3 f x, or pour x [3, [, f '( x) 0 car

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1 Foctio potill Ercics corrigés Fsic 996, rcic Soit f la foctio défii sur * par f( ) t C sa courb rpréstativ 3 3 a f st u bijctio d * sur ; 7 b La droit ( ) d équatio 3 st a d symétri d la courb C O t ll st obtu au poit d absciss 3 c C admt u uiqu tagt parallèl à l a d La tagt à C au poit d absciss a pour équatio : y Corrctio * a Fau : La foctio f st dérivabl sur t 3 f, or pour [3, [, f '( ) car 4 4 t, 3 f f st pas mooto sur t ll réalis doc pas t pour u bijctio b Fau : Si la droit d équatio 3 st a d symétri d la courb C alors f doit êtr pair das y Y X3 X3 l rpèr I, i, j avc I 3, Posos alors Y f X f X X X 3 X 3 Doc f st pas pair das l rpèr I ; i, j avc I(3, ) 3 c Vrai : f pour = 3 car doc C admt u uiqu tagt parallèl à 4 l a O t ll st obtu au poit d absciss = 3 d Fau : La tagt à C au poit d absciss a pour équatio : * y f f 3 Fsic 996, rcic 3 Soit f la foctio défii sur par : f( ) t C sa courb rpréstativ a lim f( ) b La droit D d équatio y st asymptot à C c f st décroissat sur d L équatio f( ) a u uiqu solutio sur Corrctio a Fau : lim lim car lim ( ) ( ) b Vrai : lim f( ) lim doc la droit D d équatio y st asymptot à C + t ll st situé au dssus d C car > c Vrai : La foctio f st dérivabl sur ; ( ) ( ) ( ) ( ) f '( ) soit f '( ) qui st toujours ( ) ( ) ( ) strictmt égativ car somm d du trms strictmt égatifs f st décroissat sur d Vrai : La foctio f st dérivabl t strictmt décroissat sur, f()= positif t f()= doc égatif f st doc bijctiv t il ist u uiqu rél ; solutio d l équatio f( ) 3 Fsic 996, rcic 4 Soit f la foctio défii par : f( ) l( ) t C sa courb rpréstativ Epotill rcics corrigés A TOUATI touatiami@yahoofr

2 a f st défii t dérivabl sur, t pour tout rél o a : b lim f( ) c L équatio f( ) a pas d solutio réll d La droit D d équatio y st asymptot à C Corrctio a Fau : f Epotill rcics corrigés A TOUATI touatiami@yahoofr f '( ) ( ) b Vrai : lim l( ) car lim t l= c Vrai : D après a f doc f st strictmt décroissat t d après b) f td vrs doc f < sur t l équatio a pas d solutio réll das I, d Fau : lim lim car lim = lim l( ) lim l ( ) lim l( ) doc lim l( ) lim l( ) t pour fiir lim f( ) Coclusio : la droit D d équatio y=+ st pas asymptot à f() mais la droit d équatio y st asymptot à f() 4 Fsic, rcic 6 Pour tout rél m, o cosidèr l équatio (E m) : m a L uiqu valur d m pour laqull = st solutio d l équatio (E m) st m = b Pour tout valur d m, l équatio (E m) admt au mois u solutio c Si <m<, l équatio (E m) a du solutios positivs d Si m>, l équatio (E m) a u uiqu solutio Corrctio a Fau : Si = alors l équatio (E m) s écrit m soit m b Fau : Posos X, o a alors l équatio X X m où 4 4m m O obtit au mois u solutio pour m tlls qu X m t X m Si m< il y a pas d solutio c Fau : X st évidmmt positiv Etudios l sig d X : m m m Doc pour m il y a du solutios X t t m l l soit X positivs t o obtit m l l soit d Vrai : Si m>, m doc X a pas d solutios t m par coséqut l m 5 Fsic, rcic 4 ² Soit f la foctio défii sur ] ; [ par : f( ) Répodr par vrai ou fau justifiat sa répos A lim f( ) t g défii par : g() = 3 B la droit d équatio y = st u asymptot à la courb rpréstativ d f quad f td vrs C La foctio dérivé d f t la foctio g ot l mêm sig D La foctio f attit u miimum pour = Corrctio A : FAUX ² lim f( ) lim lim car lim t lim (théorèm) B : VRAI

3 La répos st das la qustio précédt ; comm lim f( ), par défiitio, la droit d équatio y = st asymptot à la courb C : VRAI ² f( ) ; f st dérivabl sur * 3 f '( ) g( ) ² ² ² Das la msur où o compar f t g sur l itrsctio d lur domai d défiitio ( foctios ot l mêm sig D : FAUX La foctio f s aul pas, ll admt doc pas d miimum pour = Rmarqu : f() =, la courb coup doc l asymptot, mais aussi 6 Baqu 4 L pla st rapporté à u rpèr orthoormal O ; i, j *+), ls du Soit f la foctio défii sur par : f( ),,, 6 Fair apparaîtr sur l écra d la calculatric graphiqu la courb rpréstativ d ctt foctio das la fêtr [ 5 ; 4] [ 4 ; 4] Rproduir l allur d la courb obtu sur la copi D après ctt rpréstatio graphiqu, qu pourrait-o cojcturr : a Sur ls variatios d la foctio f? b Sur l ombr d solutios d l équatio f() =? 3 O s propos maitat d étudir la foctio f a Résoudr das l iéquatio, +, > (o pourra posr X pour résoudr) b Etudir ls variatios d la foctio f c Déduir d ctt étud l ombr d solutios d l équatio f() = 4 O vut rpréstr, sur l écra d u calculatric, la courb rpréstativ d la foctio f sur l itrvall [,5 ;,5], d faço à visualisr ls résultats d la qustio 3 Qulls valurs trêms d l ordoé y put-o choisir pour la fêtr d la calculatric? Corrctio a f smbl croissat b L équatio f() = smbl avoir u sul solutio 3 a, +, > do X,X, ; chrchos ls racis :,,,, d où ls racis X,, X ; o put alors factorisr : X,X, ( X,)( X ) (,)( ) Epotill rcics corrigés 3 A TOUATI touatiami@yahoofr, 4, 4, (,) Ls solutios sot alors ] ;[ ], ; [ ] ;[ ], ; [ ] ; [ ]l(,) ; [ b f '( ),,,, L sig d f st clui calculé précédmmt c f(),,, 6, 5,, 6 ;

