Exercices : Préparation à l oral

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1 Mathématiques Année Lycée Pothier - PSI F. Blache Exercices : Préparation à l oral Exercice. Calcul mental : et Déterminer le plus grand facteur premier du nombre Exercice 2 Soit Z = (+i) n +( i) n, n N.. Développer Z. 2. Calculer Z sous forme trigonométrique. 3. En déduire la formule suivante : p N, p l= ( ) 2p ( ) l = 2 p cos(pπ/2). 2l Exercice 3 Soit n N, n 2, et J n M n (R) la matrice constituée uniquement de.. Déterminer les valeurs propres de J n ainsi que leur ordre de multiplicité. 2. La matrice J n est-elle diagonalisable? 3. Soit x R et A x M n (R) la matrice comportant la valeur x sur sa diagonale et des ailleurs. Montrer que A x est diagonalisable et calculer son déterminant. Exercice 4 On rappelle qu une application ϕ de classe C 2 sur R 3 est dite harmonique si son laplacien est nul, i.e. : (x,y,z) R 3, ϕ(x,y,z) = 2 ϕ 2 ϕ 2 ϕ x 2(x,y,z)+ y 2(x,y,z)+ z2(x,y,z) =.. Montrer que la fonction ψ : (x,y,z) x 2 +y 2 +z 2 est harmonique sur R3 \{(,,)}. 2. Déterminer toutes les fonctions f : R + de classe C2 telles que soit harmonique sur R 3 \{(,,)}. F : R 3 \{(,,)} R (x,y,z) f( x 2 +y 2 +z 2 ) Exercice 5 +. Rappeler la nature de e αt dt en fonction du paramètre réel α Soit n N. Déterminer la nature de l intégrale dt en fonction de n. ch(nt)

2 + 3. On pose u n = dt quand cela est bien défini. Déterminer la nature des séries ch(nt) ( ) n u n et un. 4. Calculer la somme de chaque série convergente. Exercice 6. Donner le développement en série entière de u ln(+u) au voisinage de et le redémontrer (on précisera son domaine de validité). 2. Développer en série entière au voisinage de : x ln(x 2 5x+6). Exercice 7 Soit a R fixé. Déterminer les applications f : R R de classe C, telles que pour tout x R, f (x) = f(a x). Exercice 8 Soient X, Y des variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et vérifiant les hypothèses suivantes : (i) X et Y admettent chacune une espérance; (ii) X et X Y sont indépendantes; (iii) Y et X Y sont indépendantes.. Montrer l existence de la variance de X Y. 2. Montrer que X Y est constante avec probabilité. Exercice 9. Soit α R +. Montrer l existence d une variable aléatoire X telle que X(Ω) = N et G X(t) = (2 t) α. 2. Donner un équivalent de P(X = n) lorsque n tend vers +, dans le cas où α N. 3. Soit λ R 2α +. Montrer que P(X (λ+)α). λ 2 Exercice Soit u R N. Montrer qu il existe v R N et w R N respectivement croissante et décroissante telles que u = v +w. Exercice Dans une urne, on a des boules distinctes B,...,B n (n 2) que l on tire successivement et avec remise. Soit Y r la variable aléatoire qui donne le rang du tirage au bout duquel toutes les boules B,...,B r ont été tirées au moins une fois.. Déterminer la loi, l espérance et la variance de Y. 2. Préciser Y r (Ω). Que valent P(Y r = r) et P(Y r = r +)? Vérifier de façon empirique les deux valeurs trouvées à l aide de Python. 3. On fixe r. Pour tout i {,...,r}, on note W i la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour que pour la première fois, i boules distinctes parmi les boules B,...,B r soient sorties (ainsi, W r = Y r ). On pose X = W et X i = W i W i si i 2. a) Déterminer la loi de X i ainsi que son espérance. En déduire l espérance de Y r. b) Trouver un équivalent de Y n quand n tend vers +.

3 Exercice 2 Donner les valeurs propres et espaces propres de l endomorphisme φ, défini sur E espace euclidien par φ(x) = x x,a b, où a et b sont unitaires, linéairement indépendants et non orthogonaux. Exercice 3 Soit A = (a ij ) M n (R) une matrice symétrique telle que A 2 = A. Exprimer a 2 ij en fonction du rang de la matrice A. i,j n Exercice 4 π ( ) t 2 On pose, pour tout n N, I n = 2π t cos(nt) dt, et on définit la fonction f par. Calculer, pour tout n, I n en fonction de n. f(t) = t2 /(2π) t 2sin(t/2). 2. Donner l ensemble de définition de f. Montrer que f est prolongeable en une fonction de classe C sur [;π]. 3. Soit N un entier naturel. Démontrer la formule suivante : N π ( ) n = π2 (2N +)t f(t)sin dt. 2 n= 4. En déduire la valeur de + n= n 2. Exercice 5 Trouver le rayon de convergence de u n = ( )n x 2n 2n(2n ) puis calculer sa somme. Exercice 6 Soit f : R 2 R (x,y) e x4 +y 4 e x4 e y4.. Justifier que f est de classe C sur R 2 et calculer les dérivées partielles de f. 2. Montrer que le gradient de f s annule seulement en (,). 3. Vérifier que l on a, pour tout couple (a,b) (R + )2 : ab(ab a b +) = (ab )(a+b)+a(a )b(b ). 4. En déduire la nature du point (,). Exercice 7 Soit (u n ) la suite définie, pour tout n N, par : u n = n k= lnn. k. Montrer que ln(+x) x pour tout x >. 2. Montrer que u n ln(+/n) pour tout n N. 3. Montrer que (u n ) est décroissante. 4. Montrer que (u n ) converge.

