EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

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1 EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = Trouver u etier N, tel que, si N, + o ait a 1 < 10 Plus gééralemet, ε état u ombre réel strictemet positif, détermier u etier N, tel que, si N, o ait a 1 < ε Qu a-t-o démotré pour la suite a )? 3 Motrer que si lima ) = l l fiie ou o), o a lim a ) = l E déduire que si la suite a ) est divergete, la suite a ) est divergete Que pesez-vous de la réciproque? 4 Ecrire sous forme quatifiée les propriétés suivates : a) La suite a ) est pas borée b) La suite a ) est divergete c) La suite a ) est pas mootoe 5 Pour chacue des formules suivates, o demade de dire s il existe ue suite a ) qui la vérifie, et le cas échéat, de recoaître la propriété géérale des suites a ) qui la vérifiet a) M R) N) a M) b) N) M R) a M) c) M R) N) a M) d) N) M R) a M) e) M R) N) a M) f) M R) N) a M) 6 Calculer la limite des suites a ) 1 défiies par a) a = l + l ) l + l ) c) a = b) a = + e + e d) a = α β α + β α et β réels > 0) e) a = f) a = Calculer la limite l des suites ci-dessous, et trouver, pour chacue d elles, u etier N, tel que, si N, o ait a l 10 1

2 a) a = + cos si b) a = Soit x R Motrer que la suite u ) défiie par u = [x] + [x] + + [x] coverge et calculer sa limite O rappelle que la partie etière [u] du ombre u vérifie [u] u < [u] + 1) 9 Soit u ) 1 ue suite umérique O pose v = u u a) Motrer que si u ) coverge vers 0 alors v ) coverge vers 0 b) Etudier la réciproque e preat u = 1) c) Déduire de a) que si u ) coverge vers l alors v ) coverge vers l 10 Etudier si les suites a ) 0 défiies ci-dessous possèdet ue limite a) a = + 1) b) a = 1) + 1 1) + 3 c) a = e 1) d) a = 1) e e) a = 1+ 1) f) a = cosπ ) 11 Distiguer le vrai du faux Soit u ) ue suite réelle a) si lim u = 1 et, si pour tout N, o au 1, alors la suite u ) est décroissate à partir d u certai rag b) si lim u = 1, alors il existe 0 N tel que u 0 pour tout 0 c) si lim u = l, alors lim u +1 u ) = 0 d) si u +1 u ) coverge vers 0, alors u ) possède ue limite fiie e) si la suite u ) e ted pas vers l ifii, alors elle est borée 1 Soit α et β deux ombres réels A quelle coditio la suite a ) 0 défiie par a = si α + β + π a-t-elle ue limite? Calculer cette limite lorsqu elle existe O commecera par chercher la limite de b = α + β + π π, puis o exprimera a e foctio de b ) 13 Soit a ) ue suite O suppose que les suites extraites x, y et z de a ) de terme gééral x = a, y = a +1 et z = a 3 coverget Démotrer que a ) coverge

3 14 Soit α u ombre réel et a ) 1, la suite défiie par les relatios a 1 = α, et pour tout N a +1 = + + 1) + a + 1) Motrer que la suite a ) 1 est mootoe et borée, et trouver sa limite l Trouver ue relatio simple etre a +1 l et a l E déduire la valeur de a e foctio de α et de 15 Soit u ) ue suite borée telle que, pour tout etier 1, u u 1 + u +1 Motrer que la suite u ) coverge Idicatio : étudier d abord la suite v ) défiie par v = u u 1 ) 16 Soit a et b deux ombres réels strictemet positifs et o défiit les suites u ) et v ) par u 0 = a, v 0 = b, et pour tout etier 0 les relatios u +1 = u + v, v +1 = u +1 + v a) Motrer que pour tout etier, les ombres u et v sot positifs et iférieurs au plus grad des deux ombres a et b b) Etablir ue relatio simple etre u +1 v +1 et u v, et e déduire l expressio de u v e foctio de c) Motrer que les suites u ) et v ) ot ue limite commue l d) Etudier la suite u + v ) et e déduire la valeur de l 17 Soit α et β deux réels tels que 0 < α < β O pose a 0 = α, b 0 = β et si 0, a +1 = a b a + b ; b +1 = 1 a + b ) Motrer que les suites a et b coverget et ot la même limite l que l o calculera e foctio de α et de β Motrer que pour tout 0, E déduire que 0 b +1 a +1 b a ) 4α β α 0 b a 4α 4α ) Applicatio : trouver ue valeur approchée de à 10 4 près u 18 a) Soit u ) ue suite réelle telle que lim = 0 Motrer que la suite u ) coverge 1 + u vers 0 3

