorée par 1, alors elle converge (mais on ne peut pas affirmer que la limite est 1 ) ème méthode : on démontre tout d abord que, N, =cos = 1 et cos =cos= 1 donc l égalité est vraie au rang 0. Supposons que =cos pour un certain N et montrons que =cos. = 1+ = 1+cos On utilise la formule : cos=cos² 1 qui se traduit aussi sous la forme :

5 1+cos cos²= Ce qui donne finalement : =cos² et pour = cos² 1+cos = =cos=cos car 0 La propriété est initialisée en 0 et héréditaire donc vraie pour tout entier naturel. = 1+cos lim =0 et limcos=1 donc par compose e, lim cos =0 On en déduite que lim =1. ) a) ²+ ²=0+1=1 Supposons que ²+ ²=1 (on a donc ²=1 ²) ²+ ²= ² = ² = =1 b) Il est clair que est une suit à termes positifs, donc l égalité ²+ ²=1 se traduit par : =1 ² et comme lim =1 alors lim =0. Remarque : on pouvait aussi démontrer que : N, =sin N 46 page 155 : 1) a) Pour tout re el, =sin ²+ 3cos = sin + 3cos= Donc la fonction est paire : on en déduit que la courbe de admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie. b) R,+=sin +²+ 3cos+=sin + 3cos Donc la fonction est -périodique. ) a) = cos sin+ 3 sin=cossin 3sin Et donc on a bien : =sincos 3 b) sin 0 sur 0; donc est du signe de cos 3 >0 cos 3>0 cos> 3 Sur 0;,cos> 3 < 6 On en déduit que s annule en 0, et et que >0 sur 0; et <0 sur ; Finalement, est strictement croissante sur 0; et strictement décroissante sur ;.

6 est croissante sur ; puis décroissante sur ;0puis croissante sur 0; et enfin décroissante sur ; admet donc un maximum atteint en et de valeur = =1,75 Le minimum est donc soit égal à 0= 3>1,7 soit à = + >1,7 Au final, pour tout ;, 1,7 1,75 3) <<,1<. est continue et strictement décroissante sur ; et donc sur ;,1 De plus, 0 est compris entre et,1, donc d après le corollaire des valeurs intermédiaires, l équation =0 admet une unique solution sur ;,1.