Problèmes de Mathématiques Matrices et carrés magiques

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1 Énoncé Dans tout le problème, n est un entier supérieur ou égal à 2. On désigne par M n (IR) l algèbre des matrices carrées d ordre n à coefficients réels. Pour tout A de M n (IR), on note a ij le coefficient de A en ligne i, colonne j. On note A = (a ij ). On note I n la matrice identité d ordre n On note J n la matrice de M n (IR) dont tous les coefficients valent 1. On note (E ij ) la base canonique de M n (IR) : pour tout couple (i, j) de {1,..., n} 2, E ij est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en position (i, j), qui vaut 1. Pour toute matrice A = (a ij ) et tous entiers i, j de {1,..., n}, on note : ϕ i (A) = n a ik, ψ j (A) = k=1 n a kj, tr(a) = k=1 n a ii, δ(a) = n a i,n+1 i ϕ i (A) est la somme des coefficients de la i-ème ligne de A. ψ j (A) est la somme des coefficients de la j-ème colonne de A. Ainsi : tr(a) est la somme des coefficients de la diagonale principale de A (la trace de A). δ(a) est la somme des coefficients de la diagonale non principale de A. On note P n l ensemble des matrices A de M n (IR) telles que (i, j) {1,..., n} 2, ϕ i (A) = ψ j (A). Pour toute matrice A de P n, on note σ(a) la valeur commune des quantités ϕ i (A) et ψ j (A). On note Q n le sous-ensemble de P n des matrices A qui vérifient en outre tr(a) = δ(a) = σ(a). Les matrices de P n sont dites semi-magiques ; celles de Q n sont dites magiques. On dit qu une matrice magique A de M n (IR) est un carré magique d ordre n si l ensemble des coefficients de A est égal à {1, 2,..., n 2 }. Par exemple : A = 3 5 7, B = sont des carrés magiques d ordres respectifs 3, 4, , C = Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

2 Énoncé Partie I 1. Question préliminaire Soit E un espace vectoriel de dimension finie n 1. Soit f 1, f 2,..., f p une famille de p formes linéaires indépendantes sur E, avec 1 p n. Soit H = {x E, f 1 (x) = f 2 (x) = = f p (x) = 0}. Montrer que H est un sous-espace vectoriel de dimension n p de E. Indication : compléter la famille f 1,..., f p en une base (f) du dual de E, puis introduire la base (e) de E dont (f) est la base duale. [ S ] 2. Montrer que ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n et ψ 1, ψ 2,..., ψ n sont des formes linéaires sur M n (IR). [ S ] 3. Montrer rapidement que les formes linéaires ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ψ 1, ψ 2,..., ψ n sont liées. [ S ] 4. Montrer que ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ψ 1, ψ 2,..., ψ n 1 sont libres. On utilisera les matrices E kn (avec 1 k n) puis les E nk (avec 1 k n 1). [ S ] 5. Dans cette question, on cherche la dimension de P n. Pour tout i de {1,..., n 1}, on pose Φ i = ϕ i ϕ n et Ψ i = ψ i ϕ n. (a) Montrer que les formes linéaires Φ 1,..., Φ n 1, Ψ 1,..., Ψ n 1 sont indépendantes. [ S ] (b) Montrer qu une matrice A de M n (IR) est dans P n on a les égalités : Φ 1 (A) = = Φ n 1 (A) = Ψ 1 (A) =... = Ψ n 1 (A) = 0. [ S ] (c) En déduire que P n est un sous-espace de dimension n 2 2n + 2 de M n (IR). [ S ] 6. Dans cette question, on cherche la dimension de Q n. On rappelle que l application A σ(a) est la forme linéaire définie sur P n par la restriction commune à P n de chacune des formes linéaires ϕ i et ψ j. (a) Identifier les matrices de P 2 et celle de Q 2. [ S ] (b) On suppose provisoirement que n est supérieur ou égal à 3. Soient f, g les formes linéaires sur P n définie par : A P n { f(a) = tr(a) σ(a) g(a) = δ(a) σ(a) Montrer que f et g sont indépendantes (indication : utiliser deux matrices A particulières de P n telles que σ(a) = 0.) [ S ] (c) Déduire de ce qui précéde que Q n est un sous-espace vectoriel de M n (IR), de dimension n 2 2n si n 3, et de dimension 1 si n = 2. [ S ] Page 2 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