4 l(,) l(,) f(l(,)),,l(,), 6, 588 Comm f(l(,)) <, f s aul puis u scod fois pour u valur d supériur à l(,) Il y a doc du solutios 4 Il suffit d prdr y mi < f(l(,)) t y ma > comm ci-dssous Par mpl [, ;,] covit très bi, y,5,,5 -, -,5,5,,5, -,5 -, -,5 -, 7 Epo + air, Amériqu du Nord 5 5 poits Soit f la foctio défii sur l itrvall [ ; [ par f Sa courb rpréstativ C st tracé das l rpèr orthoormal ci-dssous (uité graphiqu cm) a Étudir la limit d f b Motrr qu la droit d équatio y = st asymptot à C c Étudir la positio rlativ d C t a Calculr ' f tmotrr qu f ' b E déduir qu, pour tout rél strictmt positif, f ' c Précisr la valur d f ', puis établir l tablau d variatios d f 3 À l aid d u itégratio par partis, calculr l air, primé cm, du domai pla limité par la courb C, la droit t ls droits d équatios = t = 3 4 a Détrmir l poit A d C où la tagt à C st parallèl à b Calculr la distac, primé cm, du poit A à la droit 4 y Epotill rcics corrigés 4 A TOUATI touatiami@yahoofr

5 Corrctio a E, td vrs t td vrs car a pour limit b td vrs ; f f( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) : avc ls croissacs comparés, mmè tout l mod vrs, la droit d équatio y = st bi asymptot à C c Sig d f( ) ( ) ( ) : lorsqu c st positif, doc C st au-dssus d ; lorsqu c st égatif, doc C st dssous d f '( ) ( )' ( ) ' ( ) d où 3 a f '( ) ( ) b Comm st positif, t positiv c f '() ( ) doc f st f f + Comm il faut calculr 3 ( ) d : o pos u u ' v ' v ( ) d ( ) d 3 Comm l uité d air st d cm cm, soit 4 cm, o a doc d où 3 3 4,87 cm 3 a La tagt à C st parallèl à lorsqu f '( ) : mêms cofficits dircturs ; o a doc f '( ) ( ) L poit A a pour coordoés t f() ( ) b La distac du poit A à la droit a by c st y d où otr distac st ( ) ( ) a by c A a A b, soit cm : 5 5 ; ici a pour équatio cartési 8 Basiqu, N Calédoi, ov 4 5 poits O cosidèr la foctio f défii sur par f( ) O ot (C) sa courb rpréstativ das l pla rapporté au rpèr orthogoal ( O ; i, j ), l uité graphiqu st cm sur l a ds abscisss t 5 cm sur l a ds ordoés Parti A Soit g la foctio défii sur par g( ) Etudir ls variatios d la foctio g sur E déduir l sig d g Justifir qu pour tout, Parti B a Calculr ls limits d la foctio f t b Itrprétr graphiqumt ls résultats obtus a Calculr f '( ), f désigat la foctio dérivé d f b Etudir l ss d variatio d f puis drssr so tablau d variatio 3 a Détrmir u équatio d la tagt (T) à la courb (C) au poit d absciss b A l aid d la parti A, étudir la positio d la courb (C) par rapport à la droit (T) 4 Tracr la droit (T), ls asymptots t la courb (C) Corrctio Parti A g'( ) st positiv lorsqu ; g() : comm g st décroissat avat t croissat après, g st toujours positiv Comm g ( ), o a (cci motr qu f st défii sur ) Parti B Epotill rcics corrigés 5 A TOUATI touatiami@yahoofr

6 a lim f( ) lim lim ; lim f( ) lim lim b O a u asymptot horizotal : y t u autr : y ( ) ( ) ( ) a f '( ) ( ) ( ) ( ) b f st du sig d f + f 3 a y f() f '()( ) y ( ) g( ) b f( ) Comm g st positiv, aisi qu, f( ) st du sig d, soit positif avat (C st au-dssus d T), égatif après (C st dssous d T) 4 9 Basiqus Ercic Soit f t g ls foctios défiis d ] ; +[ das par : f( ) t g( ) 5 a Démotrr qu f( ) b Factorisr g() c Détrmir l sig d la dérivé d f Corrctio Epotill rcics corrigés 6 A TOUATI touatiami@yahoofr

7 a f( ) ( ) f( ) ; ( ) b g( ) 5, X, 5² ², g( ) ( )( ) X 5 3 X, 4 X, c f( ), ( ) ( ) 5 g ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st doc du sig d g() t f st doc égativ tr l t l, positiv aillurs Ercic Démotrr qu qul qu soit l rél o a : l( ) l( ) Corrctio l( ) l( ) l ( ) Ercic 3 Résoudr ls systèms : y l l y l a b y y Corrctio y , 8, 3, y y y, S = {(3 ;)} y l l y l 4 l y l 4 y y, soit 6 y y Soit à résoudr l équatio : X² SX + P =, X² X ( X )² X y Or, bi évidmmt, ls valurs égativs sot clus car l st pas défii sur doc S = U foctio O cosidèr la foctio g défii sur par g( ) ( ) Soit C la rpréstatio graphiqu d la foctio g das l rpèr orthoormal (O ; i, j ), uité graphiqu cm Calculr la dérivé g d g Motrr qu g () st du sig d ( ) E déduir ls variatios d g Motrr qu : a lim g ( ) b lim g ( ) t précisr l'asymptot à C corrspodat 3 Tracr la courb C das l rpèr (O ; i, j ) O placra particulir ls poits d la courb d'abscisss rspctivs ; ; ; t 3 4 a Par u lctur graphiqu, idiqur, suivat ls valurs du ombr rél, l ombr d solutios d l'équatio g() = b Prouvr rigourusmt qu l'équatio g() = admt u solutio t u sul Prouvr qu appartit à l'itrvall [ ; ] c Motrr qu vérifi la rlatio Corrctio g( ) ( ) a g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) X lim g( ) lim lim X Epotill rcics corrigés 7 A TOUATI touatiami@yahoofr