4 b) Soit v ) ue suite réelle borée telle que lim 1 + v coverge vers 0 v = 0 Motrer que la suite v ) 19 Das chacu des cas ci-dessous, trouver ue suite simple équivalete à la suite a ) dot o doe le terme gééral E déduire si elle possède ue limite a) b) c) l + ) l + ) d) 1 + 1) e) α + β + γ + 1 α, β, γ R) f) + α + + β α, β R) g) 1) h) α + α α + α α > 0) i) α + α + α R) j) λ λ + 1 λ R) k)! + + 1)! + 3 l)! Motrer que si P est u polyôme o costat de degré q, o a l équivalet l P ) q l 1 O suppose que, à partir d u certai rag, o a, a b c, et que a c a) O suppose qu à partir d u certai rag, o a a > 0 Motrer que a b c b) Motrer que la coclusio est vraie sas hypothèse de sige sur a Soit a ) ue suite pour laquelle il existe u ombre µ [ 0, 1 [, et u ombre réel k tels que, pour tout etier a +1 a kµ Motrer que la suite a ) coverge 3 Soit la suite de ombre complexes u ) défiie par u 0 = α et vérifiat, pour tout 0, la relatio de récurrece u +1 = u + u a) Détermier la suite Im u ) et sa limite b) Motrer que les suites u ) et Re u ) sot mootoes c) E déduire que la suite u ) coverge et que sa limite est réelle d) Que se passe-t-il si α est réel? 4

5 Corrigé 1 a) Formos la différece a +1 a O a a +1 a = + 1) + 1) ) = 1 Cette expressio est positive si 1, mais pas si = 0 La suite a ) 0 est doc pas mootoe Par cotre la suite a ) 1 est croissate b) Les termes de la suite état positifs, o peut former le quotiet de deux termes cosécutifs O a a +1 = + ) + 3) ), doc a +1 + ) + 3) ) + 1) + ) = = + 1) a + 1) + ) ) Ceci est doc supérieur à 1 pour tout etier aturel, et la suite est croissate c) Formos la différece a +1 a O a a +1 a = + 1) )!!) = + 1) )! +! = + 1) +1! Comme! = 1 =, o a alors a +1 a + 1) ) ) + 1) + 1) ) O e déduit que la différece est positive et doc que la suite est croissate d) Formos la différece a +1 a O a a +1 a = + 1)α + 1) +1 α + 1) ) = α + 1) +1 Le membre de droite se miore par α Doc, si α, le membre de droite est toujours positif, et la suite est croissate Si 0 α <, le membre de droite vaut α +, et est positif si est impair Il vaut α et est égatif si est pair La suite est i croissate, i décroisate O a Mais si 1, o a Alors a 1 = = et > 3 +, a 1 < = 1 5

6 Si l o veut redre a 1 strictemet iférieur à 10, il suffit de choisir tel que soit 100 O peut doc predre N = , Si l o veut redre a 1 strictemet iférieur à ε, il suffit de choisir tel que soit 1 ε, 1 ε O pourra predre N = E 1 ε) + 1, où Ex) désige la partie etière du ombre x O a doc aisi motré que la suite α coverge vers 1 3 Supposos tout d abord la limite fiie E utilisat l iégalité triagulaire a l a l, o déduit du théorème d ecadremet que, si a ) coverge vers l, alors a ) coverge vers l Il e résulte que si a ) est covergete, alors a ) est covergete, ou ecore, e preat la cotraposée, que si a ) est divergete, alors a ) est divergete Si l = +, alors a est positif à partir d u certai rag q, et doc à partir de ce rag q, o a a = a Doc a ) admet + comme limite Si l =, alors a est égatif à partir d u certai rag q, et doc à partir de ce rag q, o a a = a Doc a ) admet + comme limite L exemple de la suite 1) ) 0, motre que a ) coverge puisque c est ue suite costate), mais que a ) diverge 4 a) Ecrivos la suite est borée : M R) N) a M) Doc e la iat M R) N) a > M) b) Ecrivos la suite est covergete : l R) ε > 0) q N) N) q) a l < ε)) Doc e la iat l R) ε > 0) q N) N) q) et a l ε)) 6

