Corrigé MATHS I Première partie. Filière MP

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2 MATHS I 27 Corrigé Filière MP I Première partie L application t t x e t est continue sur ], [, pour tout réel x, en tant que produit de deux fonctions continues..a. t x e t t t x, et, d après les exemples de Riemann, on sait que t x est intègrable sur ],[ si,et seulement si, x > donc et par comparaison t t x e t est intégrable sur ],[ si, et seulement, x >..b. t x e t = O ( t t ), Or et d après les exemples de Riemann t est intégrable 2 2 t sur [, [, donc et par comparaison t t x e t est intégrable sur [, [. 2 On pose a = Re(z) et b = Im(z). Alors l application t t z = t a e i b ln(t) = t a (cos(b ln(t)) i sin(b ln(t))) est continue et par produit d applications continues, l applicationn t t z e t est continue sur ], [. De plus, pour tout t >, e t t z = e t t Re(z), donc par la question., l application t t z e t est intégrable sur ], [ si, et seulement si, Re(z) >. 3 Quelques formules utiles : 3.a. Les applications t t z et t e t sont de classes C sur ], [ avec d d t (t z ) = z t z Nous obtenons alors, pour tout entier naturel n non nul, par une intégration par AMPA, Annales CNC de mathématiques

3 Corrigé Maths I 27 3.b. 3.c. parties sur le segment n, n n /n t z e t d t = t z e t t=n t=/n z Comme Re(z) > alors n z e n = n Re(z) e n et n n z e /n Ainsi et en faisant tendre n vers on obtient Γ(z ) = zγ(z) n /n t z e t d t n n R e(z) n Fixons un réel α >. De la formule précédente, on déduit l identité par une récurrence simple sur p. Pour x >, la fonction t t x e t est continue, intégrable, positive et non nulle sur ], ], donc Γ(x) = t x e t d t >. 3.d. Par un simple calcul, on a Γ() =. En prenant dans l identité de I.3.B, α =, et p = n, nous obtenons : n Γ(n ) = k = n! 4 Développement en série de Γ. 4.a. On a : Γ(z) = t z e t d t t x e t d t. Le développement en série ],[ [, [ entière de fonctions usuelles nous donne : e t ( ) n = t n n! par suite : t z e t ( ) n = t zn pour tout t ],] n! On pose alors : f n (t) = ( )n t zn pour t ],], on obtient : n! La série f n converge simplement sur ],] de somme t t z e t n f n est intégrable sur ],] pour tout entier naturel n f n (t) d t ],] ],] n! d t = qui est le terme général d une série convergente ce qui permet d affirmer que la série n! f n (t) d t est convergente n ],] 2 2 AMPA, Annales CNC de mathématiques

4 Annales CNC Filière MP 4.b. Il résulte alors du théorème d intégration terme à terme que t z e t d t = ( ) n n! t zn d t = ( ) n n! z n Posons f n (z) = ( )n n! z n pour n et z. Pour n, la fonction f n est continue sur ( en tant que fraction rationnelle en z ). Pour tout z et tout n, on a : f n (z) = n! n z n! n Re(z) car n Re(z) n z. Donc f n (z) converge absolument et par suite f n converge simplement sur. Soit K un compact inclus dans, et α = d(z,k), on a α > car est un fermé et K un compact. Alors pour z K, et n, n z = d( n, z) α, donc f n (z) n! n z n! α. Comme la série converge, il en résulte que n! fn converge uniformément sur tout compact de, donc, par le théorème de continuité de la somme d une série de fonctions, la fonction somme continue sur. 5 Soit < a < b et t >, on a : t a = e (a )ln(t). f n est 5.a. 5.b. 5.c. Si t ],], alors ln(t), donc (a )ln(t) (b )ln(t) et comme x e x est croissante, on déduit que t a t b. Soit max(t a, t b ) = t a. Si t >, alors ln(t) >, donc t a < t b e t par suite max(t a, t b ) = t b. Conclusion : Pour tous < a < b et t >, on a : Pour t ], ], on a d après I.5.a., de même si t >, on a : max(t a, t b ) t a t b < t x max(t x, t a ) = t a = max(t a, t b ) < t x max(t x, t b ) = t b = max(t a, t b ) En conclusion : < t x max(t a, t b ) pour tout t ], [ On pose f : (x, t) t x e t Pour tout x >, la fonction t f (x, t) est intégrable sur ], [ d après I.. Pour tout t >, l application x t x e t = e t e (x )ln(t) est de classe C sur et d f (x, t) = ln(t)f (x, t) d x pour tout (x, t). 3 AMPA, Annales CNC de mathématiques 3

