Thème 12: Généralités sur les fonctions

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1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 69 Thème 12: Généralités sur les fonctions 12.1 Introduction Qu est-ce qu une fonction? Une fonction est une sorte de "machine". On choisit dans un ensemble de départ A un objet qu'on introduit dans la machine, qui le transforme. À la sortie, elle en a fait un nouvel objet appelé image de l'objet de départ. La machine établit ainsi un lien entre un ensemble de départ A et un ensemble d'arrivée B contenant les images. Un exemple de la vie courante: 12.2 Les 4 représentations d une fonction : Chaque objet de A a une image et une seule dans B. Les objets qui entrent dans la machine et en ressortent sont le plus souvent des nombres. Vous achetez des timbres à 90 centimes. Le prix que vous paierez à la caisse dépendra du nombre de timbres que vous achetez. On dira alors que le prix est fonction du nombre de timbres. Expressions de la fonction f : A B x 0,9x ou f (x) = 0,9x Diagramme sagittal Tableau de valeurs Le graphique f 0,90 1, y A x B 2,70 y 1, x Définition: Lorsqu on associe au nombre x le nombre y, on dit que y est l image de x, et que x est une préimage de y. Une fonction est une règle de correspondance pour laquelle chaque valeur de la variable x (choisie dans un certain domaine) a une et une seule image bien déterminée y.

2 70 THÈME 12 Modèle 1 : La température comme fonction du temps: On a relevé, un certain jour en un endroit donné, la température toutes les deux heures. Si T désigne la température et h l heure, on peut dire que T est fonction de h. La relation qui lie h et T est donnée par le tableau : h (en heures) T (en degrés) 2 1,6 1 0,2 1,6 4,3 5, ,3 2,2 1,1 0,2 a) Quelle est l image de 2? b) 14 est-elle l image de 6? c) Déterminer les préimages de 4,3? d) Lequel de ces 2 graphiques correspond à la situation représentée?

3 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 71 Exercice 12.1: L allongement a d un ressort est donné en fonction de la masse m suspendue à ce ressort par le tableau : m (en kg) a (en cm) a) Donner l image de 2 puis la préimage de 7. b) Faire une représentation graphique, puis interpréter ces données. Exercice 12.2: Soit f la fonction donnée par f (x) = 3x 2 + x 5. a) Calculer les images de 0 et de -3. b) Calculer les préimages de 5 et de -6. Exercice 12.3: Soit h la fonction donnée par h(x) = x + 3 x 2. Compléter le diagramme : Exercice 12.4: Exercice 12.5: Représenter graphiquement l évolution de la moyenne d un élève qui obtient successivement les notes : 4 ; 4.5 ; 4 ; 2 ; 3.5 ; 6 ; 5.5 ; 5 ; 6. Représenter graphiquement le prix à payer en fonction du temps de stationnement dans un parking qui pratique les tarifs suivants : de 0 à 60 minutes : 2.- de 1 h à 2 h : 5.- ensuite le prix augmente de 2.- par tranche de 30 minutes.

4 72 THÈME Modèle mathématique, fonction donnée par une formule: Une des branches importantes des mathématiques est la modélisation. Dans le cadre de l exercice 1, on pourrait chercher une formule permettant de calculer l allongement a en fonction de la masse m. On obtiendrait un modèle mathématique de cette situation concrète. Dans ce cours, nous allons voir comment on trouve des formules (fonctions mathématiques) pour décrire des situations concrètes. Nous allons voir aussi comment résoudre des questions relatives à une fonction dont on connaît la description par une formule mathématique. Exemple d une fct donnée par une formule : y = 7x est une formule qui définit une fonction. Appelons g cette fonction. On utilise de façon équivalente l une ou l autre des formulations suivantes: g est la fonction qui à toute valeur de x fait correspondre la valeur y = 7x. g est la fonction donnée par g(x) = 7x. g est la fonction donnée par g : x 7x. g(x) se lit «g de x». Il ne s agit pas d une multiplication! Concrètement, g( x) = 7x représentait, dans l exercice 1, l allongement du ressort lorsqu on lui accroche une masse m supposée pas trop grande. Le nombre noté g(1,5) correspondra donc à l allongement du ressort à l aide d une masse de 1,5 kg et se calculera en remplaçant x par 1,5 dans la formule : g(1,5) = 7 1,5 = 10,5 (cm). On doit, dans cette situation concrète, préciser une condition d utilisation de la formule qui est: x est un nombre supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 5. On écrira simplement E D = [0 ; 5].