3 Énoncé Partie II 1. Montrer que A M n (IR) est dans P n il existe λ IR tel que AJ n = J n A = λj n. Quelle est alors la signification de λ? [ S ] 2. Montrer que P n est une sous-algèbre de M n (IR). En est-il de même de Q n? [ S ] 3. Montrer que l application σ est un morphisme d algèbres de P n dans IR. [ S ] 4. Soit A une matrice de P n. (a) On suppose que A est inversible. Montrer alors que σ(a) est non nul, que A 1 est dans P n et que σ(a 1 ) = 1 σ(a). [ S ] (b) Réciproquement, on suppose seulement que σ(a) est non nul. Peut-on en conclure que A est inversible? [ S ] 5. Pour n = 3 et n = 4, trouver une matrice A de Q n dont le carré n est pas dans Q n. [ S ] Partie III Dans cette partie, on suppose que n est égal à Soit A = (a ij ) une matrice de Q n. On note α = a 22. (a) Montrer que σ(a) = 3α. [ S ] (b) Montrer que B = A αj 3 = (b ij ) est un élément de Q 3 tel que σ(b) = 0. [ S ] (c) On note β = b 11 et γ = b 31. Exprimer B en fonction α, β, γ. Montrer que l expression de A en fonction de α, β, γ est : β + α β + γ + α γ + α A = β γ + α α β + γ + α γ + α β γ + α β + α [ S ] (d) Réciproquement, vérifier que l expression précédente de A donne toutes les matrices de l espace vectoriel Q 3. Retrouver ainsi que Q 3 est de dimension 3 et en préciser une base. [ S ] 2. On reprend l expression générale de la matrice A de Q n vue dans la question (1c). (a) Montrer que A est à coefficients dans IN α, β, γ sont des entiers relatifs vérifiant les conditions β + γ α et β γ α. Montrer que A est à coefficients dans IN ces inégalités sont strictes. [ S ] (b) Montrer que ces deux conditions sur α, β, γ équivalent à dire que le point Ω(β, γ) du plan appartient (respectivement est intérieur) au domaine carré K α dont les sommets sont les points (±α, 0), et (0, ±α). [ S ] Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

4 Énoncé (c) Pour tout entier naturel α, déterminer le nombre de points à coordonnées entières qui appartiennent à la frontière du domaine K α, puis le nombre de tels points qui appartiennent à K α (bords compris). [ S ] (d) En déduire que pour tout entier naturel α, il y a : 2α 2 + 2α + 1 matrices A de Q n qui sont à coefficients dans IN. 2α 2 2α + 1 matrices A de Q n qui sont à coefficients dans IN. [ S ] 3. On se propose de trouver tous les carrés magiques A d ordre 3. (a) Montrer que le coefficient a 22 est nécessairement égal à 5. [ S ] (b) Montrer qu à une rotation ou à une symétrie près du tableau A, on peut toujours se ramener à a 11 = 1 ou à a 21 = 1. [ S ] (c) En déduire les 8 carrés magiques d ordre 3. [ S ] 4. Calculer les déterminants des matrices A, B et C, utilisées comme exemples dans le préambule du problème. [ S ] Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

