Modèles de systèmes vibrants à 1DDL (Rappels)

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1 Modèles de sysèes vibrans à 1DDL (Raels) x M M, I En ranslaion x En roaion M Pendulaire Paraérage Translaion Roaion Pendulaire Délaeen Longiudinal : x Angulaire : Angulaire : Inerie Masse : M Moen d inerie : I Masse : M Raideur Résisane Résisane à l allongeen : à la orsion : Pesaneur Aorisseen Froeens visqueux : Objeif : Déeriner la fore du ouveen de la sruure en fonion : - du es : x(), () - de la fréquene de l exiaion : x(w), (W) 1 Ériure de l équaion du ouveen à 1DDL éhodes Bilan des fores (PFD) : Fore d exiaion : Fore de rael élasique : Fore de froeen visqueux : (en ranslaion) Conservaion de l énergie : Énergie inéique : Énergie oenielle élasique : Puissane dissiée : Puissane exérieure : F x Pour un sysèe en roaion souis à un oule

2 Ériure de l équaion du ouveen à 1DDL F x ave Pulsaion rore ou naurelle Faeur d aorisseen 3 éas de vibraions des sruures Les libres (VL) Exiaion Pas de fore exérieure F() = libre Posiion e/ou viesse iniiales non nulles Les forées (VF) Réonse Vibraion naurelle de la sruure sans aorisseen : Mouveen haronique (= à fréquene onsane) à la fréquene naurelle (ou rore) ave aorisseen : Mouveen seudo haronique aori Exiaion Fore exérieure enreenue (= eranene) ou ransioire (= oure durée) F() forée Réonse Vibraion forée de la sruure Mouveen aordé à l exiaion : Aliude e hase selon le sere de l exiaion + Vibraion libre si x e/ou v 4

3 Soluions de l équaion du ouveen libres aories () Équaion du ouveen : x() x() x() x() x() x() Soluions de la fore : x() Xe Équaion araérisique : Raines : s s s s 1 : faeur d aorisseen 3 as d aorisseen selon 5 Mouveen libre d un sysèe aori aorisseen sur-riique : > 1 x() v < On ose : On obien : 1 x() X1e X e e A h( ) B sh( ) e x v x h( ) sh( ) e v > x ex(- ) 6

4 Mouveen libre d un sysèe aori ave aorisseen riique : = 1 x() On obien : v > x() x (1 ) v e v < x ex(- ) 7 libres ave aorisseen sous - riique : < 1 On ose : x() Pseudo ulsaion d 1 On obien : d x() X e os( ) x() T d = / d X ex(- ) L aliude e la hase son données ar les C.I. v x X x d v g x x 8 d

5 Déerinaion exérienale de l aorisseen en V.L. A uiliser en TP : libres ave aorisseen sous - riique : < 1 On esure axia suessifs X n e X n+1 x() X n X n+1 T d Xn x( ) X e e X Td n 1 x( T d) Xe x Déréen logarihique : ln x T 1 d d n1 n 4 T d En raique : On a une esure + réise de ave des axia séarés de T d : 1 X ln n Xn Pour les aorisseens faibles 9 forées haroniques F x Rael de l équaion du ouveen : x() x() x() F() Exiaion haronique (noaion olexe) : j F() Fos( ) FRe e Réonse oale = Réonse ransioire x () + Réonse eranene x () x () = Réonse en régie libre (voir + hau) x () = Mouveen arès disariion du ransioire Haronique de êe ulsaion que l exiaion Aliude X e Déhasage à déeriner 1

6 forées haroniques - sysèes non aoris F x L équaion du ouveen es : x() x() F os( ) (1) La réonse ransioire es la soluion générale (elle en V.L.) : x() Xos( ) La réonse eranene es la soluion ariulière de la fore : x() Xos( ) F En la subsiuan dans (1) on a l aliude : F X Le ouveen foré eranen s éri : F x() os e la soluion olèe (ransioire + eranen) : x() x () x () Rearque : Sans aorisseen, l exiaion e la réonse son en hase. 11 Réonse en fréquene - sysèes non aoris F x() os 1

