Fluctuation d une fréquence, probabilité

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1 Fluctuation d une fréquence, probabilité Échauffez-vous! 1 Cochez la case correspondant à la bonne réponse. a) On réalise une expérience aléatoire, qui consiste à lancer 2 fois de suite une pièce de monnaie. Combien de fois pensez-vous obtenir «FACE»? 0 fois 1 fois 2 fois Je ne sais pas b) On réalise une autre expérience aléatoire. On lance 10 fois de suite cette pièce de monnaie. Êtes-vous certain d obtenir au moins une fois «FACE»? Oui Non 2 Reliez chacune des expériences aléatoires de gauche avec les issues correspondantes à droite. Expériences aléatoires Issues Lancer d un dé à six faces Tirage au hasard d une boule dans une urne contenant 6 boules indiscernables au toucher, a, b sur lesquelles sont inscrites les voyelles a, e, i, o, u, y Lancer d un dé comportant deux faces marquées 0, deux faces marquées 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 une face marquée 2 et une face marquée 3 Lancer d un jeton dont les faces sont marquées par les deux premières lettres 0, 1, 2, 3 de l alphabet 3 Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à six faces, numérotées de 1 à 6, et à regarder le numéro obtenu. Reliez chacun des événements à ses issues. Obtenir un numéro pair 5, 6 Obtenir un numéro plus grand que 4 2, 4, 6 Obtenir un numéro plus petit que 6 1, 2, 3, 4, 5 Vocabulaire Expérience aléatoire Expérience dont le résultat est lié au hasard. Issue Résultat possible d une expérience aléatoire. Événement Ensemble constitué d un certain nombre d issues d une expérience aléatoire. Objets indiscernables au toucher Objets que l on ne peut pas différencier en les touchant

2 Fluctuation d une fréquence selon les échantillons 1. Observer des échantillons de taille fixe Exemple 7 élèves A, B, C, D, E, F et G lancent chacun 50 fois une pièce de monnaie et notent les résultats. Chacun calcule la fréquence de «FACE» de son échantillon, avec la formule : Nombre de «FACE». Nombre de lancers Un échantillon de taille 50 du lancer de la pièce est l ensemble des résultats «PILE» ou «FACE» obtenus pour 50 lancers de la pièce. Nombre de «FACE» Fréquence de «FACE» A 30 0,6 B 18 0,36 C 35 0,7 D 15 0,3 E 28 0,56 F 26 0,52 G 22 0,44 Activité 1 Cochez la case correspondant à la bonne réponse. 1. a) Le lancer d une pièce de monnaie est une expérience aléatoire qui a : 1 issue 2 issues 3 issues b) Le lancer d une pièce de monnaie a pour issues «PILE» et «FACE». Vrai Faux c) Les échantillons réalisés par chacun des élèves A, B, C, D, E, F et G sont de même taille. Vrai Faux 2. a) L échantillon réalisé par l élève A est constitué de : 30 «PILE» et 20 «FACE» 30 «FACE» et 20 «PILE» b) La fréquence 0,6 dans le tableau signifie que l échantillon réalisé par l élève A a donné «FACE» : 30 fois sur fois sur fois sur Observer la fluctuation de la fréquence, selon l échantillon Fluctuer signifie varier, ne pas être stable. Fluctuation signifie donc variation. Activité 2 (voir Exemple en 1.) Cochez la case correspondant à la bonne réponse. a) La fréquence de «FACE» pour chaque échantillon est très proche de 0,5. Vrai Faux b) La fréquence de «FACE» fluctue selon l échantillon. Vrai Faux c) Avec de nouvelles séries de 7 échantillons de taille 50, on observerait encore que la fréquence de «FACE» fluctue selon l échantillon. Vrai Faux