7 c) Ecrivos la suite est mootoe, c est-à-dire, la suite est croissate ou décroissate : N) a +1 a )) ou N) a +1 a )) Doc e la iat N) a +1 < a )) et N) a +1 > a )) 5 a) Ceci est la défiitio d ue suite majorée b) Cette propriété est vérifiée par toutes les suites Il suffit de predre pour tout, le ombre M égal à a c) La égatio de cette propriété s écrit M R) N) a > M), qui sigifie que la suite est borée iférieuremet Doc c) sigifie que la suite est pas borée iférieuremet Exemple la suite ) d) La égatio de cette propriété s écrit N) M R) a > M) Elle est vérifiée par toute suite a ) il suffit de predre M = a 1) Doc aucue suite e vérifie d) e) La égatio de cette propriété s écrit M R) N) a > M) Elle est vérifiée par toute suite a ) il suffit de predre = 1, M = a 1 1) Doc aucue suite e vérifie e) f) Cette propriété est vérifiée par toutes les suites Il suffit de predre = 1, M = a 1 6 a) Pour le umérateur, o écrit l + l ) = l De même pour le déomiateur 1 + l )) = l + l 1 + l ) l + l ) = l + l + l 1 + l ) Alors e divisat le umérateur et le déomiateur de a par l, o obtiet l 1 + l ) 1 + a = l 1 + l l 1 + l ), l + l 7

8 et la suite a ) coverge vers 1 car l /) et 1/ l ) coverget vers zéro b) O divise umérateur et déomiateur par e O obtiet a = 1 + e 1 + e, et la suite a ) coverge vers 1 car e ) coverge vers zéro c) O cherche la plus grosse puissace figurat au umérateur et au déomiateur Il s agit das les deux cas de = 1/ O divise par cette puissace Il viet a = 1 1/6 + 3, et la suite a ) coverge vers 5/3 car 1/ p ) coverge vers zéro si p > 0 d) Si α > β, o divise par α le umérateur et le déomiateur O trouve a = ) β 1 α ) β, 1 + α et comme 0 < β/α < 1, la suite β/α) ) coverge vers zéro, et a ) coverge vers 1 Si α < β, o divise par β le umérateur et le déomiateur O trouve ) α 1 a = β ) α + 1 β, et comme 0 < α/β < 1, la suite α/β) ) coverge vers zéro, et a ) coverge vers 1 Efi si α = β la suite a ) est costate et vaut zéro aisi que sa limite e) O utilise la somme des termes d ue suite arithmétique Alors et la suite a ) coverge vers 1/ = + 1) a = + 1 = 1 + 1, 8

9 f) O utilise la somme des termes d ue suite géométrique Alors = = a = = , et la suite a ) coverge vers 1/ 7 a) E divisat le umérateur et le déomiateur par, o a a = 1 + cos 1 si Mais si ) et cos ) sot des suites borées, et 1/) coverge vers zéro, doc si /) et cos /) coverget vers zéro Par suite a ) coverge vers 1 O a alors Mais et pour, Doc a 1 = cos + si si cos + si cos + si, si 1 > 0 a 1 1 Si l o veut redre a 1 iférieur à 10, il suffit que soit 01 o peut doc predre N = , b) O a, pour tout etier j compris etre 1 et, = + + j Comme a est la somme des termes / + j) pour j compris etre 1 et, o aura + 1 a 1, et le théorème d ecadremet motre que a ) coverge vers 1 Alors 0 1 a =