8 b X lim g( ) lim lim X C a u asymptot horizotal + 4 a Si <, pas d solutios ; si =, u sul solutio : =, si < < 4/, 3 solutios, si = 4/ : du solutios dot =, fi si > 4/, u sul solutio b Si >, f() st toujours ifériur ou égal à 4/ (<), doc f() = a pas d solutio sur [ ; + [ Lorsqu <, f st cotiu mooto strictmt croissat d ] ; [ vrs ] ; + [ Comm st das ct itrvall, il ist u sul valur d pour laqull f() = Claculos f( )=7,39 t f( )= ; comm < < 7,39 o a < < c Nous savos qu choisit la raci égativ, soit U rcic stadard f( ) ( ) ( ) Soit f la famill d foctios défiis sur [, [ par c Prouvr qu f( ) ( ) d O prd = : motrr qu l poit d coordoés ; f( ) appartit à u parabol Q dot o dora l équatio Tracr das l mêm rpèr T, P, Q t C Corrctio Epotill rcics corrigés 8 A TOUATI touatiami@yahoofr f( ) ; comm < o où st u rél strictmt positif qulcoqu t g la famill d foctios égalmt défiis sur [, [ par g ( ) O ot C la courb rpréstativ d f das l rpèr orthoormal O ; i, j, uité graphiqu : cm Ss d variatio d g a Calculr la dérivé g d g ; vérifir qu g ( ) st toujours strictmt positif b Calculr la limit d g ( ) quad td vrs + c Déduir d c qui précèd l istc t l'uicité d'u ombr rél tl qu g( ) Dor u valur approché à près d t d d Étudir l sig d g ( ) sur [, +[ Motrr qu f ( ) g( ) ; déduir l ss d variatio d f Comportmt asymptotiqu d f + a Détrmir la limit d f ( ) + b Détrmir l sig d f ( ) t sa limit + Itrprétr graphiqumt c résultat ; o ot P la courb d'équatio y 3 Costructio d f a Drssr l tablau d variatio d f Précisr l sig d f b Précisr l équatio d la tagt T à C au poit d absciss

9 f( ), g ( ) Ss d variatio d g a g ( ) st toujours > puisqu b Comm c O a l st aisi qu td vrs la foctio g ( ) s comport comm t td doc vrs g () qui st égatif t lim g ( ) qui st positif ; comm g st cotiu, mooto strictmt croissat ll s aul u sul fois Calculos ds valurs approchés d, solutio d : o a,35,35 g () g (),357775,6E 5,33579,5888,358346,6696,48848,4454 D mêm o obtit la solutio d 4 :,3,5 d Comm g st croissat, o a g ( ) g ( ) t g ( ) g ( ) Il st immédiat qu f( ) g( ) ; f st doc décroissat avat t croissat après Comportmt asymptotiqu d f + a Là cor td vrs doc f s comport comm b Comm f ( ), ctt prssio st positiv t td vrs à lifii La courb P st doc asymptot d C t C st au dssus d P 3 Costructio d f a Comm st positif aisi qu, f ( ) st positiv b O a f() t f () d où la tagt : y c g ( ) doc f f( ) doc ; f( ) d = : d équatio y ( ) ( ) appartit à la parabol t td doc vrs f + f + f ( ) Vous pouvz chagr la valur d t voir égalmt c qu fait f lorsqu st égatif Epotill rcics corrigés 9 A TOUATI touatiami@yahoofr

10 U suit d foctios Pour tout rél strictmt positif, o cosidèr la foctio ( ) l f Soit C la courb rpréstativ d (uités : 5 cm sur l a ds abscisss, cm sur clui ds ordoés) Etud prélimiair O cosidèr la foctio g défii sur ; par g( ) l( ) Etudir l ss d variatio d g E déduir qu, pour tout rél a positif ou ul, l( a) a Parti A : étud d f Calculr f ( ) t déduir l ss d variatio d f Motrr qu, pour tout d ;, f ( ) l 3 Drssr l tablau d variatio d f Parti B : étud t propriétés d f Calculr f ( ) t déduir l ss d variatio d f Epotill rcics corrigés A TOUATI touatiami@yahoofr f défii sur ; par f das u rpèr orthogoal ( O ; i, j ) Motrr qu, pour tout d ;, f( ) l E déduir la limit d f 3 a Drssr l tablau d variatio d f b Motrr qu, pour tout rél d [, [, o a f( ) 4 Détrmir u équatio d la tagt (T ) au poit d absciss d C 5 Soit p t m du réls strictmt positifs tls qu p < m Etudir la positio rlativ d C p t C m 6 Tracr ls courbs C t C aisi qu lurs tagts Parti C : majoratio d u itégral Soit u rél strictmt positif, o ot A( ) l air, uités d air, du domai délimité par l a ds abscisss, la courb C t ls droits = t Sas calculr A( ), motrr qu A( ) d Calculr, à l aid d u itégratio par partis, l itégral d 3 O admt qu A( ) admt u limit Motrr qu lim A( ) Itrprétr graphiqumt c résultat Corrctio Etud prélimiair g( ) l( ) sur [ ; [ : g'( ) doc g st décroissat Comm g() l t qu g st décroissat, o a g ( ), soit l( ) Parti A : étud d f ( ) l( ) f ( ) ; l déomiatur st positif, l umératur st positif lorsqu Doc f st croissat sur [ ; ], décroissat sur [ ; [ Comm l( ), o a f ( ) l( ) l l l Lorsqu td vrs td vrs (croissacs comparés) doc f td vrs l = Parti B : Propriétés ds foctios f ( ) + f( ) ; comm st strictmt positif, f a l f + mêm ss d variatio qu f Avc l mêm calcul qu précédmmt f( ) l qui td vrs l(+) lorsqu td vrs f 3 a Voir ci-cotr b Comm o l voit sur l T V o a