3 3. Comment constituer un échantillon de taille n d une expérience aléatoire? Méthode 1 Étape 1 Repérer les issues de l expérience aléatoire. Étape 2 Réaliser n fois l expérience, en notant les résultats obtenus. Une urne contient une boule rouge (R), une boule verte (V) et une boule jaune (J), indiscernables au toucher. L expérience consiste à prendre au hasard une boule de l urne, noter sa couleur et la remettre dans l urne. Proposez un échantillon de taille 10 pour cette expérience. Solution Étape 1 Les issues d un tirage d une boule de l urne sont les couleurs : R, V et J. Étape 2 En réalisant 10 fois le tirage au hasard et avec remise d une boule dans l urne, on obtient, par exemple, l échantillon : RVVRRRRRRJ. 4. Comment déterminer l étendue des fréquences d une série d échantillons de même taille? Méthode 2 On considère plusieurs échantillons, de même taille, d une expérience aléatoire. On s intéresse, pour tous ces échantillons, à la fréquence de la même issue. Étape 1 Calculer la fréquence de cette issue pour chaque échantillon, avec l égalité : Effectif de l issue dans l échantillon Fréquence = Taille de l échantillon Étape 2 Déterminer la fréquence la plus petite observée sur les échantillons. Étape 3 Déterminer la fréquence la plus grande observée sur les échantillons. Étape 4 Calculer la différence entre ces deux dernières fréquences : c est l étendue. 8 personnes lancent 40 fois chacune un dé à 6 faces, numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6, et notent le nombre de fois où le dé est tombé sur «1». Ils obtiennent : 8 ; 3 ; 6 ; 12 ; 4 ; 7 ; 6 ; 8. Pour ces 8 échantillons de lancers, déterminez l étendue des fréquences de «1». Solution Étape 1 On calcule la fréquence de «1» obtenue pour chaque échantillon en complétant le tableau : Échantillon numéro Effectif de «1» Fréquence de «1» 0,2 0,075 0,15 0,3 0,1 0,175 0,15 0,2 Étape 2 La fréquence la plus petite observée sur ces 8 échantillons est : 0,075. Étape 3 La fréquence la plus grande observée sur ces 8 échantillons est : 0,3. Étape 4 L étendue des fréquences observée sur ces 8 échantillons est : 0,3 0,075 = 0, CHAPITRE 9 FRÉQUENCE, PROBABILITÉ

4 Probabilité 1. Observer la stabilisation de la fréquence, lorsque la taille de l échantillon augmente Exemple 7 élèves A, B, C, D, E, F et G lancent chacun 50 fois une pièce de monnaie. Ils cumulent ensuite succes sivement leurs résultats : A avec B, puis A et B avec C, etc. Ils obtiennent ainsi 7 échantillons du lancer de la pièce, de tailles 50, 100,, 350. Nombre de lancers Nombre de «FACE» Fréquence de «FACE» arrondie à 0,01 A ,60 A + B ,48 A + B + C ,55 A + + D ,49 A + + E ,50 A + + F ,51 A + + G ,50 Activité 1 1. Cochez la case correspondant à la bonne réponse. a) Les échantillons des sept élèves sont de tailles : identiques différentes b) La fréquence de «FACE» de l échantillon de taille 200 est : 0,60 0,48 0,49 0,50 0,51 0,55 c) La taille de l échantillon dont la fréquence de «FACE» est 0,51 est : À l aide du tableau, complétez le graphique. 3. Rayez les encadrés inutiles. a) La fréquence de «FACE» fluctue / ne fluctue pas selon l échantillon. b) Lorsque la taille de l échantillon augmente, la fluctuation des fréquences de «FACE» est moins / plus grande. c) Lorsque la taille de l échantillon augmente, la fréquence de «FACE» se stabilise / ne se stabilise pas vers 0,5. Fréquence de «FACE» 0,62 0,60 0,58 0,56 0,54 0,52 0,50 0,48 0, Taille de l échantillon 2. Évaluer une probabilité La probabilité d une issue est la valeur vers laquelle sa fréquence se stabilise. Activité 2 (voir Exemple en 1.) Donnez la probabilité de l issue «FACE» lors d un lancer d une pièce de monnaie : 0,