10 Pour redre a 1 = 1 a iférieur à 10, il suffit de redre 1/ + 1) iférieur à 10, doc d avoir 99 O peut doc predre N = 99 8 O a doc pour tout ombre réel u, les iégalités u 1 < [u] u, doc, pour tout etier p px 1 < [px] px, et e sommat ces iégalités pour p variat de 1 à, mais et Alors px 1) < p=1 px = x p=1 px 1) = p=1 [px] p=1 p = p=1 px x = p=1 + 1 x 1 ) px, p=1 + 1) x, + 1) u x + 1 x x Comme le membre de gauche et celui de droite coverget vers la même limite x/, il résulte du théorème d ecadremet que la suite u ) coverge et a pour limite x/ 9 a) Soit ε > 0 il existe N tel que N implique u < ε/ Alors, si N, v v v N 1 + v N + + v v v N 1 + N + 1) ε Si l o pose v v N 1 + N + 1) ε w =, la suite w ) coverge vers ε/ Il existe doc N tel que N implique w ε < ε O e déduit w ε < ε, doc w < ε, Alors si maxn, N ), o obtiet v < ε, ce qui motre que la suite v ) coverge vers 0 b) Si u = 1), o trouve u = 0 et u +1 = 1 + 1, 10

11 et les deux suites u ) et u +1 ) coverget vers 0 Doc u ) coverge vers 0 Par cotre u ) a pas de limite c) Si u ) coverge vers l, alors u l) coverge vers 0 Mais v l = u 1 l) + + u l), et la suite v l) coverge vers 0 d après a) Il e résulte que v ) coverge vers l 10 a) O a a = 1/) et a +1 = 1/ + 1) 3 Les deux suites a ) et a +1 ) coverget vers zéro, doc a ) égalemet b) O divise umérateur et déomiateur par 1) Il viet 1 + 1) + 3 1) Or la suite 1) ) est borée, et la suite 1/) coverge vers zéro Doc 1) /) coverge vers zéro, et a ) coverge vers 1/ O peut voir égalemet que les suites a ) et a +1 ) coverget toutes deux vers 1/ c) O a a = e et la suite a ) admet + comme limite O a égalemet a +1 = e 1 et la suite a +1 ) coverge vers zéro La suite a ) a doc pas de limite d) La suite 1) ) est borée, et la suite e ) coverge vers zéro Doc le produit a ) de ces suites coverge aussi vers zéro e) O a a = ) 0 = 1, et la suite a ) 1 coverge vers 1 O a égalemet a +1 = 1/ + 1), et la suite a +1 ) 0 coverge vers 0 Les deux suites extraites ayat des limites différetes, la suite a ) a pas de limite f) O a a = cosπ) = 1) Cette suite extraite a pas de limite, doc la suite a ) a pas de limite 11 ) a) FAUX Soit la suite défiie par u = ) O a u 1, et il résulte du théorème d ecadremet que u ) coverge vers 1 Par ailleurs u = 1 si est impair et u = 1 + / si est pair, doc, pour tout etier > 0, o a u 1 Efi, pour tout 11

12 etier 1, u +1 u + = 1 +1 < 0, et la suite est pas décroissate b) VRAI Soit ε = 1/, il existe 0 tel que 0 implique u 1 < 1/, ce qui implique u 1 > 1/, doc u > 1/ > 0 c) VRAI u +1 ) est ue suite extraite de u ) et a doc même limite Alors u +1 u ) coverge vers l l = 0 d) FAUX Si u =, la suite u ) a pas de limite fiie, mais et u +1 u ) coverge vers 0 u +1 u = + 1 = , e) FAUX Si u = 1), alors u ) a pour limite + et u +1 ) a pour limite, doc u ) a pas de limite, mais elle est pas borée 1 E multipliat par la quatité cojuguée du déomiateur, o a b = α + β α + β + π + π, puis, e divisat par le umérateur et le déomiateur, b = π + β + α π + β + α, et b ) coverge vers β/π) Mais Doc si b = si α + β + π π) = 1) si α + β + π a = 1) si b Alors a ) coverge vers l = siβ/π)) et a +1 ) coverge vers l = siβ/π)) La suite a a ue limite si et seulemet si l = l, c est-à-dire si et seulemet si si β π = 0, soit β π = kπ avec k etier Fialemet a a ue limite si et seulemet si β = kπ, et das ce cas la limite est ulle 13 La suite a 6 ) est ue suite extraite de a ) Elle coverge doc vers α = lim a Mais c est aussi ue suite extraite de a 3 ) Elle coverge doc vers γ = lim a 3 Il e résulte que α = γ 1