5 du problème Partie I 1. D après le théorème de la base incomplète, il est possible de trouver des formes linéaires f p+1,..., f n telles que (f) = f 1, f 2,..., f p,..., f n soit une base de E. (f) est de manière unique la base duale d une base (e) = e 1, e 2,..., e n de E. n On sait que tout x de E s écrit sur cette base en x = x i e i, avec x i = f i (x). On en déduit que x est dans H si et seulement si x 1 = x 2 = = x p = 0, c est-à-dire x est uniquement combinaison linéaire de e p+1,..., e n. Ainsi H = Vect {e p+1,..., e n } : H est donc un sous-espace de dimension n p de E. [ Q ] 2. Pour tout couple (k, l), l application qui à une matrice A = (a ij ) associe son coefficient a kl est une forme linéaire sur M n (IR) (c est la forme coordonnée associée à la matrice E kl de la base canonique de M n (IR).) Les applications ϕ i et ψ j, qui sont des sommes de telles formes coordonnées, sont donc elles-mêmes des formes linéaires sur M n (IR). [ Q ] 3. Pour toute matrice A de M n (IR), la quantité ϕ 1 (A) + ϕ 2 (A) + + ϕ n (A) représente la somme de tous les coefficients de A. Il en est de même de ψ 1 (A) + ψ 2 (A) + + ψ n (A). On a donc l égalité ϕ 1 +ϕ 2 + +ϕ n = ψ 1 +ψ 2 + +ψ n, ce qui répond à la question. [ Q ] n n 1 4. On se donne des scalaires λ 1,..., λ n, µ 1,..., µ n 1 tels que φ = λ i ϕ i + µ j ψ j 0. Il faut montrer que les λ i et les µ j sont nuls. Soit k un entier de {1,..., n}, et A = E kn. On a ϕ k (A) = 1 et ϕ i (A) = 0 si i k. De même, ψ j (A) = 0 si j n 1. On en déduit 0 = φ(a) = λ k. Ainsi les coefficients λ k sont nuls. Supposons maintenant 1 k n 1 et soit A = E nk. On a ψ k (A) = 1 et ψ j (A) = 0 si j k. On en déduit (sachant que les λ i sont nuls) : 0 = φ(a) = µ k. Ainsi les µ k sont nuls. Conclusion : les formes linéaires ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ψ 1, ψ 2,..., ψ n 1 sont libres. [ Q ] 5. (a) On se donne les 2n 2 scalaires λ 1,..., λ n 1, µ 1,..., µ n 1. j=1 n 1 n 1 λ i Φ i + µ i Ψ i = 0 n 1 n 1 n 1 λ i ϕ i (λ i + µ i )ϕ n + µ i ψ i = 0 De la question précédente, il découle que les λ i et les µ i sont nuls. Ainsi les 2n 2 formes linéaires Φ 1,..., Φ n 1, Ψ 1,..., Ψ n 1 sont indépendantes. [ Q ] Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

6 (b) Soit A une matrice de P n. Par définition, on a : (i, j) {1,..., n} 2, ϕ i (A) = ψ j (A). En particulier : i {1,..., n 1}, ϕ i (A) = ψ i (A) = ϕ n (A). Autrement dit : i {1,..., n 1}, Φ i (A) = Ψ i (A) = 0. Réciproquement, soit A dans M n (IR) telle que : i {1,..., n 1}, Φ i (A) = Ψ i (A) = 0. Cela signifie que : (i, j) {1,..., n 1} 2, ϕ i (A) = ψ j (A) = ϕ n (A). Il reste donc à montrer que ψ n (A) est aussi égal à ϕ n (A). Or on sait que ϕ ϕ n = ψ ψ n. Appliquant cette égalité à A, il vient : n n 1 ψ n (A) = ϕ i (A) ψ j (A) = nϕ n (A) (n 1)ϕ n (A) = ϕ n (A). j=1 On a ainsi démontré que A est un élément de P n, ce qui achève cette question. [ Q ] (c) C est une conséquence de la question précédente et de la question préliminaire. P n est en effet le sous-ensemble de M n (IR) formé des matrices qui sont dans les noyaux des 2n 2 formes linéaires indépendantes Φ 1,..., Φ n 1, Ψ 1,..., Ψ n 1. On en déduit que P n est un sous-espace de M n (IR), de dimension n 2 (2n 2). [ Q ] ( ) ( ) (a) On sait que dim P 2 = 2 : A = et B = en constituent une base ( ) a b P 2 est donc l ensemble des matrices M a,b =, pour tous réels a, b. b a Avec ces notations : M a,b Q 2 2a = 2b = a + b a = b. ( ) a a Q 2 est donc la droite vectorielle des matrices M =, avec a réel. [ Q ] a a (b) Soient λ et µ deux scalaires tels que λf + µg = 0. Pour toute matrice A de P n, on a donc : λf(a) + µg(a) = 0, ou encore λtr(a) + µδ(a) = (λ + µ)σ(a) (1). Appliquons (1) aux deux matrices A et A, avec : A = et A = A et A sont deux matrices de P n et elles vérifient σ(a ) = σ(a ) = 0. Avec A = A, l égalité (1) devient : 2λ 2µ = 0. Donc λ = µ. Page 6 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