5 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 73 Modèle 2 : Modéliser une situation: Vous organisez un voyage d autobus pour assister à un événement culturel. Le coût du billet est de 40 francs par personne. Cependant, si le groupe comprend plus de 24 personnes, la compagnie d autobus accorde une réduction pour chacun des passagers. Cette réduction est calculée en prenant le nombre de personnes qui s ajoute au groupe minimum de 24 multiplié par 75 centimes. Sachant que l autobus ne peut contenir plus de 48 personnes: a) Esquisser graphiquement le coût C du billet par personne en fonction du nombre x de personnes. b) Exprimer algébriquement la relation entre les variables C et x. c) Calculer le prix total P pour un groupe de 10, 20, 30, puis 40 personnes. d) Esquisser graphiquement le prix total P pour un groupe, en fonction du nombre x de personnes du groupe.

6 74 THÈME 12 Exercice 12.6: Trois compagnies de taxis pratiquent les tarifs suivants : Compagnie A B C Prise en charge Prix par km a) Exprimer pour chaque compagnie le prix à payer P en fonction de la distance x parcourue. b) Sur un même dessin, représenter le prix demandé par chaque compagnie en fonction du parcours. Les 3 prix se représentent à l aide de droites. c) Pour quels parcours la compagnie C est-elle la plus avantageuse? Exercice 12.7: Un musée offre des prix spéciaux pour les groupes d étudiants, ces prix sont fonction du nombre d étudiants dans le groupe. Nbre de personnes dans le groupe Prix en Frs 0 à plus de a) Trouver un modèle mathématique décrivant le coût individuel en fonction du nombre d étudiants dans le groupe. b) Donner le graphique de cette fonction. c) Quel sera le coût individuel pour un groupe de 18 étudiants? de 27 étudiants? d) Trouver un modèle mathématique décrivant le coût total pour un groupe en fonction du nombre d étudiants dans le groupe. e) Donner le graphique de cette fonction. f) Quel sera le coût total pour un groupe de 18 étudiants? de 27 étudiants? Exercice 12.8: Un thermomètre est gradué à la fois en degrés Celsius et en degrés Fahrenheit. Notons C la température en degrés Celsius et F celle en Fahrenheit. a) Trouver une formule de la forme F = a C + b permettant de calculer F lorsqu on connaît C. b) Représenter graphiquement F en fonction de C. c) Trouver une formule permettant de calculer C lorsqu on connaît F. d) Exprimer en Celsius les températures de 25 F et 100 F.

7 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 75 Exercice 12.9: On veut fabriquer une boîte ouverte à partir d un morceau de carton de 30 sur 50 cm en coupant à chaque coin un carré de côté x puis en repliant les bords (voir figure). a) Calculer le volume V de la boîte, lorsque x = 5. b) Exprimer le volume V de la boîte en fonction de x. On notera V (x) la fonction ainsi définie. c) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles. d) Représenter graphiquement la fonction V (x), en choisissant de faire le calcul pour les valeurs x = 0, 3, 6, 9, 12 et 15. e) Comment faire d après le graphique ci-dessus pour construire une boîte dont le volume soit le plus grand possible? Modèle 3 : Modéliser une situation: On désire construire une aire de repos de forme rectangulaire le long de l autoroute. Notons x la longueur du côté du rectangle perpendiculaire à la route, et y le côté parallèle à la route. On place une barrière autour de l aire de repos sur trois côtés seulement, la route faisant la délimitation du 4 ème côté. On veut de plus que la surface du rectangle soit de 4'800 m 2. On notera L la longueur totale des trois barrières. a) Faire une figure d étude et placer les variables x et y. b) Exprimer y en fonction de x. c) Exprimer L en fonction de x. d) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles.