11 f( ) f() l( ) l( ) l l l ; utilisos l iégalité l( ) avc, o a l d où f( ) 4 E O, f() l t f() d où l équatio d la tagt : y ( ) 5 Calculos f ( ) ( ) l l l l m fp m p m p Ctt prssio st positiv lorsqu m p m p Doc das l cas prést C p st dssous d C m 6 A la fi Parti C Comm o doit calculr A( ) f( ) d l( ) d l d impossibl, o major f par l, chos à priori d où O itègr par partis avc u, u' t v', v, soit A( ) d d d d I( ) 3 La limit d I( ) st assz évidt : td vrs lorsqu td vrs, I( ) td doc vrs Par coséqut comm A( ) I( ), o a à la limit A( ) Sur la figur la courb la plus bass corrspod à =, la plus haut à = 3 l t p D après Paris, Bac C, 974 Soit f la foctio umériqu défii sur par : f( ) l( ) l symbol l désigat l logarithm épéri Motrr qu st strictmt positif pour tout rél Étudir ls variatios d la foctio f Soit (C) la courb rpréstativ, das u rpèr orthoormé, d la foctio f Précisr ls limits d f + t 3 Vérifir qu f( ) l( ) t motrr qu f() td vrs u limit lorsqu td vrs + E déduir l asymptot corrspodat d (C) 4 Costruir la courb (C) (o précisra la tagt au poit d (C) d'ordoé ull) 5 Détrmir, utilisat la courb (C), l ombr d solutios rélls d l'équatio d'icou : Epotill rcics corrigés A TOUATI touatiami@yahoofr

12 a par l calcul, b utilisat la courb (C) Corrctio X X posat 7 8 X O a alors 3 doc l triôms st positif aisi qu ( ) f '( ) doc f st du sig d C trm st positif lorsqu l l 3 l l Par aillurs f( l ) l l l 4 4 E c st facil car t tdt vrs O a doc f qui td vrs l= E s comport comm t td doc vrs 3 f( ) l( ) l( ) l l[( ) ] l( ) Ls trms t tdt vrs à l ifii, doc f( ) td vrs l= La droit y st doc asymptot d (C) 4 La tagt st ( y ) Figur à la fi 7 5 L équatio st équivalt à f( ) l(7 / 8) Comm , o a l l, il y a doc du solutios 7 Par l calcul o pos X, c qui do l équatio X X X X, 8 8 d où ls racis X l X l t l + f + f l(3/4) 4 Rchrch d foctio Sur la fuill ci-joit, figurt la courb rpréstativ (C) das l rpèr orthoormé ( O ; i, j ) d'u foctio f défii t dérivabl sur aisi qu so asymptot (D) t sa tagt (T) au poit d'absciss O O sait qu l poit J( ; ) st l ctr d symétri d la courb (C), qu l'asymptot (D) pass par ls poits K( ; ) t J t qu la tagt (T) a pour équatio y = ( ) + Détrmir u équatio d (D) O suppos qu'il ist du réls m t p t u foctio défii sur tll qu, pour tout rél, f() = m + p + () avc lim ( ) a Démotrr qu m = p = Epotill rcics corrigés A TOUATI touatiami@yahoofr

13 b E utilisat l poit J, motrr qu, pour tout rél, o a f() + f( ) = c E déduir, après avoir primé f() t f( ), qu la foctio st impair d Déduir d la qustio b qu f ', dérivé d f, st pair 3 O suppos maitat qu, pour tout rél, ( ) ( a b) où a t b sot ds réls a E utilisat la parité d, démotrr qu b = b Calculr f '() c E utilisat l cofficit dirctur d (T), démotrr qu a = d Démotrr qu f( ) Corrctio La droit (D) pass par ls poits J( ; ) t K( ; ), u équatio st doc y = + a lim ( ) lim f( ) ( m p), c'st-à-dir qu la droit d'équatio y = m + p st asymptot à la courb, c'st la droit (D) Doc m = p = b L poit J st ctr d symétri d la courb, o a doc la rlatio : f( J + ) y J = y J f( J ), ou cor : f( J ) f( J ) y E rmplaçat par ls coordoés d J, o obtit : f( + ) = f( ) ou cor f() + f( ) = J f( + ) y f( -) W c f() = + + (), f( ) = + + ( ) doc f() + f( ) = + () + ( ) Or, o sait qu f() + f( ) =, o déduit qu () + ( ) =, ou cor qu () = ( ), c'st-à-dir qu la foctio st impair d f() + f( ) =, doc, dérivat chaqu trm : f '() f '( ) =, soit f '() = f '( ) Coclusio f ' st pair Atttio, la dérivé d f( ) st f '( ) (dérivatio ds foctios composés) a ( ) ( a b) ( ) ( a b) ; comm st impair, o a a + b = a + b, soit b = b f( ) ( ) a f ( ) ( ) a ( a)( ) a( ) c L cofficit dirctur d la tagt au poit d'absciss, soit J, st f '() = ( ) (équatio d (T)) O a doc l'égalité : f '() a a d Il rst à coclur : f( ) a Epotill rcics corrigés 3 A TOUATI touatiami@yahoofr

14 5 Etud d foctio hyprboliqu Soit f l applicatio d ; das défii par Parti A g( ) 5 Motrr qu, pour tout d ;, o a Motrr qu pour tout d ; o a défii par 3 Résoudr l équatio g() = puis factorisr g() Parti B : Etud d f Calculr ls limits d f t f( ), t g l applicatio d das f( ) f( ) a Motrr qu la droit (D) d équatio y st asymptot à la courb (C) rpréstativ d f b Etudir la positio d (C) par rapport à (D) 3 Motrr qu la foctio dérivé d f st du sig d la foctio g d la parti A t drssr l tablau d variatio d f 4 Répréstr (C) t ss asymptots das u rpèr orthoormal (uité graphiqu : cm) 5 a Etudir graphiqumt suivat ls valurs du ombr rél m, l itrsctio d (C) t d la droit (D m) d équatio y = + m b Démotrr par l calcul cs résultats (o pourra utilisr l A) Parti C : Calcul d air u'( ) E rcoaissat la form, détrmir ls primitivs sur u ( ) ; d la foctio E déduir, utilisat A, ls primitivs sur ; d f( ) ( ) 3 Calculr l air du domai pla limité par (C), (D) t ls droits d équatio = l t = l 4 Corrctio Parti A : Il suffit d «partir d l prssio d droit» das chaqu cas, ls résultats sot immédiats Parti B : Pour >, doc lim ; comm lim o déduit qu lim t comm td vrs, f td vrs + E umératur t déomiatur sot équivalts à quotit td vrs t f td vrs s comportat comm a f( ) td évidmmt vrs à l ifii doc asymptot doc l b doc ( C ) st au-dssus d (D) 3 f st la somm d du foctios dérivabls t st doc dérivabl O dériv à partir d f( ) : ( ) 4 3 g ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f st doc du sig d ( )( ), or l t l / l l f + f f(l) 4 ( C ) admt du asymptots : la droit d équatio (=) t la droit ( D ) Epotill rcics corrigés 4 A TOUATI touatiami@yahoofr