5 Corrigé Maths I 27 5.d. Pour tout segment K = [a, b] et pour tout (x, t) K, on a : d d x f (x, t) ln(t) e t t x ln(t) e t max(t a, t b ) ln(t) e t (t a t b ) Or la fonction dominante ϕ : t ln(t) e t (t a t b ) est continue sur l intervalle ], [, et vérifie en plus : ϕ(t) = o t ( ) et ϕ(t) = o ( t t t ) ce 2 qui entraîne que ϕ est intégrable sur ], [. Donc par le théorème de dérivation sous le signe intégral, il en résulte que Γ est de classe C sur et que Γ d (x) = f (x, t)d t = ln(t)t x e t d t d x Γ(x ) = xγ(x) pour tout x >, et comme Γ est continue en, on obtient lim Γ(x ) = Γ() =, donc x Γ(x) x x II Deuxième partie L application x x α est de classe C sur R et x a n x n est de classe C sur ],R[ ( somme d une série entière ), donc y α est de classe C sur ],R[ (produit de fonctions de classes C ). D après la formule de dérivation d un produit de fonctions dérivables et de la régle de dérivation terme à terme de la somme d une série entière sur son intervalle de convergence, nous obtenons y (x) = α αxα a n x n x α na n x n y = (α n)a n x αn n= (x) α = (α n)(α n )a n x αn 2 n= Donc, y α est solution sur ],R[ de (F λ ) si,et seulement si, pour tout x ],R[, on a (x 2 λ) a n x αn (α n)a n x αn (α n)(α n )a n x αn = Soit que n= ((n α) 2 λ 2 )a n x αn a n 2 x αn = n=2 4 4 AMPA, Annales CNC de mathématiques

6 Annales CNC Filière MP ce qui équivaut, après simplification par x α, à ((n α) 2 λ 2 )a n x n a n 2 x n = Par unicité du développement en séries entière nous déduisons après identification des coefficients que : α 2 λ 2 = car a ((α ) 2 λ 2 )a = ((α n) 2 λ 2 )a n = a n 2 pour tout n 2 n=2 2 On suppose que : α = λ, a et y λ est solution sur ],R[ de (F λ ). 2.a. α = λ, et compte tenu de la formule ((α ) 2 λ 2 )a = obtenue à la question précédente, on déduit que a =. La formule ((α n) 2 λ 2 )a n = a n 2 pour tout n 2, permet alors d obtenir, par récurrence sur l entier naturel p : a 2p = et a 2 p = a (λ 2k) 2 λ 2. Mais (λ 2k) 2 λ 2 = 4λk 4k 2 = 4k(λ k), d où, en utilisant la formule de I 3 b, Γ(λ ) (λ 2k) 2 λ 2 = 4k(λ k) = 4 p p! λ k = 2 2 p p! Γ(λ p ). Ce qui entraîne que : p, a 2p = a Γ(λ ) 2 2p p! Γ(λ p ) a 2.b. Pour x >, on a : 2p x 2p 2( p ) a 2( p ) x = a 2 p x 2 = a 2( p ) (λ 2 p) 2 λ 2 x2, p Ainsi, et d après la règle de D Alembert, la série a n x n converge pour tout x >. Donc le rayon de convergence de cette série entière est infini. 2.c. On suppose a 2 λ Γ(λ ) =. Il s en suit : x >, y λ (x) = a 2p x 2 pλ a Γ(λ ) = 2 2p p! Γ(λ p ) x2pλ a Γ(λ ) = p! Γ(λ p ) ( x 2 )2pλ 2 λ = ( x 2 )λ p! Γ(λ p ) ( x 2 )2p car a 2 λ Γ(λ ) =. Par prolongement par continuité de la somme de la série entière en, nous 5 AMPA, Annales CNC de mathématiques 5