5 3. Comment évaluer, avec les fréquences, la probabilité de chacune des issues d une expérience aléatoire? Méthode 3 Étape 1 Écrire la liste des issues de l expérience aléatoire. Étape 2 Prendre pour probabilité de chaque issue la valeur vers laquelle sa fréquence se stabilise lorsque l expérience est réalisée un grand nombre de fois. Une boîte contient 5 jetons numérotés 1, 2, 3, 4 et 5. L expérience consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de la boîte, noter la somme de leurs numéros et les remettre dans la boîte. On simule à l aide d un tableur un grand nombre de réalisations de cette expérience. Les résultats obtenus sont les suivants. Issues, rangées en ordre croissant Fréquence stabilisée 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 Quelle est la probabilité de chacune des issues? Solution Étape 1 Complétez la liste des issues : les issues de l expérience sont 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9. Complétez le tableau précédent. Étape 2 On prend pour probabilité de chaque issue la valeur vers laquelle sa fréquence s est stabilisée, c est-à-dire : la valeur 0,1 pour chacune des issues 3 ; 4 ; 8 ; 9 ; la valeur 0,2 pour chacune des issues 5 ; 6 ; Comment calculer la probabilité d un événement? Méthode 4 On considère une expérience aléatoire et un événement de cette expérience. Étape 1 Établir la liste des issues de l expérience et celle des issues de l événement. Étape 2 Déterminer la probabilité de chaque issue de l événement avec les données de l énoncé. Étape 3 Calculer la somme des probabilités de ces issues. Cette somme est la probabilité de l événement. On considère l expérience qui consiste à lancer un dé à six faces et à regarder le numéro inscrit sur la face supérieure. Ce dé est déséquilibré de sorte que ses faces n ont pas la même chance d apparaître lors d un lancer. On a évalué les probabilités d obtenir 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6, dans l ordre, à : 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,1. On considère l événement «Obtenir un nombre pair». Quelle est la probabilité de cet événement? Solution Étape 1 Les issues de l expérience sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. Celles de l événement «Obtenir un nombre pair» sont 2 ; 4 ; 6. Étape 2 L énoncé donne la probabilité de ces trois issues : 0,2 ; 0,1 ; 0,1. Étape 3 La probabilité d obtenir un nombre pair est égale à la somme des probabilités de ses trois issues : 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0, CHAPITRE 9 FRÉQUENCE, PROBABILITÉ

6 Simulation d une expérience aléatoire 1. Obtenir au hasard un nombre, avec la calculatrice ou le tableur Pour obtenir un nombre décimal aléatoire dans l intervalle [0 ; 1[, on utilise la touche de la calculatrice Ran# sur CASIO et rand sur TI ou la formule = ALEA() du tableur. Activité 1 Entourez chacun des nombres que l on peut obtenir : 0 0,1 1 1,4298 Pour obtenir un nombre décimal aléatoire dans l intervalle [0 ; k[, où k est un nombre strictement positif, on utilise avec la calculatrice l instruction kran# sur CASIO et krand sur TI ou avec le tableur la formule = k*alea(). Activité 2 Cochez la case correspondant à la bonne réponse. 1. En utilisant l instruction 3Ran# ou 3rand avec la calculatrice ou la formule = 3*ALEA() avec le tableur, on obtient un nombre décimal aléatoire dans l intervalle : [0 ; 1[ [0 ; 2[ [0 ; 3[ [0 ; 4[ 2. Pour obtenir un nombre décimal aléatoire dans l intervalle [0 ; 5[, on utilise l instruction 5Ran# ou 5rand ou la formule 5*ALEA() =. Vrai Faux Pour obtenir un nombre entier aléatoire dans l intervalle [0 ; k[, où k est un nombre plus grand que 1, on utilise avec la calculatrice l instruction Int(kRan#) sur CASIO et int(krand) sur TI ou avec le tableur la formule = ENT( k*alea()). Activité 3 Cochez chaque case correspondant à une bonne réponse. 1. En utilisant avec la calculatrice l instruction Int(4Ran#) ou int(4rand) ou avec le tableur la formule ENT(4*ALEA()) =, on peut obtenir le nombre entier : Pour obtenir l un des nombres entiers 0, 1 ou 2, on utilise l instruction Int(2Ran#) ou int(2rand) ou la formule ENT(2*ALEA()) =. Vrai Faux Activité 4 Pour obtenir un nombre entier aléatoire dans l intervalle 61; k + 16, où k est un nombre plus grand que 1, on utilise avec la calculatrice l instruction Int(kRan#)+1 sur CASIO et int(krand)+1 sur TI ou avec le tableur la formule = ENT( k*alea()) +. 1 Cochez la case correspondant à la bonne réponse. Pour obtenir l un des nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, il faut utiliser : l instruction Int(5Ran#)+1 ou int(5rand)+1 ou la formule = ENT(5*ALEA()) + 1 l instruction Int(6Ran#)+1 ou int(6rand)+1 ou la formule ENT(6*ALEA()) 1 =

