Calcul de limites. 3) Limite d'une somme de deux fonctions. = x. 1 lim =... =... lim x =... lim x. lim 2x = x 1. lim 2x + x = lim 3x. lim

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Catherine Piché
il y a 6 ans
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1 Clcul de ites I) Clculs de ite en et - ) Limite en ou - des fonctions de référence : Compléter les ites suivntes ( on observer les représenttions grphiques) : (voir ci-dessous ) Limite des fonctions ffines Si est strictement positif Si est strictement négtif ( b)... ( b)... ( b)... ( b)... Cs prticulier de l fonction rcine crrée : Si l'on emine l fonction rcine crrée on peut douter de l ite lorsque tend vers. s croissnce étnt prticulièrement fible. L vleur peut elle être tteinte pr l fonction rcine crrée? Démontrer que : " Pour tout M > il eiste une vleur A telle que pour tout > A > M " ) Limites du produit d'une fonction pr une constnte : Anlyser les ites suivntes puis compléter le tbleu récpitultif ci-dessous: ( k est une constnte réelle non nulle pouvnt être ; - ) 7( ) f() k f() L -... k >... k <... k >... k <... ) Limite d'une somme de deu fonctions Anlyser les ites suivntes puis compléter le tbleu récpitultif ci-dessous :

2 f() g() (f() g()) L - - L ' - L L ' 4) Limite du produit de deu fonctions Anlyser les ites suivntes puis compléter le tbleu récpitultif ci-dessous : ( )( ) f() g() (f() g()) L - - L ' - - L > L < L > L < ) ite de l'inverse d'une fonction Anlyser les ites suivntes puis compléter le tbleu récpitultif ci-dessous : f() f() L (L ) - ) Comportement en et - des fonctions polynômes EXEMPLE : On considère l fonction f définie pr : f () Compléter : Compléter : { ( )... ( )... { ( )... ( )... donc : ( )... donc : ( )? Il y un problème pour conclure. Il s'git ici de ce qu'on ppelle une forme indéterminée. Observons ce qui se psse Pour cel, complétons le tbleu de vleurs ci-dessous : ² - ²-

3 COMMENTAIRES : EXEMPLE : On considère l fonction f définie pr : f () Compléter : { ( )... ( )... Il y de nouveu un problème pour conclure. On retrouve l forme indéterminée. " " Observons ce qui se psse Pour cel, complétons le tbleu de vleurs ci-dessous : COMMENTAIRES DEMONSTRATION Cette méthode se générlise en : Eemple : Théorème : L ite en (ou - )d'une fonction polynôme est égle à l ite (ou - ) de son terme de plus hut degré. 7 Eercice : Déterminer les ites suivntes : 7) Comportement en et - des frctions rtionnelles On considère les fonctions et leurs représenttions grphiques données ci-dessous : f () f () 4 f ()

4 4 ( )... ( )... f () f () ( )... ( )... Conjecturer les résultts ci-dessous pr observtion grphique : f () f () f () ( )... ( )... f () COMMENTAIRES Théorème : L ite en (ou - )d'une fonction rtionnelle est égle à l ite (ou - ) du quotient de ses termes de plus hut degré. 4 Eemple : Eercice : Déterminer les ites suivntes :. 4

5 II) Asymptotes u voisinge de et - ) Asymptote horizontle : Propriété :Soit f une fonction définie u voisinge de ( ou - ). On suppose que f() L ou ( f() L ). Alors L droite d'éqution y L est symptote horizontle à l courbe représenttive de f u voisinge de ( ou - ). Ci-contre : L droite d'éqution y est une symptote oblique à l courbe u voisinge de. L droite d'éqution y - est une symptote oblique à l courbe u voisinge de -. 8 EXERCICE : Soit f l fonction définie sur IR pr : f (). 4 ) Déterminer l ite en et en - de f().que peut on en déduire pour l courbe représenttive de f? ) ) Démontrer que : f () 4 b) En déduire le signe de f() suivnt les vleurs de. c) Interpréter grphiquement. ) L courbe ci-dessous représente grphiquement l fonction f. Trcer l droite d'éqution y. o ) Asymptote oblique : Propriété : Soit f une fonction définie u voisinge de ( ou - ) dont l'epression lgébrique est de l forme f() b g() Si g() lors l droite D d'éqution y b est symptote oblique à l représenttion grphique de f u voisinge de Si g() lors l droite D d'éqution y b est symptote oblique à l représenttion grphique de f u voisinge de - Eercice On considère l fonction f définie sur IR pr 4 f () ) Démontrer que l droite (D) d'éqution y - est une symptote oblique ) Etudier les positions reltives de l représenttion grphique de f et de son symptote oblique.

6 Eercice f est l fonction définie sur IR / { } pr f () ) Pourquoi peut-on ffirmer que l droite d'éqution y est symptote à l courbe représenttive de f u voisinge de et de? ) Préciser l position reltive de C f et de. III) Limites en ) Cs où l fonction f est définie et continue en o A Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervlle I Si f est dérivble en ( ce qui implique l continuité ) f() f() lors Eemple : l fonction f définie pr f () est dérivble en. On donc : 44 ( ) b) Cs où l fonction n'est ps définie en Nottion : on note f () on note f () f () ou l ite en de l restriction de l fonction f à l'intervlle ] ; [ > f () ou l ite en de l restriction de l fonction f à l'intervlle ] - ; [ < le tbleu suivnt que vous compléterez nous ser très utile f() L ( L < ) L ( L > ) L ( L < ) L ( L > ) g() f() ( ) g() Eemple : Soit f définie pr : f () f n 'est ps définie en ( le clcul de f( ) impliquerit une division pr zéro ) L'ensemble de définition de f est donc : Df ] - ; [ ] ; [ f() Clcul de > On : ( et > > ) ( ) en effet on : 7 - signe de

7 Donc : > 7 ( On en effet l forme " " ) de même on c) Eercices : > Déterminer les ites suivntes : ) > < > ( 7 ( On en effet l forme " " > ) > < < ( < ) d) Asymptotes verticles Propriété: f() f() Lorsque ou sont infinies > < on dit que l droite d'éqution est une symptote verticle à l représenttion grphique de f Eercice : f est l fonction définie sur IR { } pr f () ) Étudier les ites qund tend vers. ) Trouver trois nombres, b, c tels que pour tout ; f () b c ) En déduire l' éqution d'une symptote oblique à C f u voisinge de. 4) Vérifier que est ussi symptote à C f u voisinge de. ) Préciser l position reltive de C f et de. 7

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