7 Corrigé Maths I 27 obtenons : Donc p! Γ(λ p ) ( x 2 )2p x Γ(λ ) y λ (x) x Γ(λ ) ( x 2 )λ 3 On suppose ici que 2λ /. 3.a. D après la question II., et en remplaçant dans II.2, α = λ par α = λ avec la condition a 2 λ Γ( λ) =, nous déduisons que la fonction : y λ : x p! Γ( λ p ) ( x 2 )2p λ est aussi solution sur R de (F λ ). 3.b. Montrons que (y λ, y λ ) est un système fondamental de solutions sur R de (F λ ). Soit (α, β) 2 tel que αy λ βy λ =. Comme y λ (x) x Γ(λ ) ( x 2 )λ et y λ (x) x Γ( λ ) ( x 2 ) λ, on a : y λ (x) et y x λ (x), donc si l on suppose α, alors en faisant x tendre x vers, on aboutit à une contradiction. On conclut que α = et puis β =, donc les solutions y λ et y λ sont linéairement indépendantes. (F λ ) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients continus et sans second membre, son ensemble de solutions est donc un espace vectoriel réel de dimension deux. En conséquence : ( y λ, y λ ) est un système fondamental de solutions de (F λ ) et toute solution sur de (F λ ) est de la forme : y = αy λ βy λ où α,β R III Troisième partie III.A. Etude de (F ) : Pour x >, on a : y λ (x) = (2 p p!) 2 x2 p..a. Comme α >, pour tout entier k, α 2k > et donc : a 2p (α) = a 2( p ) (α). On obtient alors, par une récurrence sur l entier p, 2 (α 2 p) a 2 p (α) = a (α) (α 2k) AMPA, Annales CNC de mathématiques

8 Annales CNC Filière MP.b. et avec, a (α) =, on déduit la formule : a 2p (α) = pour tout p. 2 (α 2k) L application α étant dérivable en à valeurs strictement 2 (α 2k) positives, est logarithmiquement dérivable, ce qui permet d obtenir : Or a 2p () = a () p 2p a 2p () = 2 2k = H p (2k) = p ( p!) = 2 2 p, donc : p! 2 b p = a () = 2 p 2 p H p p!.c. Calcul du rayon de convergence de p b p z 2p : Comme H p ln(p) alors b p p ln(p), par suite, pour tout x >, p (2 p 2 p!) 2( p) b p x b p x 2p p 4( p ) 2 x2 car ln(p ) ln( p). On déduit que : b lim p x p b p x 2 p 2( p) = ce qui montre, en utilisant la règle de D Alembert, que la série p b p x 2 p converge pour tout x >. Donc le rayon de convergence de la série entière p b p z 2 p est infini. 2 2.a. Pour tout p, on a : (2p) 2 b p 4 pa 2p () = (2p) 2 a 2p () 4 pa 2 p () Mais (2 p) 2 a 2 p () = a 2( p ) (), donc : (2p) 2 b p 4 pa 2p () = a 2( p ) ()H p 4 pa 2p () = b p D où le résultat demandé. = a 2( p ) ()H p p a 2( p ) () 4 pa 2p () } {{ } = 7 AMPA, Annales CNC de mathématiques 7

9 Corrigé Maths I 27 2.b. L application x y (x)ln(x) est de classe C sur ( Comme produit de deux fonctions de classe C ), donc z est de classe C sur. Pour tout x >, on obtient alors par dérivation : z (x) = y (x)ln(x) b p x 2 p Donc p= z (x) = x y (x) ln(x).y (x) 2 pb p x 2p p= z (x) = x y 2 (x) 2 x y (x) ln(x).y (x) 2 p= p(2 p )b p x 2p 2 x 2 z (x) xz (x) (x2 )z (x) = y (x) 2xy (x) ln(x).x2 y (x) 2 p(2 p )b p x 2p y (x) ln(x).xy (x) p= b p 2 px 2p x 2 ln(x)y (x) b p x 2p2 p= En tenant compte du fait que y est solution sur de (F ) et de la question précédente, il vient : x 2 z (x) xz (x) (x2 )z (x) = 2xy (x) b p (2 p) 2 x 2p b p x 2p2 Ce qui permet de conclure. = p= p= p= p= }{{} b p x 2p p= p= 4 pa 2p ()x 2p b p (2 p) 2 x 2p b p x 2p2 = b x 2 = 3 Comme y (x) x Γ( ) ( x 2 ) =, lim x p= p= b p x 2p = et lim ln(x) =, alors : x z (x) ln(x). Ceci permet de prouver ( comme à la question II 3.b) que les solutions x y et z sur de (F ) sont linéairement indépendantes. On conclut alors comme dans III.3b., : toute solution de (F ) est de la forme que : y = αy βz où α, β sont des constantes réelles arbitraires. 8 8 AMPA, Annales CNC de mathématiques