4 Exercice 8 Soit u un endomorphisme de R 3, de matrice dans la base canonique 2 A =.. Calculer rg(a+2i 3 ). En déduire que A n est pas diagonalisable. 2. a) Déterminer ker(u+2id) et ker((u id) 2 ). b) Montrer que E = ker(u+2id) ker((u id) 2 ). 3. On fixe n N, n 2. Soit X une matrice telle que X n = A, et v l endomorphisme de la matrice X dans la base canonique. a) Montrer que u et v commutent. b) Montrer que ker(u+2id) et ker((u id) 2 ) sont stables par v. ( ) α 4. Montrer que X est nécessairement de la forme X =, où Y M Y 2 (R) et α C. 5. Déterminer X. Exercice On pose A = La matrice A est-elle diagonalisable? 2. Soit a un réel. On définit la suite récurrente vectorielle u n a X n = v n w n par X = et n N, X n+ = AX n. 2 n N Déterminer a pour que la suite (u n ) soit bornée. Exercice 2 3 On considère la matrice A = 7 5. Résoudre le système différentiel X = AX Exercice 2 Résoudre les équations différentielles suivantes (sur?) :. a) x 3 y (x)+3x 2 y(x) = ; b) (x 2 )y (x) 6y(x) =. 2. Pour la première équation, déterminer l ensemble (E) des points du plan correspondants aux points des courbes intégrales où la tangente à la courbe est parallèle à l axe des abscisses (on donnera une équation cartésienne de cet ensemble puis on le représentera graphiquement). 3. Déterminer les points de l ensemble (E) où la tangente à(e) est orthogonale à la première bissectrice. Exercice 22 Soit a R et a a 2 a 3 M = /a a a 2 /a 2 /a a. /a 3 /a 2 /a

5 . Donner une relation entre M et M La matrice M est-elle diagonalisable? 3. Déterminer le sous-espace propre relatif à la plus grande valeur propre de M. Exercice 23 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé sur lequel sont définies toutes les variables aléatoires de l exercice. Soit N une v.a.r. suivant la loi de Poisson de paramètre λ >.. a) Montrer que, pour toute fonction g définie sur N telle que les espérances existent, on a : E(Ng(N)) = λe(g(n +)). b) Calculer E( N+ ). 2. Soit T une v.a.r. à valeurs dans N telle qu il existe un réel λ vérifiant, pour toute fonction g telle que les espérances existent, E(Tg(T)) = λe(g(t +)). La variable aléatoire T suit-elle une loi de Poisson? Exercice 24 + x Pour tout x R, on pose f(x) = n 2 +x 2. n=. Justifier l existence de f(x) pour tout x réel et étudier la continuité de la fonction f ainsi définie. 2. Etudier la dérivabilité de f sur R. Exercice 25 On définit une suite (c n ) n N par : { c =. Montrer que pour tout entier naturel n : n N, c n+ = 4n+2 n+2 c n. c n = (2n)! n+ (n!) On pose pour tout entier naturel n : u n = 6n. n 3 c 2 n Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite. 3. Quand c est bien défini, on pose pour x réel f(x) = + n= c n x n. a) Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière. b) Montrer que pour tout x ] R;R[, on a : (4x 2 x)f (x)+(2x )f(x) =. c) En déduire une expression de f(x) sans le signe.

6 d) Déterminer un développement limité de f en à l ordre. Que constate-t-on? Exercice 26 On admettra que + e t2 dt = π 2.. Pour x R, la fonction t e t2 ch(xt) est-elle intégrable sur [;+ [? On pose F(x) = + e t2 ch(xt)dt. 2. La fonction F est-elle de classe C sur R? 3. Donner une équation différentielle du premier ordre vérifiée par F et en déduire explicitement F(x). Exercice 27 On considère l espace euclidien R 3, muni du produit scalaire canonique, et de la norme euclidienne associée. De plus, soit la matrice : A = Déterminer les valeurs propres de A ainsi qu une base orthonormée B de vecteurs propres. 2. La matrice A est-elle inversible? 3. Soit u un vecteur de R 3 de coordonnées (x,y,z) dans la base B. Exprimer ses coordonnées (x,y,z ) dans la base B. 4. Calculer Au,u en fonction de (x,y,z), puis en fonction de (x,y,z ). 5. Soit λ la plus petite valeur propre de A. Déduire de ce qui précède que, pour tout u R 3, Au,u λ u Pour tous vecteurs u,v de R 3, on pose (u,v) A = Au,v. Montrer que l on définit ainsi un produit scalaire sur R 3. On fixe b R 3. Pour tout vecteur u de R 3, on pose. J b (u) = 2 Au,u u,b. 7. Quels sont les ensembles de départ et d arrivée de la fonction J b? Que vaut J b ()? 8. Calculer le gradient de la fonction J b. 9. Montrer que J b (u) 2 λ u 2 b u où λ désigne la plus petite valeur propre de A.. En déduire que la fonction J b est minorée et non majorée (on pourra étudier la fonction qui, à tout réel t, associe λ 2 t2 αt, pour une valeur de α bien choisie).. Montrer que : inf u R 3J b (u). 2. Montrer que, si u > 2 b λ, alors : J b(u). 3. En déduire que : inf u R 3J b (u) = inf u B(,r) J b (u), où B(,r) désigne la boule fermée de centre l origine et de rayon r = 2 b λ. 4. Montrer que la fonction J b admet un minimum global sur R Montrer que cette fonction atteint son minimum global au point u = A b.

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