BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES

Transcription

1 GAN AMI Session Janvier 2014 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire et spécialité Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ou 9 Ce sujet comporte 4 pages. L utilisation d une calculatrice est autorisée Le candidat doit traiter les quatre eercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. 0

2 Eercice 1 5 points Soit la suite numérique ( u n ) définie sur! par : u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 2 3 u n n +1. l. a. Calculer u 1, u 2, u 3 et u 4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10 2 près. b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite. 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n n + 3. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n+1 u n = 1 ( 3 n + 3 u n ). c. En déduire une validation de la conjecture précédente. 3. On désigne par ( v n ) la suite définie sur! par v n = u n n. a. Démontrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique de raison 2 3. b. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = c. Déterminer la limite de la suite ( u n ). 4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : n n + n. S n = u k = u 0 + u u n et T n = S n k=0 a. Eprimer S n en fonction de n. n 2 b. Déterminer la limite de la suite ( T n ). 1

3 Eercice 2 6 points PARTIE 1 : Étude d une fonction Soit g la fonction définie sur 0;+ par g( ) = e e Déterminer la limite de g en Étudier les variations de la fonction g. 3. a. Démontrer que l équation g Montrer que. ( ) = 0 admet une unique solution, notée α, dans 0;+ b. À l aide d une calculatrice, donner un encadrement d amplitude 10 2 de α. c. Montrer que e α = 1 α Dresser le tableau de variation complet de g. 5. Donner le signe de g( ) suivant les valeurs de.. PARTIE B : Étude des variations d une fonction Soit A la fonction définie sur 0;+ par A( ) = 4 e Démontrer que pour tout de 0;+, A' ( ) a le même signe que g( ). 2. En déduire les variations de la fonction A sur 0;+ et montrer qu elle admet pour maimum 4 α 1 PARTIE C : Étude de la position d un point sur une courbe Soit f la fonction définie sur 0;+ par f ( ) = 4 e +1.!! On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé O;i, j Pour tout réel positif ou nul, on appelle M le point de C f d abscisse, P le point de coordonnées ;0 ( ) et Q le point de coordonnées 0; f ( ) α désigne le réel obtenu dans la PARTIE A. 2

4 1. Démontrer que l aire du rectangle OPMQ est maimale lorsque M a pour abscisse α. Donner la valeur de cette aire maimale. 2. Démontrer que la tangente T à la courbe C f au point M d abscisse α est parallèle à la droite PQ Eercice 3 4 points Les deu questions suivantes sont indépendantes. 1. Soit ( u n ) la suite définie par u n = ( 1 e 2 )e 2n pour tout n entier positif ou nul. a. Calculer la valeur eacte de u 0, u 1 et u 2. b. Démontrer que la suite ( u n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 2. Soit la fonction f définie sur! par f ( ) = e. a. Calculer la dérivée (dite dérivée première) de f, notée f On admet que f est dérivable. Sa dérivée est notée f On ne demande pas de calculer f ( 2) ( ). ( ) ou encore f ( 1) ( ) ( ) ou encore f 2 On admet que les dérivées successives sont elles-mêmes dérivables, et on note f ( n) dérivée n ième de f où n est un entier naturel supérieur ou égal à 1. b. Démontrer par récurrence que pour tout n 1, la dérivée n ième de f est : f ( n) ( ) = ( + n)e. ( ) la 3

5 Eercice 4 Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points Les deu parties sont indépendantes. Partie A On considère l équation : ( E) z 3 ( 4 i)z 2 + ( 8 2i)z 8 + 4i = 0. où z est un nombre complee. 1. Démontrer que le nombre complee 2 i est solution de cette équation. 2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complee z on ait : z 3 ( 4 i)z 2 + ( 8 2i)z 8 + 4i == ( z 2 + i) az 2 + bz + c 3. En déduire les solutions de l équation( E). Partie B Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal ( O;i!,! j ). Soit M un point d affie z du plan, distinct du point B d affie 5 2i. z 3 1. On pose z = + iy, avec et y deu nombres réels, et Z = z 5+ 2i. Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de et y. 2. a. Déterminer l ensemble( E) des points M d affie z tel que Z soit un réel. b. Déterminer l ensemble( F ) des points M d affie z tel que Z soit un imaginaire pur. 4