15 a m rprést l ordoé à l origi d la droit, cs droits sot touts parallèls Si m, la droit (D m) st parallèl à (D) t situé sous (D) doc ll coup pas ( C ) ; si Epotill rcics corrigés 5 A TOUATI touatiami@yahoofr m o voit qu (D) coup pas ( C ), c st l asymptot ; si m, il smbl qu la droit (D m) coup ( C ) u sul poit m b M(, y) ( Dm) ( C) m m m m Doc il faut m m ; ; m t comm doit êtr positif : m m m m l m m m m Parti C l d K car f( ) f( ) d l( ) K ' 3 Comm (C) st au-dssus d (D), l air chrché vaut l 4 l 4 f( ) d l( ) l 3 l 4 l l l 3 l l l 6 U itégral pu gagat O cosidèr la foctio umériqu f défii sur [ ; [ par f( ) p O ot C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormé ( O ; i, j ) du pla Pour tout rél, o cosidèr ls itégrals J( ) d t K( ) p d L but d l rcic st d étudir, sas chrchr à la calculr, l itégral K( ) a Détrmir la limit d f Itrprétr graphiqumt l résultat b Motrr qu la dérivé d f put s écrir f '( ) p E déduir l ss d variatio d f c Dor l allur d la courb C a Itrprétr géométriqumt l ombr K( ) b Soit, motrr qu p K( ) p c E déduir qu K( ) 3 a Calculr J( ) b Démotrr qu pour tout rél, p l() K( ) p l() 4 Démostratio d cours Démotrr l théorèm suivat :

16 Soit u, v t w ds foctios défiis sur [ ; [ tlls qu pour tout rél, u( ) v( ) w( ) S il ist u rél l tl qu lim u( ) l t lim w( ) l alors lim v( ) l 5 Déduir d c qui précèd la limit d K( ) lorsqu td vrs Corrctio [ ; [, f( ) p, J( ) d t K( ) p d a E / td vrs doc f td vrs = L a horizotal st u asymptot d (C) b f( ) p p p p Comm st supériur à, f st toujours égativ t f st décroissat c a K( ) p d corrspod à l air compris tr la courb (C) l a (O) t ls droits,,, f st décroissat t o a b Sur l itrvall f( ) p f( ) f( ) p p d K( ) p d Or o a Itégros ctt iégalité : p d p p, p d p p d où p K( ) p c Comm, p() p ( ) p K p(), soit K( ) 3 a J d ( ) l l l l l Epotill rcics corrigés 6 A TOUATI touatiami@yahoofr

17 b Comm o a, o a p p p, soit multipliat par / : p p p puis itégrat : l (l )p K( ) (l )p l 4 Démostratio d cours : il faut s attdr à tout avc ls méchats profssurs d maths 5 Lorsqu td vrs, p t p tdt vrs = La limit st doc l 7 Tagt hyprboliqu Das tout l problèm O ; i, j st u rpèr orthoormé du pla P O ot f la foctio défii sur par f( ) O appll C la courb rpréstativ d f das l rpèr O ; i, j Parti A Etud d f: a Calculr ls limits d f t Justifir vos calculs b Précisr ls équatios ds asymptots Dor l prssio d f () où f st la dérivé d f Drssr l tablau d variatio d f Précisr f() 3 Détrmir u équatio d la tagt à C au poit d absciss = ; o ot T ctt tagt 4 Courb : a Soit u rél qulcoqu Calculr f()+f( ) b Qull propriété d symétri put o déduir d la qustio précédt? c Tracr C, ss asymptots t la tagt T Parti B a Soit u( ) Calculr u () b E déduir la primitiv F d f qui prd la valur l = a O pos A f( ) d Calculr A b Détrmir l rél c tl qu A=lc 3 Pour tout tir aturl o ul o pos a Eprimr v foctio d b Calculr lim v v f( ) d Corrctio Parti A a Rmarquos d suit qu f( ) doc la limit st t la limit st b Ls asymptots sot y = t y = ( )' f '( ) ( ) ( qui st évidmmt strictmt égativ f() ) 3 y f '()( ) f() 4 4 a f( ) f( ) ( )( ) b L poit d coordoés ; st u ctr d symétri d C c Epotill rcics corrigés 7 A TOUATI touatiami@yahoofr

18 Parti B a u( ) u'( ) b O rmarqu qu f( ) E, o a F() l l K K u' doc ls primitivs d f sot d la form u F( ) l u K l K a & b A f d ( ) l l l l l v f( ) d l l l l l A 3 O pouvait s attdr au résultat car 8 Tagt hyprboliqu t primitivs A U foctio Soit f la foctio défii sur par : f( ) 4 f d ( ) f ( ) d O désig par C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormal ( O ; i, j ) (uité graphiqu : cm) Détrmir ls limits d f t E déduir ls droits asymptots à C Etudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatios 3 Démotrr qu l poit d'itrsctio A d C t d l'a ds ordoés st ctr d symétri pour C 4 Dor u équatio d la tagt à C A 5 Tracr sur u mêm graphiqu : C, sa tagt au poit A, t ss droits asymptots B Sa dérivé O cosidèr la foctio f ', dérivé d f O ot C sa courb das ( O ; i, j ) E utilisat l fait qu C admt l poit A comm ctr d symétri, justifir qu f ' st u foctio pair Détrmir ls limits d f ' t E déduir ls droits asymptots à C 3 Motrr qu f ''( ) 4 ; étudir ls variatios d f' t drssr so tablau d variatios ( ) 3 4 Tracr C sur l mêm graphiqu qu C 5 Justifir la positio d C par rapport à C C U d ss primitivs a Justifir qu f admt ds primitivs sur b Soit F, la primitiv d f sur qui s'aul pour =, t soit sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormal ( O ; u, v ) (uité graphiqu : cm) Qul st l ss d variatio d F? Eplicitr F(), pour tout rél 3 a Détrmir ls limits d F t E déduir u propriété d la courb 3 b Démotrr qu la droit d'équatio y = 4 4 l st asymptot à Epotill rcics corrigés 8 A TOUATI touatiami@yahoofr