7 Partie II Avec A = A, l égalité (1) devient : { 2λ + µ = 0 si n = 3 2λ = 0 si n > 3 On trouve λ = µ = 0 : les formes linéaires f et g sur P n sont donc indépendantes. [ Q ] (c) Le cas n = 2 a déjà été traité. On suppose donc n 3. On sait que Q n est le sous-ensemble des matrices A de P n telles que tr(a) = δ(a) = σ(a), c est-à-dire telles que f(a) = g(a) = 0 en reprenant les notations de la question précédente. Or f et g sont des formes linéaires indépendantes sur P n. On en déduit en utilisant la question préliminaire que Q n est un sous-espace vectoriel de P n (donc de M n (IR)) et que : dim Q n = dim P n 2 = n 2 2n. [ Q ] 1. Soit A une matrice quelconque de M n (IR), on a : ψ 1 (A) ψ 2 (A)... ψ n (A) ϕ 1 (A) ϕ 1 (A)... ϕ 1 (A) ψ J n A = 1 (A) ψ 2 (A)... ψ n (A).... et AJ ϕ n = 2 (A) ϕ 2 (A)... ϕ 2 (A).... ψ 1 (A) ψ 2 (A)... ψ n (A) ϕ n (A) ϕ n (A)... ϕ n (A) Dire que AJ n = J n A = λj n, c est-dire que tous les ϕ i (A) et ψ j (A) sont égaux à λ, ce qui signifie que A appartient à P n, le scalaire λ représentant nécessairement σ(a). [ Q ] 2. On sait déjà que P n est un sous-espace vectoriel de M n (IR). Il reste à vérifier que I n appartient à P n (c est évident) et que P n est stable pour le produit. { ABJn = σ(b)aj Or si A et B appartiennent à P n, alors : n = σ(a)σ(b)j n J n AB = σ(a)j n B = σ(a)σ(b)j n On en déduit que AB appartient à P n, et plus précisément que σ(ab) = σ(a)σ(b). P n est donc une sous-algèbre de M n (IR). Ce n est pas le cas de Q n, qui ne contient pas la matrice identité. [ Q ] 3. On sait déjà que σ est une forme linéaire sur P n. Il reste à dire que σ(i n ) = 1 (c est évident) et que pour toutes matrices A, B de P n on a σ(ab) = σ(a)σ(b) (on l a vu dans la question précédente). L application σ est donc un morphisme d algèbres de P n dans IR. [ Q ] 4. (a) En multipliant par A 1 à gauche : AJ n = σ(a)j n J n = σ(a)a 1 J n. Cette égalité implique σ(a) 0, et s écrit : A 1 J n = 1 σ(a) J n. En multipliant à droite par A 1, on trouve : J n A = σ(a)j n J n = σ(a)j n A 1 J n A 1 = 1 σ(a) J n. Ces résultats montrent que A 1 est un élément de P n et que σ(a 1 ) = 1 σ(a). [ Q ] Page 7 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

8 (b) La réponse est négative, comme le montre l exemple de J n, qui est dans P n, vérifie σ(j n ) = n 0, mais n est pas inversible (elle est de rang 1). [ Q ] 5. Si on pose A = , alors A 2 = De même si A = , alors A2 = Pour ces deux exemples, avec d abord n = 3 puis n = 4 : La matrice A est dans Q n, avec σ(a) = 0. La matrice A 2 n est pas dans Q n car par exemple tr(a 2 ) δ(a 2 ). La matrice A 2 est évidemment dans P n, avec σ(a 2 ) = σ(a) 2 = 0. Ces exemples confirment, tout au moins pour n = 2 et n = 3, que Q n n est pas une sousalgèbre de M n (IR) (on s était borné à constater la non appartenance de I n à Q n, mais on voit maintenant par exemple que Q 2 et Q 3 ne sont pas stables pour le produit.) [ Q ] Partie III 1. (a) On évalue de deux manières différentes la somme de tous les coefficients de A. n 3σ(A) = a ij = a 11 + α + a 33 (= σ(a) car c est la diagonale principale) i,j=1 + a 31 + α + a 13 (= σ(a) car c est la diagonale secondaire) + a 21 + α + a 23 (= σ(a) car c est la deuxième ligne) + a 12 + α + a 32 (= σ(a) car c est la deuxième colonne) 3α (pour que α ne soit compté qu une fois) On en déduit 3σ(A) = 4σ(A) 3α, c est-à-dire σ(a) = 3α. [ Q ] (b) B est dans Q 3 car c est une combinaison linéaire de A et J 3, qui sont dans Q 3. Enfin σ(b) = σ(a) ασ(j 3 ) = σ(a) 3α = 0. [ Q ] (c) D après ce qui précède, le deuxième coefficient diagonal de B est nul. La définition de β et γ et le fait bien sûr que B appartienne à Q 3 (avec σ(b) = 0) donnent immédiatement : β β + γ γ B = β γ 0 β + γ γ β γ β [ Q ], A = β + α β + γ + α γ + α β γ + α α β + γ + α γ + α β γ + α β + α Page 8 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