8 76 THÈME 12 Exercice 12.10: Suite du modèle précédent : e) Représenter graphiquement L en fonction de x, x ] 0 ; 150 ] f) Chercher à l aide du graphique précédent les dimensions du rectangle de telle sorte que L soit la plus petite possible. Exercice 12.11: On dispose de 250 m de clôture grillagée pour construire 6 cages pour un zoo, assemblées selon le schéma ci-dessous : a) Exprimer y en fonction de x. b) Exprimer l aire totale des 6 cages en fonction de x. c) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles. Exercice 12.12: On veut construire la structure d une caisse à base carrée avec 12 m de lambourdes. Posons x les côtés de la base carrée et y comme indiqué sur la figure. a) Exprimer y en fonction de x. b) Exprimer le volume V(x) de la caisse. c) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles. d) Représenter le graphique de V(x) pour x > 0. e) Pour quelle valeur approximative de x la caisse aura-t-elle un volume maximum? Exercice 12.13: y x x Une cabine de douche de forme parallélépipédique à base carrée est fabriquée à partir de deux matériaux différents : le sol (carré) revient à Fr par m 2 ; les cinq autres parois coûtent Fr par m 2. On sait encore que le coût total des matériaux sera de Fr a) Exprimer le coût de chaque type de parois. b) Grâce au coût total, exprimer y en fonction de x. c) Exprimer le volume V(x) de cette cabine de douche en fonction de x. d) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles. e) À l aide du graphique ci-contre, déterminer approximativement les dimensions de cette cabine de douche admettant un volume maximal.

9 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 77 Exercice 12.14: On veut annexer un abri rectangulaire formé de deux parois verticales de 4 m de large et d un toit plat à une construction existante, comme le montre la figure. Le toit plat est fait en tôle et coûte 15 frs le mètre carré, les côtés sont faits de contreplaqué qui coûte 10 frs le mètre carré. a) Si l on a 800 frs à disposition pour la construction, exprimer la longueur y en fonction de la hauteur x. b) Exprimer le volume intérieur V(x) de l abri en fonction de x. c) Préciser quelles sont les valeurs de x possibles. Exercice 12.15: Une entreprise projette de fabriquer un réservoir en forme de cylindre circulaire droit, ouvert au sommet et d une capacité de 24π cm 3. Le prix des matériaux pour le fond est de 1,20 frs/cm 2 et pour la paroi de 0,50 frs/cm 2. a) Exprimer la hauteur du réservoir en fonction du rayon x. b) Exprimer le prix des matériaux du réservoir en fonction du rayon x. Exercice 12.16: Un rectangle ABCD a un périmètre de 40 cm. Il tourne dans l espace autour de AD et engendre ainsi un cylindre. Déterminer le volume V(x) de ce cylindre en fonction du rayon CD = x Notion d ensemble de définition Définition: Considérons une fonction donnée par la formule y = f (x). L ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles on peut utiliser cette formule s appelle l ensemble de définition de la fonction. On le note E D. Méthode: Pour trouver l ensemble de définition d une fonction, on cherche s il y a des conditions concrètes d utilisation de la formule, et/ou des valeurs interdites pour lesquelles on ne peut pas faire le calcul. On se souviendra en particulier qu il est interdit de diviser par zéro.