7 2. Comment simuler, à la calculatrice, un échantillon de taille n d une expérience aléatoire? Méthode 5 Étape 1 Déterminer les différentes issues de l expérience aléatoire. Étape 2 Entrer l instruction adaptée pour simuler l expérience. Pour obtenir un nombre décimal aléatoire dans l intervalle [0 ; k[, c est l instruction kran# sur CASIO ou krand sur TI : Modèle Casio : MENU RUN OPTN k PROB Ran# EXE. Modèle TI : k MATH PRB rand ENTER. Pour obtenir un nombre entier aléatoire dans l intervalle [0 ; k[, c est l instruction Int(kRan#) sur CASIO ou int(krand) sur TI : Modèle Casio : MENU RUN OPTN NUM Int ( k PROB Ran# ) EXE. Modèle TI : MATH NUM Int( k MATH PRB Rand ) ENTER. Étape 3 Appuyer au total n fois sur la touche EXE (Casio) ou ENTER (TI). Une urne contient 9 boules, numérotées de 0 à 8. On tire au hasard une boule de l urne, on note son numéro, puis on la replace dans l urne. Simulez, à la calculatrice, un échantillon de taille 13 de cette expérience. Solution Étape 1 Les issues sont les nombres entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. Étape 2 On simule un tirage avec l instruction Int(9Ran#) ou int(9rand). Étape 3 On simule au total 13 tirages d une boule de l urne, en appuyant 13 fois sur la touche EXE (sur Casio) ou ENTER (sur TI). On obtient, par exemple, l échantillon : Comment simuler, sur tableur, un échantillon de taille n d une expérience aléatoire? Méthode 6 Étape 1 Déterminer les différentes issues de l expérience aléatoire. Étape 2 Entrer dans une cellule de la feuille de calcul la formule adaptée pour simuler l expérience : =k*alea() pour obtenir un nombre décimal aléatoire dans [0 ; k[ ou =ENT(k*ALEA() pour obtenir un nombre entier aléatoire dans [0 ; k[. Étape 3 Utiliser la poignée de remplissage pour copier cette formule au total dans n cellules de la feuille de calcul. On peut simuler d autres échantillons de taille n en appuyant sur la touche «F9» du clavier. On lance un jeton portant sur une face le numéro 0 et sur l autre face le numéro 1. Simulez, sur tableur, un échantillon de taille 20 de cette expérience. Solution Étape 1 Les issues sont les nombres entiers 0 et 1. Étape 2 On simule un lancer du jeton en entrant la formule =ENT(2*ALEA() dans la cellule A1. Étape 3 On simule au total 20 lancers, en copiant cette formule à l aide de la poignée de remplissage jusqu à la cellule A20. On obtient, par exemple, l échantillon : CHAPITRE 9 FRÉQUENCE, PROBABILITÉ