13 La suite a 6+3 ) est ue suite extraite de a +1 ) car = 3 + 1) + 1 Elle coverge doc vers β = lim a +1 Mais c est aussi ue sous-suite de a 3 Elle coverge doc vers γ Il e résulte que β = γ O a doc α = β Et comme les suites des termes de rag pair et de rag impair de a ) coverget vers la même limite, la suite a ) coverge égalemet vers cette limite commue 14 Remarquos tout d abord que la suite a ) est positive Cela se démotre par récurrece) Pour étudier la mootoie de la suite, évaluos a +1 a O obtiet a +1 a = + + 1) + a + 1) a = a ) + + 1) + 1) La différece a +1 a est doc du sige de a Calculos alors a +1 O obtiet a +1 = + + 1) + a + 1) = a ) + 1) Il e résulte que si 1, les ombres a +1 et a ot le même sige Cela sigifie que ce sige e déped pas de C est celui de a 1 O a alors les cas suivats : i) Si a 1, o a, pour tout, l iégalité a et la suite est majorée par Par ailleurs, pour tout, le ombre a est positif doc a +1 a égalemet La suite est doc croissate ii) Si a 1, o a, pour tout, l iégalité a et la suite est miorée par Par ailleurs, pour tout, le ombre a est égatifdoc a +1 a égalemet La suite est doc décroissate Das tous les cas la suite est covergete Pour trouver sa limite écrivos par exemple a +1 = ) + a + 1) La suite ) coverge vers La suite de terme gééral a vers l Alors par passage à la limite o e déduit que vers zéro, et la suite + 1) Doc l = l = lim a +1 = + l 0 = + E repreat u calcul fait plus haut, o a, si 1 soit, pour p a +1 = a ) + 1), a p = p 1)a p 1 ) p 13

14 O e déduit alors que a = 1 1) 3 1 a 1 ) O a doc a = et fialemet 15 La relatio doée équivaut à 1)!!) a 1 ) = 1! a 1 ), a = 1! a 1 ) + u +1 u u u 1, soit v +1 v La suite v ) est doc croissate Mais, si pour tout etier, o a u M, alors v u + u 1 M, et la suite v ) est borée C est doc ue suite croissate majorée Elle coverge vers ue limite l Il y a alors trois cas : Si l < 0, la suite v ) est égative à partir d u certai rag, doc, à partir de ce rag u u 1 et la suite u ) est décroissate miorée, doc coverge Si l = 0, la suite v ) est croissate et coverge vers 0, doc elle est égative, et comme das le cas précédet la suite u ) est décroissate miorée, doc coverge Si l > 0, la suite v ) est positive à partir d u certai rag, doc, à partir de ce rag u u 1 et la suite u ) est croissate majorée, doc coverge E fait cette derière situatio e peut avoir lieu Sio, il existerait N tel que p N implique u p u p 1 l, d où e sommat ces iégalités pour p variat de N à u u N 1 = u p u p 1 ) p=n p=n l = N + 1) l, ce qui doe u u N 1 + N + 1) l Et comme le membre de droite ted vers + il e serait de même de celui de gauche 16 a) Notos M le plus grad des deux ombres a et b O motre alors par récurrece que pour tout 0, o a 0 u M et 0 v M C est vrai pour = 0 Si l o suppose la propriété vraie à l ordre, alors u +1 est la moyee de deux ombres compris etre 0 et M et doc est aussi compris etre 0 et M, puis il e est de même de v +1 La propriété est doc vraie à l ordre + 1 doc pour tout etier 0 14