19 4 Résumr ls résultats précédts das u tablau d variatios 5 Tracr t ss asymptots sur u autr fuill d papir millimétré Corrctio A La foctio f, lim, lim f( ) 4, lim lim f( ) La courb C admt doc du asymptots horizotals : la droit d'équatio y = 4 t la droit d'équatio y = st défii t dérivabl sur ; st défii t dérivabl sur t st jamais ull ( ) Doc f st dérivabl sur, t f '( ) 4 4 : f'() > pour tout rél, doc f st strictmt croissat sur Tablau d variatios d f : f'() + f() 4 3 A = t y A = f() = : pour motrr qu l poit A st ctr d symétri d C, motros qu, pour tout rél, * A D f t A + D f : vrai car D f = R * f( A ) + f( A +) = y A ( ) ( ) f( ) f( ) CQFD ( )( ) 4 f'() = : l'équatio d la tagt à C A st doc : y = ( ) soit : y = + B Sa dérivé f' st défii sur D plus, o sait qu pour tout rél, f( ) + f() = 4, soit dérivat : f '( ) f '( ) f '( ) f '( ) : f' st u foctio pair f '( ) 4 4 ( ) doc lim f '( ) u asymptot horizotal, d'équatio y =, t ( ) 3 f '''( ) ( ) 3, f''() st du sig d : Tablau d variatios d f' : ; d plus, lim f '( ) : C admt doc f ''( ) 4 ( ) 3 f''() + f'() 5 Il smbl qu C s trouv au-dssus d C Pour l motrr, étudios l sig d f() f'() : ( ) f( ) f '( ) ; f() f'() > doc C st au- ( ) dssus d C C U d ss primitivs a f st dérivabl sur, doc ll admt u ifiité d primitivs b Soit F u primitiv d f sur f st sa dérivé, t f() > pour tout rél doc F st u foctio strictmt croissat sur Epotill rcics corrigés 9 A TOUATI touatiami@yahoofr

20 '( ) O rcoaît das l'écritur d f() l modèl : f() = 4 u, avc u() = + u ( ) Ls primitivs F d f sur sot doc d la form : + > doc F( ) 4l K, K F( ) 4l K, K Or, pour tout rél, D plus, F() = doc : 4 l () + K = ; c'st à dir K = 4l Il vit doc : F() = 4l( + ) 4l 3a lim F( ) ; lim F( ) 4l admt doc u asymptot horizotal, d'équatio y = 4 l, 3b Etud d l'asymptot obliqu : lim ( F( ) (4 4 l )) lim (4 l( ) 4 l 4 4 l ) lim (4 l( ( )) 4 ) lim (4 4 l( ) 4 ) lim (4 l( )) admt doc u asymptot obliqu, d'équatio y = 4 4 l, + 4 Tablau d variatios d F : Graphiqus f() + F() 4 l Y Asymptot horizotal : y = 4 Y = f () X A Asymptot horizotal : y = O Y = f () X Y Y = F () Asymptot obliqu : y = 4-4l O X Asymptot horizotal : y = - 4l Epotill rcics corrigés A TOUATI touatiami@yahoofr

21 9 Atills 9/8 7 poits Soit f la foctio défii sur par : 4 f 3 O désig par C sa courb rpréstativ das l pla rapporté à u rpèr orthoormal ( O ; i, j ) d uité graphiqu cm a Détrmir la limit d f b Démotrr qu la droit D d équatio y = + st asymptot à la courb C c Étudir la positio d C par rapport à D f t motrr qu, pour tout rél, o a : a O ot f la foctio dérivé d f Calculr f ' 3 3 b Étudir ls variatios d f sur t drssr l tablau d variatios d la foctio f 3 a Qu put-o dir d la tagt D à la courb C au poit I d absciss l3? b E utilisat ls variatios d la foctio f, étudir la positio d la courb C par rapport à D 4 a Motrr qu la tagt D 3 à la courb C au poit d absciss a pour équatio y 4 ; l 3 O pourra b Étudir la positio d la courb C par rapport à la tagt D 3 sur l itrvall utilisr la dérivé scod d f oté 3 3 f '' défii pour tout d par : f '' 3 5 O admt qu l poit I st ctr d symétri d la courb C Tracr la courb C, ls tagts D, D 3 t ls asymptots à la courb C O rappll qu l uité graphiqu choisi st cm 6 a Détrmir u primitiv d la foctio g défii sur par : g 3 b Soit u rél strictmt égatif O ot A l air, uités d air, du domai limité par D, C t ls droits d équatios t = Motrr qu A 4l 4 4l 3 c Calculr lim A Corrctio 4 f 3 4 a lim f 3 4 lim f lim 3 b 4 f ( ) 3 c a f car C st au-dssus d D ' b f st positiv sur, f st croissat f (Rmarqu : comm lim 4 lim lim lim 4, la droit y 4 st asymptot ) 3 3 f + f Epotill rcics corrigés A TOUATI touatiami@yahoofr

22 3 a D : f l 3 3 ' l 3 doc tagt horizotal l 3 3 b Comm f st croissat, C st -dssous d D lorsqu < l3 t au-dssus lorsqu > l3 4 a f ' 3 4, f 3, y f ' f g f g' f ' g'' f '' 4 4 b Posos Sur l itrvall ; l 3, f '' st <, d mêm qu g g st décroissat t vaut lorsqu = ; g st doc positiv avat, égativ après ; g st croissat avat, décroissat après ; comm g()=, g st toujours égativ doc C st dssous d D 3 5 l3 g g sig g + g sig g u' 6 a La dérivé d 3 st, g st d la form u, u primitiv d g st l 3 b A f d 4 d 4 l 3 4 l 3 4 l 3, soit 3 A 4l 4 4l 3 c A lim 4l 4 4l 3 4l 4 4l 3 ROC+foctio itégral, Am du Nord 7 7 poits Rstitutio orgaisé d coaissacs L objt d ctt qustio st d démotrr qu lim O supposra cous ls résultats suivats : Epotill rcics corrigés A TOUATI touatiami@yahoofr