10 78 THÈME 12 Modèle 4: Déterminer E D : Déterminer les ensembles de définition de a) la fonction rencontrée au modèle 2 (voyage en autobus) b) f (x) = 1 x 3 (sans condition concrète d utilisation) Exercice 12.17: Donner l ensemble de définition de la fonction f si : x(x + 4) a) f (x) = 3 2x c) f (x) = x 3 x 2 + x e) f (x) = g) f (x) = 3 x 2 9x +14 5(4 x)2 (1 x 2 )(2 x) 2x b) f (x) = 16 x 2 d) f (x) = x 1 x f) f (x) = x 2 + x +1 2x Un peu de vocabulaire au sujet des graphiques Définition: Le graphe d'une fonction f est l'ensemble de tous les couples de la forme (x ; f (x)) où x est un élément de l'ensemble de départ (ou ensemble de définition). On représente en général le graphe d'une fonction dans le système d'axes Oxy, en traçant l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont de la forme (x ; f (x)). On dit alors que le graphe de f est la courbe d'équation y = f (x). axe des ordonnées f (x) P(x ; f (x)) x axe des abscisses graphe de f Soit un point Q(4 ; 2). Les nombres 4 et 2 sont appelés les coordonnées de Q. La première coordonnée s appelle l abscisse et la deuxième coordonnée s appelle l ordonnée.

11 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 79 Modèle 5: Coordonnées de points sur un graphe : On considère la fonction f (x) = x a) Le point P(3 ; 11) est-il sur le graphe de f (x)? b) Quel devrait être alors l abscisse de ce point pour que son ordonnée puisse valoir 11? Exercice 12.18: Exercice 12.19: Résoudre les questions suivantes sans dessin. a) Le point P(1 ; 6) est-il sur le graphe de f (x) = 2x + 4? b) Le point P(2 ; 7) est-il sur le graphe de f (x) = x 2 + 8x 11? c) Le point P d abscisse x = 3 est sur le graphe de f (x) = x 2 7x + 3. Déterminer son ordonnée. d) Le point P d ordonnée y = -2 est sur le graphe de f (x) = 2x + 4. Déterminer son abscisse Calculer k sachant que le point P(k ; 4) est sur le graphe de la fonction f donnée par f (x) = x 2 5x Points d intersection entre le graphe et les axes de coordonnées. Intersection sur Ox : Intersection sur Oy : La première coordonnée des points d intersection du graphe de f et l axe Ox s obtient en calculant les zéros de la fonction f. C est-à-dire en résolvant l équation f (x) = 0. La deuxième coordonnée du point d intersection du graphe de f et l axe Oy s obtient en calculant l ordonnée à l origine de la fonction f. C est-à-dire en calculant f (0).

12 80 THÈME 12 Modèle 6: Intersection avec les axes : Pour la fonction f (x) = 3x x, on demande l E D, et les 2 coordonnées des points d intersection avec les axes. Exercice 12.20: On donne f (x) = 2x 2 x 6. a) Déterminer le(s) point(s) d intersection du graphe de f et de l axe Ox. b) Déterminer le(s) point(s) d intersection du graphe de f et de l axe Oy. Exercice 12.21: Pour chacune des fonctions suivantes, donner les zéros de la fonction, ainsi que l ordonnée à l origine. x(x + 4) a) f (x) = 3 2x c) f (x) = x 3 x 2 + x 2x b) f (x) = 16 x 2 d) f (x) = x 2 + x +1 2x 2 3 Exercice 12.22: Déterminer les coordonnées des points d intersection du graphe de f et des axes. a) f (x) = c) f (x) = 5(4 x)2 (1 x 2 )(2 x) 3 x 2 9x +14 b) f (x) = x 1 x Exercice 12.23: Pour les 3 fonctions : a) f (x) = 5x 2 b) f (x) = x 2 x + 3 c) f (x) = 1 x calculer les 5 expressions suivantes : f (a + h) f (a) f ( a) ; f (a) ; f (a + h) ; f (a) + f (h) et. h

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