9 (d) La vérification est immédiate : pour tous scalaires α, β, γ, la matrice A ci-dessus est un élément de Q 3, et elle est telle que σ(a) = 3α. Cette expression de A s écrit A = αj + βk + γl, avec : J = , K = , L = La famille J, K, L est donc génératrice de Q 3. Elle est libre, car αj + βk + γl = 0 A = 0 α = β = γ = 0. Elle constitue donc une base de Q 3 et on retrouve ainsi dim Q 3 = 3. [ Q ] 2. (a) Si les coefficients de A sont des entiers naturels, c est le cas en particulier pour α = a 22. β = a 11 a 22 et γ = a 31 a 22 sont donc des entiers relatifs. Réciproquement, si α, β, γ sont dans ZZ, alors A est à coefficients dans ZZ. Ceci dit, la matrice A est à coefficients dans IN : a 22 0 c est-à-dire α 0. a 11 = β + α 0 et a 33 = β + α 0, c est-à-dire β α. a 31 = γ + α 0 et a 13 = γ + α 0, c est-à-dire γ α. a 21 = β γ + α 0 et a 23 = β + γ + α 0, c est-à-dire β + γ α. a 12 = β + γ + α 0 et a 32 = β γ + α 0, c est-à-dire β γ α. La condition α 0 est visiblement impliquée par toutes les autres. Quant aux conditions β α et γ α, elle se déduisent des deux dernières. En effet, en utilisant des demi-sommes d inégalités : α β + γ α α β γ α Conclusion : } α β α et α γ + β α α γ β α } α γ α Une matrice A de Q 3 (définie par son expression { vue en (1c)) est à coefficients β + γ α dans IN α, β, γ sont des entiers relatifs tels que β γ α A est à coefficients dans IN les{ inégalités définissant les cinq conditions initiales β + γ < α sont strictes, ce qui équivaut à : β γ < α [ Q ] (b) L inégalité β + γ α, qui se développe en β α γ β + α exprime que le point Ω(β, γ) est situé au-dessus (au sens large) de la droite d équation γ = β α et en-dessous de la droite d équation γ = β + α. Page 9 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

10 De même l inégalité β γ α se développe en β α γ β + α et elle exprime que le point Ω(β, γ) est situé au-dessus de la droite d équation γ = β α et en-dessous de la droite d équation γ = β + α. Ces quatre droites délimitent précisément le domaine carré K α évoqué par l énoncé. Les conditions β + γ α et β γ α équivalent donc à l appartenance du point Ω(β, γ) à ce domaine (bords compris). En passant aux inégalités strictes, les conditions β + γ < α et β γ < α équivalent à l appartenance de Ω(β, γ) à l intérieur de ce domaine. [ Q ] (c) Sur chaque coté de K α, il y a α + 1 points à coordonnées entières. Par exemple, sur le coté (β 0, γ 0) ( premier quadrant ) ces points sont : (0, α), (1, α 1),..., (k, α k),..., (α, 0) La frontière de K α contient donc 4(α + 1) 4 = 4α points à coordonnées entières ( 4 pour ne pas compter deux fois un même sommet.) Un point Ω(β, γ) à coordonnées entières appartient à K α il appartient à l un des bords successifs des carrés K m, avec 0 m α (il n y a en effet aucun point entier entre deux bords consécutifs). Puisque K 0 ne contient que le point (0, 0), le nombre de points à coordonnées entières α de K α est donc : 1 + (4α) = 1 + 2α(α + 1) = 2α 2 + 2α + 1. m=1 Pour trouver le nombre de points à coordonnées entières qui sont intérieurs à K α, il faut enlever les 4α points du bord, ce qui donne 2α 2 2α + 1 points distincts. [ Q ] (d) Résumons les résultats des questions précédentes : On sait que l expression générale d une matrice A de Q n est donnée dans (1c). On sait également qu une telle matrice est à coefficients dans IN (resp. dans IN ) α, β, γ sont des entiers relatifs vérifiant les conditions β + γ α et β γ α (resp. les conditions β + γ < α et β γ < α). On sait enfin qu à α fixé, ce système d inégalités possède 2α 2 + 2α + 1 (resp. 2α 2 2α + 1) solutions distinctes. On en déduit effectivement qu à α fixé, il y a : 2α 2 + 2α + 1 matrices A de Q n qui sont à coefficients dans IN. 2α 2 2α + 1 matrices A de Q n qui sont à coefficients dans IN. [ Q ] 3. (a) Un carré magique A d ordre 3 est un cas particulier de matrice de Q 3 donc de P 3. L exemple donné dans le préambule du problème montre qu il en existe. Comme pour toute matrice de P 3, la somme de tous les coefficients de A est égale à 3σ(A). En même temps (et puisque A est un carré magique) cette somme vaut = 45. Page 10 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