7 forées haroniques - sysèes sous aoris x() F() x La réonse ransioire (elle en V.L.) : x() x() x() F os( ) F x() x() x() os( ) () d x () X e os( ) La soluion ariulière es de la fore : x() Xos( ) Par subsiuion dans () on obien le ouveen foré eranen : F 1 X( ) ( ) 4 La soluion olèe : x() x () x () x() X os( d ) e Xos ( ) Arg Réonse ransioire Réonse eranene 13 Réonse en fréquene - sysèes aoris F 1 X( ) ( ) 4 ( ) Arg =.5;.1;.5;.5;.75; 1 14

8 forées haroniques Réonse eranene On a : x() X( ) os( ) ave X F 1 ( ) Arg L aliude e la hase de x () déenden de la ulsaion de l exiaion Résonane : l alifiaion de la fore aliquée es axiu lorsque sa fréquene end vers la fréquene rore : X() axiu A la résonane la hase varie de 15 Exeles de réonses eorelles ransioire + eranen x() X os( )e d F os ( ) 16

9 Mesure de l aorisseen X/X s Déerinaion exérienale de l aorisseen à arir de la réonse en fréquene A uiliser en TP Méhode de la bande assane à -3dB Valide lorsque << 1 o d Exiaion T ériodique - Réonse Lorsque l exiaion F() es ériodique, on onre ( Dv en série de Fourier) qu elle eu s érire oe une soe de fonions haroniques F n () F() F os n n n n Ave X n e Si T es la ériode de F() e = /T, les haroniques F n on our ulsaion n Chaque haronique rodui sa rore réonse x n (): n n g (n ) n F n n 4 n n x() X osn n n n n Finaleen le rinie de suerosiion donne la réonse oale: x() x () X os n n n n n n n 18

10 Réonse à une exiaion qq : Méhode ar Lalae (1/3) Transforée de Lalae s f() F(s) f()e d Proriéés uiles : Linéarié 11 f () f () 1F 1(s) F (s) Transforée des dérivées f() sf(s) f() f() s F(s) sf() f() Proriéés de déalage f( ) F(s)e s s e f() F(ss ) Transforées usuelles () 1 n s e sin s os s sinh s osh s n! s s s s s s s s s s s s s s 19 n1 Réonse à une exiaion qq : Méhode ar Lalae (/3) x() x() x() F() x() F() x Lorsque F() es une fore qq, non exriable en obinaison linéaire de fonions haroniques, il eu êre lus sile de asser dans l esae olexe de Lalae où les aluls son lus dires. On oene ar ransforer haque ere de l équaion du ouveen F() F(s); x() X(s); x() sx(s) x ; x() s X(s) sx v L équaion du ouveen s éri alors dans le doaine olexe s s X(s) (s )x v F(s) s s X(s) (s )x v F(s)

11 Réonse à une exiaion qq : Méhode ar Lalae (3/3) On en dédui la ransforée de la réonse herhée : X(s) F(s) 1 (s )x v s s s s Réonse eranene X (s) Réonse ransioire X (s) Soien s 1 e s les raines du dénoinaeur : s s X(s) F(s) 1 (s )x v ss1ss ss1ss Réonseeranene X (s) Réonse ransioire X (s) Les deux eres se déoosen faileen en éléens siles. On en dédui l exression de la réonse oale x() ar ransforaion inverse (f. forulaire) X(s) x() 1 Exele : Réonse iulsionnelle On alique ee éhode au as d une fore iulsive : F() = Fo () Pour le as ou le sysèe es iobile iniialeen, on obien : X(s) Fo 1 s s s s 1 ave s 1 1, E on arrive à : Fo Fo o e sin( ) si 1 d o 1 x()..e si 1 Fo e sh( ) si 1 d o 1 = 1 g = 1 5 N/ Fo = 1 N