15 b) O obtiet u +1 v +1 = u u +1 = 1 u u ) + v = u v 4 La suite u v ) est doc ue suite géométrique de raiso 1/4, et c) D après ce qui précède u v = a b 4 u +1 u = u +1 v +1 ) = b a) 4 +1, cette expressio est du sige de b a La suite u ) est doc mootoe Comme elle est borée elle coverge vers ue limite l Mais doc v ) coverge aussi vers l d) O a v = u a b 4, u +1 + v +1 = u +1 + v = u + v La suite u + v ) est doc costate et vaut a + b Par ailleurs elle admet 3l comme limite O e déduit doc que l = a + b 3 17 O motre tout d abord par récurrece, que pour tout etier, les ombres a et b existet et sot strictemet positifs C est vrai à l ordre 0 par hypothèse Si o suppose la propriété vraie à l ordre, alors a + b et a b sot strictemet positifs, doc a +1 et b +1 existet et sot positifs Pour étudier la mootoie des suites, o calcule et a +1 a = a b a + b a = a b a ) a + b b +1 b = 1 a + b ) b = 1 a b ) et l o costate que le sige de ces différeces déped de celui de b a Or b +1 a +1 = 1 a + b ) a b = a b ) a + b a + b ) Il e résulte que b +1 a +1 est positif pour tout 0 Comme par ailleurs b 0 a 0 = β α est positif par hypothèse, o e déduit que b a est positif pour tout 0 Alors, d ue part a +1 a est positif pour tout etier et la suite a est croissate, et d autre part b +1 b est égatif pour tout et la suite b est décroissate 15

16 O a doc 0 < a 0 = α a b b 0 = β Il e résulte que a est ue suite croissate majorée par β Elle coverge vers ue limite l De même la suite b est décroissate et miorée par α Elle coverge vers ue limite l Mais e passat à la limite das la relatio b +1 = 1 a + b ), o obtiet l = 1 l + l ), d où l o déduit que l = l Cette limite l est positive Pour trouver cette limite, o remarque que pour tout etier a +1 b +1 = a b Cette suite est doc costate, et sa limite est égale à so premier terme O e déduit que l = αβ, et doc, puisque l est positive, que l = αβ E partat de l égalité b +1 a +1 = a b ) a + b ), et e miorat a et b par α, o e déduit que b +1 a +1 a b ) 4a O démotre alors par récurrece la propriété suivate : ) β α b a 4a 4a A l ordre 0, o a ue égalité : Supposos l iégalité vraie à l ordre O a doc e utilisat la relatio à l ordre β α b 0 a 0 = β α = 4a 4a b +1 a +1 b +1 a +1 a b ) 4a ) 0 ) ) β α 4a 4a 4a β α 4a 4a β α 4a 4a 16, ) ) +1

17 O obtiet la relatio à l ordre + 1 Elle est doc vraie pour tout 0 Pour obteir l =, il suffit de predre b = et a = 1 Das ce cas Et de même 0 a b a b b a Si l o veut redre le membre de droite iférieur à 10 4 il suffit de predre = 3 O calcule alors les premiers termes : a 1 = 4 3 b 1 = 3 a = 4 17 b = 17 1 a 3 = b 3 = Il e résulte que a 3 est ue valeur approchée par défaut de et que b 3 est ue valeur approchée par excès de ce ombre O remarque que a 3 = 1, et que = 1, La valeur approchée obteue est de l ordre de 10 6 c est-à-dire meilleure que le prévoyait la majoratio précédete 18 1) Posos α = u 1 + u O e déduit facilemet que u = α 1 α, et puisque α ) coverge vers 0, il résulte du théorème sur les limites que u ) coverge aussi vers 0 ) Comme v ) est borée, il e est de même de 1 + v ), alors v = v 1 + v 1 + v), et v ) est le produit d ue suite borée et d ue suite qui coverge vers 0 Elle coverge aussi vers 0 19 Das la plupart des exercives suivats, la méthode cosiste à mettre e facteur au umérateur et au déomiateur le terme prépodérat pas écessairemet le même) Lorsque ces deux termes sot idetiques, cela reviet à diviser umérateur et déomiateur par leur valeur commue Pour les exercices comportat ue différece de radicaux, o commece par multiplier par la quatité cojuguée O se rappellera que si l est ue valeur fiie o ulle, il est idetique de dire a ) coverge vers l ou a ) est équivalete à la suite costate l) a) O met e facteur au umérateur et au déomiateur le terme de puissace la plus élevée 17