23 * la foctio potill st dérivabl sur t st égal à sa foctio dérivé ; * ; * pour tout rél, o a ; * soit du foctios t défiis sur l itrvall A ; où A st u rél positif Si, pour tout d A ;, o a t si lim alors lim a O cosidèr la foctio g défii sur ; par g Motrr qu pour tout d b E déduir qu lim ;, g f O appll C sa courb 4 rpréstativ das u rpèr orthogoal ( O ; i, j ) La courb C st rprésté ci-dssous O appll f la foctio défii sur ; par a Motrr qu f st positiv sur ; b Détrmir la limit d f E déduir u coséquc graphiqu pour C c Etudir ls variatios d f puis drssr so tablau d variatios sur ; F f t dt 3 O cosidèr la foctio F défii sur ; par a Motrr qu F st u foctio croissat sur ; F b Motrr qu c Calculr la limit d F t drssr l tablau d variatios d F sur ; d Justifir l istc d u uiqu rél tl qu F, 5 A l aid d la calculatric, détrmir u valur approché d à près par cès 4 Soit u tir aturl o ul O ot A l air uités d air d la parti du pla situé tr l a ds abscisss, la courb C t ls droits d équatios t Détrmir l plus ptit tir aturl tl qu A, 5 Corrctio O umérot ls propriétés : () la foctio potill st dérivabl sur t st égal à sa foctio dérivé ; () ; (3) pour tout rél, o a ; Epotill rcics corrigés 3 A TOUATI touatiami@yahoofr

24 (4) soit du foctios t défiis sur l itrvall A ; où A st u rél positif Si, pour tout d A ;, o a t si lim alors lim a La dérivé d g st g' g (utilisatio d (3)), soit g t doc Epotill rcics corrigés 4 A TOUATI touatiami@yahoofr (utilisatio d ()) qui st positiv (utilisatio d ()) ; par aillurs g b O a doc ; comm td vrs, lim (utilisatio d (4)) f 4 a L potill st toujours positiv ; sur ;, il st d mêm d 4 doc f X b O pos X, lim f f lim X (croissacs comparés) La courb d f admt X l a (O) comm asymptot horizotal c f doc positiv avat, égativ après f 4 8 f ' + f 3 a F' f (cours ) qui st positiv sur ; comm l motr l tablau d variatio b Soit o itègr par partis, soit o dériv F vérifiat qu ; F f F 4 c Tous ls trms cotat tdt vrs doc F td vrs f + F d F st mooto strictmt croissat, cotiu sur ; ;, 5 dot l imag par F st,5 La calculatric do : f 3,35, 499 t 3,36 4 A F F F ; o a doc A, 5 lorsqu, soit pour 4 F, il ist doc u uiqu f 3,36, 5 ; o prd Equatio différtill, équatio foctioll t sius hyprboliqu, La Réuio, jui 4 6 poits O désig par f u foctio dérivabl sur t par f sa foctio dérivé Cs foctios vérifit ls propriétés suivats : () Pour tout ombr rél, f f '( ) ( ) () f '() (3) La foctio f st dérivabl sur O rappll qu la dérivé d u st u' u a Démotrr qu, pour tout ombr rél, f '( ) b Calculr f() E dérivat chaqu mmbr d l égalité d la propositio (), démotrr qu : (4) Pour tout ombr rél, f ''( ) f( ) où f '' désig la dérivé scod d la foctio f

25 3 O pos u f ' f t v f ' f a Calculr u() t v() b Démotrr qu u' u t v' v c E déduir ls foctios u t v d E déduir qu, pour tout rél, f( ) 4 a Etudir ls limits d la foctio f t b Drssr l tablau d variatio d la foctio f 5 a Soit m u ombr rél Démotrr qu l équatio f( ) m a u uiqu solutio das b Détrmir ctt solutio lorsqu m = 3 (o dora u valur approché décimal à près) Corrctio a f f s aulr '( ) ( ) : c ombr st toujours strictmt positif (à caus du ), il put f '( ) f '( ) b Comm f '(), rmplaçat par das (), o a Epotill rcics corrigés 5 A TOUATI touatiami@yahoofr ( f()) f() f ''( ) f '( ) f '( ) f( ) f ''( ) f '( ) f '( ) f( ) f ''( ) f( ) après simplificatio par f '( ) qui st pas ul 3 a u() f '() f(), v() f '() f() b u' f '' f ' f f ' u t v' f '' f ' f f ' v c u C ; avc u(), o a C = ; d mêm u f ' f d Au fial f f( ) v f ' f v C ; avc v() o a v 4 a lim f( ) lim ( ), lim f( ) lim ( ) b f '( ) f '() + f() 5 a Du possibilités : par lctur du TV, par l calcul Comm f st cotiu, mooto strictmt croissat d vrs, ll st bijctiv t l équatio f() = m a u uiqu solutio pour tout m Par l calcul : o pos X, c qui do X X m X mx : m 4m 4 m 4m 4 X m m, X m m O rvit à : o put avoir X 4m 4 d où il rst simplmt m m l m m b Avc la prmièr maièr o l fait à la calculatric t o trouv,8 La duièm méthod do l(3 ) Ep, équatio, suit réc, Am du Sud, jui 4 7 poits Soit la foctio f défii par f( ) sur [ ; [ O ot la courb rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthoormé ( O ; i, j ) (uité graphiqu : cm) Parti A a Détrmir la limit d f b Etudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatios c costruir a Motrr qu pour tout rél m d l itrvall ;, l équatio f( ) m admt du solutios