8 1 1.Les issues de cette expérience aléatoire sont Pile (P) et Face (F). 2. Exemple d échantillon de taille 10 : PFFPFFPPPP Les issues de cette expérience aléatoire sont les 4 couleurs rouge (R), bleu (B) vert (V) et jaune (J) des secteurs. 2. Exemple d échantillon de taille 4 : RBVV Numéro Échantillon 1 Effectif Fréquence 1 (arrondie à 0,01) 0,13 0,21 0,07 0,11 0,19 0,29 Échantillon 2 Effectif Fréquence 2 (arrondie à 0,01) 2. Diagrammes en bâtons. 0,19 0,10 0,21 0,22 0,10 0,18 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Fréquence Numéro Fréquence Numéro 3. Les fréquences pour les deux échantillons ne sont pas les mêmes Oui, la fréquence de la face «2» fluctue selon le nombre de lancers. 2. La fréquence semble se stabiliser vers 0,17. 5 Étendue des fréquences de la boule bleue : 0,38 0,28 = 0,10. 6 La probabilité de sortie d un jeton rouge est 0,8, celle d un jeton bleu est 0, Groupe sanguin A B AB O Nombre de personnes Fréquence 0,40 0,10 0,05 0,45 2. a) Soit A l événement : «la personne a le groupe sanguin A». p(a) = 0,4. b) Soit S l événement : «la personne a l un des groupes sanguins A ou O». p(s) = 0,4 + 0,45 = 0, et 2. 2Ran#, 2rand ou =2*ALEA() permet d obtenir un nombre décimal aléatoire dans l intervalle [0 ; 2[ et 2. Int(2Ran#), int(2rand) ou =ENT(2*ALEA()) permet d obtenir l un des nombres entiers aléatoires 0 ou La probabilité de l issue «Face» est 0,5. 2. a) et b) Simulation sur la calculatrice. c) Non, car le nombre de lancers simulés n est pas suffisamment grand a) b) c) d) e) f) g) On obtient par exemple : h) Les fréquences des issues ne sont pas égales. 2. a) b) La fréquence de chaque issue fluctue. Les fréquences des issues ne sont pas toutes très proches les unes des autres, car la taille de l échantillon n est pas suffisamment grande. 128 CHAPITRE 9 FRÉQUENCE, PROBABILITÉ 141

9 12 1. a) b) c) d) Simulation sur tableur. 2. On obtient par exemple : a) b) 3. a) La fréquence de «Pile» fluctue selon les échantillons. b) Oui, la réponse à la question précédente se confirme a) b) 2. a) b) 3. a) b) c) On obtient par exemple (avec des fréquences arrondies à 0,001 près) : 4. a) La fréquence de «2» fluctue pour les échantillons de tailles 150 et pour ceux de tailles 500, puisque les étendues ne sont pas égales à 0. b) L étendue pour la taille 150 est en général plus grande que celle pour la taille 500, car la taille de l échantillon augmente (la fluctuation de la fréquence de «2» tend à diminuer) La probabilité de sortie d un jeton rouge est 0,3, celle d un jeton noir est 0,6 et celle d un jeton bleu est 0, ,3 = 3 10 ; 0,6 = 6 10 ; 0,1 = Il y a 3 jetons rouges, 6 jetons noirs et 1 jeton bleu dans la boîte Tableau statistique. Numéro Effectif Fréquence (arrondie à 0,1) , , , , ,2 2. a) p 1 = 0,1 + 0,4 + 0,2 = 0,7. b) p 2 = 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,1 = 0,8. c) p 3 = 0,2 + 0,1 = 0,3. d) p 4 = 0,4 + 0,2 = 0, Avec la calculatrice, on obtient x = ; soit un salaire mensuel moyen de Tableau statistique. Salaire mensuel, en euros Effectif Fréquence , , , , ,02 Total a) p 1 = 0,6. b) p 2 = 0,10 + 0,08 + 0,02 = 0,2. c) p 3 = 0,6 + 0,2 = 0,

10 COMME À L ÉCRAN Fluctuation des fréquences selon les échantillons On lance une pièce de monnaie. On note 0 l issue «Pile», et 1 l issue «Face». On simule, à l aide d un tableur, plusieurs échantillons de tailles différentes du lancer de la pièce. Puis on détermine la fréquence de sortie de chaque issue. Pour ces échantillons, voici la feuille de calcul et la représentation graphique correspondante. 1. Cochez la case correspondant à la bonne réponse. Simuler le lancer de la pièce, c est : simuler le tirage aléatoire des nombres entiers 0 ou 1 simuler le tirage aléatoire des nombres entiers 1 ou 2 simuler le tirage aléatoire des nombres entiers 0 ou 2 2. Entourez la formule entrée dans la cellule A1 pour simuler un lancer de pièce. = 2*ALEA() = ENT(2*ALEA()) = ENT(2*ALEA()) a) Utilisez la feuille de calcul pour déterminer le nombre d échantillons constitués. On a constitué 6 échantillons. b) Si on ajoutait d autres échantillons, de tailles de plus en plus grandes, vers quelle valeur la fréquence de «Pile» et la fréquence de «Face» se stabiliseraient-elles? La fréquence de «Pile» et la fréquence de «Face» se stabiliseraient vers 0,5. 4. Pour les échantillons représentés sur le graphique, cochez la case correcte, pour chacune des affirmations suivantes. a) La fréquence de «Pile» fluctue selon les échantillons. Vrai Faux b) La fréquence de «Face» fluctue selon les échantillons. Vrai Faux c) À partir de 5 000, plus la taille de l échantillon est grande, plus les fréquences de «Pile» et de «Face» se rapprochent l une de l autre. Vrai Faux d) À partir de 5 000, plus la taille de l échantillon est grande, plus les fréquences de «Pile» et de «Face» se rapprochent du nombre 1. Vrai Faux