18 = 5 ) ) = E raiso des théorèmes sur les limites, la quatité etre parethèses coverge vers 1, et doc, par défiitio des équivalets Et puisque 1/) coverge vers 0, o e déduit que a ) coverge vers 0 b) E utilisat la quatité cojuguée du déomiateur, o écrit a = Puis e mettat e facteur au umérateur et au déomiateur la puissace la plus élevée, 5 1 ) a = ) O a doc et a ) admet + comme limite a 5 = 5, 3 c) O peut écrire a e faisat apparaître les quatités prépodérates a = l + ) l + ) l [ )] = l[ 1 + )] l + l ) = l + l1 + ) l ) = l 1 + l l 1 + l1 + ) l Comme la fractio de droite coverge vers 1, o e déduit que a l l, 18

19 et la suite a ) coverge vers zéro d) O met e facteur 1) 1 + 1) = 1) ) 1 + 1) L expressio etre parethèses coverge vers 1, doc a ) est équivalete à 1) ), et a pas de limite e) Il faut discuter suivat les valeurs des ombres α β γ Si α est o ul, a α et a ) admet + comme limite si α est positif, et sio Si α est ul et β o ul, la suite a ) coverge vers β Si α et β sot uls et γ o ul, a γ/, et la suite a ) coverge vers 0 Si α = β = γ = 0, o a a = 0, doc a 0, et a ) coverge vers 0 f) O met e facteur + α + + β = 1 + α ) β La quatité etre parethèses coverge vers, doc + α + + β, et la suite a ) admet + comme limite g) O met 1) e facteur au umérateur et au déomiateur ) 1) 1) 1 + 1) = ) = 1) La quatité etre parethèses coverge vers 1, doc 1 + 1) ) ), et la suite a ) a pas de limite h) La quatité prépodérate au umérateur et au déomiateur déped de la positio de α par rapport à 1 O a les trois cas suivats : i) α > 1 Das ce cas et α + α = α 1 + α α ) α, α + α = α 1 + α a ) α, 19

20 d où et a ) coverge vers zéro ii) α < 1 Das ce cas et d où et a ) coverge vers zéro iii) α = 1 Das ce cas et a ) coverge vers zéro a α α = 1 α, ) α + α = α 1 + α α α, ) α + α = α 1 + α α α, a α α = 1 α, a = , Das tous les cas la suite coverge vers zéro i) La quatité prépodérate au umérateur et au déomiateur déped de la positio de α par rapport à 1/ O a les trois cas suivats : i) α > 1/ Das ce cas α + = α 1 + 1/ a) α, et d où et a ) coverge vers zéro ii) α < 1/ Das ce cas et d où α + = α a ) α, α + = a α α = 1 α, 1 + a 1/ ) α + = 1 + a 1 ), a =,, 0

21 et a ) coverge vers zéro iii) α = 1/ Das ce cas et a ) coverge vers zéro a = 3 = 3, Das tous les cas la suite coverge vers zéro j) La quatité prépodérate au umérateur et au déomiateur déped de la positio de λ par rapport à 1, c est-à-dire du sige de λ O a les trois cas suivats : i) λ > 0 Das ce cas λ = λ ) λ ) λ, et Doc et a ) coverge vers 1 λ + 1 = λ 1 + λ ) λ, a 1, ii) λ < 0 Das ce cas et le déomiateur coverge vers 1 Doc et a ) admet + pour limite ) λ = λ + 1 3, 3 a 3, iii) λ = 0 Das ce cas et a ) admet + pour limite a = 3 + 3, k) Les factorielles état prépodérates, o met! e facteur au umérateur et + 1)! au déomiateur )! +! )! + 3 =!! 1 + ) =! + 1)! )! )! + 1)! La quatité etre parethèses coverge vers 1 Doc! + + 1)! + 3! + 1)! = , 1