10 Annales CNC Filière MP III.B. Etude de (F ) :.a. Pour tout p, on a : c 2p (α) = (α 2 p) 2 c 2( p ). Une récurrence sur p permet d obtenir : c 2 p (α) = c (α) (α 2k) 2 et comme c (α) =, on déduit que : c 2p (α) = (α 2k) 2.b. L application α c 2p (α) est dérivable en à termes strictement positifs; alors elle est logarithmiquement dérivable; ce qui permet d avoir : c () 2p p c 2p () = ln(( 2k) 2 ), Par suite : p 2( 2k) d p = ( 2k) 2 (α 2k) 2 = Or ( 2k) 2 = 4k( k) = 2 2p et ( 2k) k(k ) = k k p 2( 2k) donc 4k(k ) = 2 (H p H p ). D où, le résultat demandé : p 2( 2k) 4k( k) k( k) = 2 2p p! ( 2k) 2 ( p )! d p = 2 2p p!( p ) (H p H p ).c. On a : d p = 2 2 p p!( p ) (H p H p ) = 2 2 p p!( p )! (2H p p ) ln( p) p 2 2 p p!( p )! En raisonnant comme dans III A.(c) on déduit que le rayon de convergence de d p z 2p est infini. p 9 AMPA, Annales CNC de mathématiques 9

11 Corrigé Maths I a. On a : Pour tout p, ( 2p) 2 d p 2( 2 p)c 2p () = d p. Par dérivation de l identité : 2.b. on obtient : Pour α =, il vient : c 2 p (α) ( 2 p) 2 = c 2( p ) (α), c 2p (α) (α 2 p) 2 2(α 2p)c 2p (α) = c 2( p ) (α) d p (( 2 p) 2 ) 2( 2 p)c 2p () = d p En tant que sommes de séries entières, les fonctions y et x d p x 2 p sont de classe C sur alors et par dérivation on obtient pout tout x > x 2 u (x) xu (x) ( x2 )u (x) = x 2 2y (x)ln(x) 4 x y (x) 2 x y 2 (x) 2p(2p )d p x 2p p= p= x 2y (x)ln(x) 2 x y (x) (2p )d p x 2p p= ( x 2 ) 2y (x)ln(x) d p x 2p = 2ln(x) x 2 y (x) xy (x) ( x2 )y (x) 4xy (x) (2 p ) 2 d p x 2p ( x 2 ) d p x 2p Comme y est une solution sur de (F ), il vient : et donc 4(2p ) p!( p )!2 2p x2p x 2 y (x) xy (x) ( x2 )y (x) = x 2 u xu (x) ( x2 )u (x) = 4xy (x) (2p ) 2 d p x 2 p ( x 2 ) d p x 2p = ((2p ) 2 )d p x 2p d p x 2( p) = 4(2p ) x 2p (2p ) 2 )d p!( p )!2 2p p x 2p d p x 2p 2 p= }{{} =c 2p () Et en utilisant la relation du III B 2 a, on déduit que : x 2 u (x) x u (x) ( x2 )u (x) = 2x Ce qui entraîne que u est bien solution sur de (E ). 2 AMPA, Annales CNC de mathématiques

12 Annales CNC Filière MP 3 3.a. On pose v (x) = e x e p x p avec R = Rcv( e p x p ) >. p= p Sur ],R[, nous avons : x 2 2e x 3 3.b. x 2 v (x) xv (x) ( x2 )v (x) 2x = ( p )(p 2)e p x p 2 x e x ( p )e 2 p x p 2 2x = p= p= ( p( p )e p e p 2 )x p (e 2)x e Par unicité du développement en série entière nous déduisons qu une condition nécessaire et suffisante pour que v soit solution de (E ) est que : e = 2 e = p 3, p( p 2)e p e p = ce qui permet de conclure par une récurrence que : p, e 2p = et e e 2p = 2 2p p!( p )! = 2c 2p (). Inversement, la série entière e p z p ainsi p définie a pour rayon de convergence et par suite la fonction v qui lui est associée est solution sur de (E ). (F ) est l équation différentielle linéaire homogène associée à (E ). Comme z et u sont solutions sur de (E ), alors z u est solution sur de (F ). x 4 De leur expression nous avons : y (x) x 2, u (x) x ln(x), et v (x) 2 x x x, et 2 2 comme x ln(x) = o, alors : z (x) = (v u )(x). On démontre alors x x x x comme dans la question III 3, que la famille (y, z ) est un système fondamental de solutions sur de (F ), et que donc toute solution sur de (F ) est de la forme : y : x αy (x) βz (x) où α et β sont des constantes réelles arbitraires. FIN DU CORRIGÉ AMPA, Annales CNC de mathématiques 2

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