11 On en déduit que σ(a) est égal à 15. Mais on sait d autre part que σ(a) est égal à 3a 22 (la raison en est que A est dans Q 3.) On en déduit effectivement que le coefficient a 22 est nécessairement égal à 5. [ Q ] (b) Chacune des sept opérations suivantes admet le coefficient central a 22 comme point invariant et conserve l ensemble des carrés magiques d ordre 3 : La symétrie par rapport à la deuxième colonne, ou à la deuxième ligne. La symétrie par rapport à la première ou la seconde diagonale. La rotation d un quart de tour, dans un sens ou dans l autre. La symétrie par rapport au coefficient central. Si le coefficient 1 (qui figure nécessairement dans un carré magique) n est pas en position (1, 1) ou (2, 1), et sachant qu il ne peut pas être en position (2, 2), l une des transformations précédentes permet de nous y ramener (on peut même se contenter d une des deux rotations, éventuellement répétée.) On peut donc supposer a 11 = 1 ou a 21 = 1, et on obtiendra tous les carrés magiques en appliquant les sept transformations ci-dessus à ceux de ces carrés qui sont formés avec l une des deux hypothèses. [ Q ] (c) Supposons par exemple a 11 = 1. Alors il vient nécessairement a 33 = 15 a 11 a 22 = 9. On en déduit a 13 = 15 a 23 a 33 = 6 a 23 < 6 et même a 13 < 5. Il vient alors a 12 = 15 a 11 a 13 = 14 a 13 > 9 ce qui est impossible. La condition a 11 = 1 ne conduit donc à aucune solution. On est donc conduit à supposer a 21 = 1. On en déduit a 23 = 15 a 21 a 22 = 9. Ainsi a 13 + a 33 = 6. Chacun de ces deux coefficients doit être strictement inférieur à 6, et même à 5 : leurs seules valeurs possibles sont 2, 3 ou 4. La valeur 3 est impossible (car sinon a 13 = a 33 = 3). Il reste donc les éventualités (a 13 = 2, a 33 = 4) et (a 13 = 4, a 33 = 2). La première donne A = et la seconde donne A = Les deux carrés ci-dessus sont symétriques par rapport à la deuxième ligne. Finalement, on obtient tous les carrés magiques en conservant le premier de ces carrés ou en lui appliquant les 7 transformations évoquées précédemment. Voici donc les 8 carrés magiques d ordre 3 : 6 7 2, 8 3 4, 2 7 6, Page 11 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

12 , , , [ Q ] 4. Calcul du déterminant de A On applique l opération L 1 L 1 + L 2 + L 3 avant de factoriser 15 dans L 1. On retranche ensuite C 1 à C 2 et à C 3, avant de développer par rapport à L 1 : det A = = = = = 15( 24) = 360 Calcul du déterminant de B On retranche C 4 à C 1 et C 3 à C 2. Les deux premières colonnes sont alors proportionnelles, ce qui prouve que le déterminant de B est nul. det B = = = 0 (car C 1 = 3C 2 ) Calcul du déterminant de C Là c est plus compliqué et la méthode ci-dessous n est peut-être pas la plus simple... On applique l opération L 1 L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L 5 avant de factoriser 65 dans L 1 : det C = = On retranche ensuite la colonne C 2 à toutes les autres, avant de développer par rapport à l unique coefficient non nul de la première ligne : det C = = On retranche maintenant L 3 à L 2, puis 5C 3 à C 4. On peut alors développer par rapport à l unique coefficient non nul de L 2 : det C = = = Page 12 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

13 On retranche C 2 à C 1 et à C 3, puis on factorise 5 dans C 1 et dans C 3 : det C = = On ajoute maintenant 7L 1 à L 2 avant de développer par rapport à C 2 : det C = = On termine avec C 2 C 2 + C 1 qui conduit à un déterminant triangulaire. det C = = = [ Q ] Page 13 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.