22 et la suite a ) coverge vers zéro l) Remarquos tout d abord que, si, o e déduit que D autre part, si 3, et! = 1, 0! 1 3, Et, e utilisat le théorème d ecadremet, les suites!/ ) et 3 / + ) coverget vers zéro E mettat e facteur au umérateur et + au déomiateur, o obtiet! + 1 +! ) = ) = 1 1 +! La quatité etre parethèses coverge vers 1, doc et la suite a ) coverge vers 0! , 0 O peut écrire P x) = a q x q + a q 1 x q a 0, avec a q o ul O calcule l P ) e mettat q e facteur et e preat le logarithme, il viet l P ) = l q + l a q + a q a 0, q puis e mettat l q = q l e facteur l a q + a q 1 l P ) = q l a 0 q q l La quatité etre parethèses coverge vers 1, doc l P ) q l 1 a) Si l o suppose a > 0 à partir d u certai rag, o a alors 1 b a c a

23 Mais comme c a, la suite c /a ) coverge vers 1, doc d après le théorème d ecadremet, la suite b /a ) coverge égalemet vers 1, et l o a bie b a b) Si l o e suppose plus a > 0 à partir d u certai rag, o procède de la maière suivate Puisque c a, il existe ue suite ε ) qui coverge vers 1 et telle que, à partir d u certai rag c = ε a O pose Si a est o ul, o a b = η a η = ε si a = 0 b a si a 0 Si a est ul, alors à partir d u certai rag, c l est aussi, et les iégalités 0 b 0, etraiet que b est ul O a doc égalemet b = η a = 0 Doc à partir d u cetrai rag, o a b = η a Il reste à motrer que la suite η ted vers 1 Etudios suivat le sige de a : i) Si a > 0, o a doc c est-à-dire et fialemet ii) Si a < 0, o a doc c est-à-dire et de ouveau iii) Si a = 0, o a Doc, pour assez grad, o a 1 b a c a, 1 η ε, 0 η 1 ε 1, η 1 ε 1 1 b a c a, 1 η ε, 0 η 1 ε 1, η 1 ε 1 η 1 = ε 1 η 1 ε 1, 3

24 alors, comme ε ) coverge vers 1, la différece ε 1) coverge vers zéro, et il résulte du théorème d ecadremet que η 1 ) coverge aussi vers zéro, c est-à-dire que η ) coverge vers 1 O a doc bie démotré que b a E écrivat a +p a = a +p a +p 1 ) + + a +1 a ), et e utilisat l iégalité triagulaire, o obtiet et doc a +p a a +p a +p a +1 a, a +p a kµ +p µ ) Le membre de droite est la somme des termes d ue suite géométrique qui se calcule, et l o obtiet a +p a kµ 1 µp 1 µ O majore ecore le membre de droite pour obteir fialemet a +p a k µ 1 µ Comme le membre de droite coverge vers zéro, lorsque ted vers l ifii, il existera, pour tout ε > 0, u etier N, tel que N implique k µ 1 µ < ε Alors, quel que soit N et quel que soit p etier a +p a < ε Cela motre que la suite a ) est ue suite de Cauchy, et doc qu elle coverge vers ue limite l 3 Si l o pose x = Re u et y = Im u, o a doc et doc x +1 + iy +1 = x + iy + u x +1 = x + u, y +1 = y a) La suite y ) est doc ue suite géométrique de raiso 1/ et y = y 0 /, doc la suite y ) coverge vers 0 b) D après l iégalité triagulaire u +1 u + u = u, 4

25 et la suite u ) est ue suite décroissate x +1 x = x + u x = u x, mais, puisque la partie réelle d u ombre complexe est toujours iférieure au module, o e déduit que x +1 x est positive doc que la suite x ) est croissate c) D après ce qui précède, o a x u u 0, doc la suite x ) est borée Comme elle est croissate elle coverge vers ue limite réelle l Alors puisque u = x + iy, la suite u ) coverge aussi vers l d) Si α est u réel positif, alors o démotre par récurrece que la suite u ) est costate E effet, si u = α, alors u = α et u +1 = α Si α est u réel égatif, alors u 0 = α, doc u 1 = 0 et par récurrece, si 1, o a u = 0 La suite u ) est statioaire 5