26 b Das l cas où m, o omm t ls solutios, (avc < ) Détrmir u cadrmt 4 d amplitud d c Résoudr l équatio f( ) m das l cas où m = t m Parti B u O cosidèr la suit ( u ) défii sur par où st l rél défii à la qustio A b u u u a Motrr par récurrc qu, pour tout tir aturl, u b Motrr qu la suit ( u ) st décroissat c La suit ( u ) st-ll covrgt? Si oui, détrmir sa limit O cosidèr la suit ( w ) défii sur par w l u a Motrr qu, pour tout tir aturl, o a u w w b O pos S u u u Motrr qu S w w c E déduir lim S 3 O cosidèr la suit ( v ) défii sur par so prmir trm v, v v v Eist-t-il u valur d v u v? Si oui, précisr laqull Corrctio Parti A a lim ( ) lim X f lim X X, t pour tout tir, par v différt d tll qu, pour tout tir, o ait b f '( ) ( ) L potill st positiv, f st du sig d c f + f Epotill rcics corrigés 6 A TOUATI touatiami@yahoofr

27 a La droit d équatio y m coup la courb du poits, l équatio f( ) m a doc bi du solutios Plus scitifiqumt, lorsqu m st das ;, il a du atécédts par f : u atécédt tr t car f st croissat t cotiu d ] ;[ vrs ;, l autr tr t car f st cotiu, mooto, décroissat d ] ; [ vrs ; b O chrch quad f() cadr /4 : f(,3573) =,499 t f(,3574) =,5 c f( ) a l uiqu solutio (tablau d variatio) t f( ) a pour uiqu solutio u Parti B u u u a Comm u t qu si u alors u, il st clair qu u pour tout u u u b O put fair u u u u u ( ) u u doc la suit ( u ) st décroissat c ( u ) st décroissat t mioré par, ll covrg doc Soit l sa limit, o a l l l l ; la sul possibilité st qu l l l w l u u a Pros l logarithm d u u l u l u l l u u w w u, soit u w w S u u u w w w w w w w w w w b c Comm u td vrs, w td vrs, doc S td vrs 3 E fait à partir d u o a u f( ) ; mais 4 rag ls du suits srot cofodus 3 Ep t air Soit la foctio f défii sur par f u u f( ), doc si l o prd v 4 u, à partir du O désig par C f la courb rpréstativ d f das u rpèr orthogoal ( ;, ) O i j ; ctt rpréstatio st fouri ci-dssous Epotill rcics corrigés 7 A TOUATI touatiami@yahoofr

28 Détrmir la limit d f t itrprétr graphiqumt c résultat a Détrmir la limit d f b Démotrr qu la droit (d) d équatio y = + st u asymptot pour C f c Étudir la positio d C f par rapport à (d) 3 Pour tout tir aturl, tl qu, o ot D l smbl ds poits M(, y) du pla, dot ls coordoés vérifit : t y f() t o appll A so air, primé uités d air a Fair apparaîtr D 5 sur la figur b Démotrr qu pour tout, tl qu, o a : 7 8 c O pos I d À l aid d u itégratio par partis, calculr I foctio d d Écrir u cadrmt d A foctio d I O admt qu A a u limit lorsqu td vrs Détrmir la limit d I lorsqu td vrs Qu put-o déduir pour la limit d A lorsqu td vrs? Dor u itrprétatio géométriqu d c drir résultat Corrctio E, o a / a E, td vrs, f td vrs d où f td vrs Asymptot horizotal y b f td vrs lorsqu td vrs (d) st u asymptot pour C f Epotill rcics corrigés 8 A TOUATI touatiami@yahoofr

29 c L sig d f st clui d, doc lorsqu st positif, C f st au dssus d (d), lorsqu st égatif C f st dssous d (d) 3 a C st la zo compris tr la courb, ls droits =, = 5 t y = b Comm, o a ; pour l iégalité d gauch, dvisos par : l 7 l Or, c st doc vrai c ( ) 3 I d d 7 7 A f d d d d d I A I 8 8 ( ) d O a Lorsqu td vrs, I td vrs 3 (croissacs comparés) Par coséqut la limit d A 7 st compris tr 3 8 t 3 Cci do u cadrmt d l air compris tr C f, = t y = 4 Caractéristiqu d Ep t tagts Das u rpèr orthoormal ( O ; i, j ) d uité cm tracr la courb rpréstativ (C) d la foctio potill ( ) sur l itrvall ; Tracr sur la mêm figur ls tagts à (C) au poits d abscisss, t 3 Chacu d cs tagts coup l a horizotal u poit d absciss,, 3 Msurr à la règl ls trois distacs i i, i =,, 3 Qu costatz-vous? (Ls trois loguurs msurés doivt apparaîtr clairmt sur l graphiqu) 3 Soit A u poit d (C) d absciss a Vérifiz qu l équatio d la tagt (T) A à (C) a pour a a y a Justifiz alors qu l résultat du st bi u costat qu l o précisra équatio par l calcul 4 O chrch désormais s il y aurait d autrs courbs préstat ctt propriété : soit u foctio f d courb rpréstativ (C), A u poit d (C) d absciss a, (T) la tagt A à (C) t a l absciss du poit d itrsctio tr (T) t (O) quad il ist O ot f la foctio dérivé d f a Dor l équatio d la tagt (T) b Eprimr a foctio d a, f a t ' c Soit u costat réll Motrr qu Corrctio f a E déduir a a' f a a a' Résoudr ctt équatio t coclur f a Ls trois loguurs msurés valt Epotill rcics corrigés 9 A TOUATI touatiami@yahoofr

30 a 3 f a, ' f a a a a a a ; y f ' a a f a a a a L poit d itrsctio tr (C) t (O) a pour absciss : d où la distac tr a t : a a a 4 a y f ' a a f a b L poit d itrsctio tr la tagt t (O) a pour absciss a : f a f a f ' a a' a f a a' a a a' f ' a f ' a c O a doc bi a a a a a f a a a' E fait il s agit simplmt d l équatio différtill f a dot ls solutios sot d la form f C Par mpl pour la situatio d départ o avait caractéris d aillurs ls foctios potills ( f a y' y ) t l écart msuré était bi d Cci Epotill rcics corrigés 3 A TOUATI touatiami@yahoofr