11 Évaluation Nom Prénom Classe Date Exercice 1 7 points Une urne contient 1 boule verte, 1 boule blanche et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire une boule de l urne, on note sa couleur, puis on la remet dans l urne. 1. Déterminer les différentes issues de cette expérience. Les issues sont «vert», «blanc» et «rouge». 2. Pour simuler sur la calculatrice le tirage d une boule de l urne, «vert» est noté 0, «blanc» est noté 1 et «rouge» est noté 2. a) Simuler sur la calculatrice, avec l instruction Int(3Ran#) sur CASIO ou int(3rand) sur TI, 12 tirages d une boule de l urne et compléter le tableau suivant. Exemple : Tirage numéro Résultat b) Déterminer l effectif de chacune des issues pour cet échantillon de 12 tirages. Nombre de boules vertes : 4. Nombre de boules blanches : 3. Nombre de boules rouges : 5. c) Calculer la fréquence de chacune des issues pour cet échantillon de 12 tirages. Fréquence de boules vertes : 0,33. Fréquence de boules blanches : 0,25. Fréquence de boules rouges : 0,42. Exercice 2 5 points 1. Dans une classe, 9 élèves ont simulé chacun 50 lancers d une pièce de monnaie, et 9 autres ont simulé chacun lancers. Les fréquences de «Pile» obtenues figurent dans le tableau suivant (arrondies à 0,01). Tirage numéro Fréquence de «Pile» pour 50 lancers 0,56 0,44 0,62 0,46 0,64 0,4 0,6 0,46 0,54 Fréquence de «Pile» pour lancers 0,52 0,51 0,51 0,49 0,48 0,51 0,52 0,50 0,52 Les fréquences obtenues pour 50 lancers fluctuent-elles? Oui. et pour lancers? Elles fluctuent aussi CHAPITRE 9 FRÉQUENCE, PROBABILITÉ 145

12 2. a) Compléter le tableau suivant. Fréquence Fréquence minimale maximale Étendue Échantillons de taille 50 0,4 0,64 0,64 0,4 = 0,24 Échantillons de taille ,48 0,52 0,52 0,48 = 0,04 b) Compléter : l étendue la plus petite est celle obtenue avec les échantillons de taille Cela signifie que la fluctuation de la fréquence de «Pile» pour les échantillons de taille est moins grande que pour ceux de taille 50. Exercice 3 8 points Les trois machines A, B et C d un atelier ont une production mensuelle totale de pièces identiques. Leurs productions mensuelles respectives sont données par le diagramme en barres ci-contre. 1. Compléter le tableau suivant. Effectif Machine A Machine B Machine C Nombre de pièces produites Fréquence de pièces produites (arrondie à 0,01) Machine A Machine B Machine C Total ,27 0,33 0,40 1 Les fréquences de ce tableau seront les probabilités à utiliser dans les questions suivantes. Une pièce est choisie au hasard dans la production mensuelle totale. 2. a) Donner la probabilité p 1 que la pièce provienne de la machine A. p 1 = 0,27. b) Donner la probabilité p 2 que la pièce provienne de la machine B. p 2 = 0,33. c) Donner la probabilité p 3 que la pièce provienne de la machine C. p 3 = 0, a) Déterminer la probabilité p 4 que la pièce provienne de la machine A ou de la machine B. p 4 = p 1 + p 2 = 0,27 + 0,33 = 0,60. b) Déterminer la probabilité p 5 que la pièce provienne de la machine A ou de la machine C. p 5 = p 1 + p 3 = 0,27 + 0,40 = 0,67. c) Déterminer la probabilité p 6 que la pièce provienne de la machine B ou de la machine C. p 6 = p 2 + p 3 = 0,33 + 0,40 = 0,