Vecteurs. I) Vecteurs et translation : a) notion de translation :

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1 I) Vecters et translation : a) notion de translation : Vecters Por aller de à, le marcher se déplace : dans le sens indiqé par la flèche sr ne longer correspondant à celle de [] dans la direction indiqée par celle de la droite (en pointillés) Le point est obten par ne translation d point. En tilisant la même translation, on transforme en. définition : Soient et dex points d plan. La translation qi transforme en associe à l'niqe point tels qe les segments [ ] et [] ont le même milie. est n parallélogramme! (attention à l'ordre des points) b) notion de ecter : Le ecter permet de définir ne translation. Il doit donc préciser n sens, ne direction, ne longer. n le représente sos forme de segment fléché. F E 1

2 La translation qi transforme en est la translation de ecter EF E est l'origine d ecter EF F est l'extrémité d ecter EF EF a por direction celle de (EF), por sens celi de ers, por longer!. n pet le noter par ne sele lettre, par exemple. Les ecters et caractérisent la même translation qe EF., EF, sont des ecters égax. n pet dire qe et sont des représentants d ecter. Si et sont confonds, s'écrit. 'est le ecter nl. = 0 Le ecter opposé à est le ecter associé à la translation transformant en. n le note. = Le point I est le milie d segment [] si, et selement si, I = I I b) ecters égax : définition : Soient,,, qatre points d plan aec. Les ecters et sont égax si, et selement si, est n parallélogramme. Si,,, sont alignés; sera n parallélogramme aplati! 2

3 II) oordonnées d'n ecter : définition : ans n repère (; I; J); les coordonnées d ecter sont les coordonnées d point M tel qe M = Les coordonnées d ecter nl 0 sont (0;0) le repère (;I;J) est également soent noté (; i ; j ) aec i = I et j = J + 2 w J M 1 I Les coordonnées de sont (3;1), celles de sont (3; 1) et celles de w sont ( 4;2) propriété : ex ecters sont égax si, et selement si, lers coordonnées dans n repère sont égales. Soient de coordonnées (x, y) et de coordonnées (x ',y') dans n repère (,I,J) = si, et selement si x = x' et y = y' démonstration Si =, il existe n niqe point M (x M ;y M ) tel qe M = = x onc et ont les mêmes coordonnées qe celles de M : = x M = x' y = y M = y' x Réciproqement, si dex ecters (x,y) et (x',y') sont tels qe = x' y = y' alors = M et = M (aec M de coordonnées (x;y) ) donc = = M 3

4 propriété : Soient dex points (x ;y ) et (x ;y ) dans n repère. Les coordonnées d ecter sont (x x ;y y ) démonstration Par définition, il existe n niqe point M(x M ; y M ) tel qe M =. Les coordonnées de sont celles d point M. M = donc M est n parallélogramme par site [M] et [] ont le même milie. cela se tradit par : x + x M 2 = 0 + x 2 y + y M = 0 + y 2 2 x + x M = x y + y M = y J I M donc x M = x x y M = y y donc (x x ;y y ) E a por coordonnées ( 2;4) F a por coordonnées (4;3) E 4 Les coordonnées de EF sont : (x F x E ;y F y E ) 3 F = (4 ( 2);3 4) = ( 4 + 2; 3 4) = (6 ; 1) J 2 I 4 ans n repère (;I;J), le ecter nl 0 a por coordonnées (0;0)! 4

5 II) Somme de dex ecters : définition : Soient et dex ecters. La somme des dex ecters et est le ecter associé à la translation ayant les mêmes effets qe la translation de ecter siie de celle de ecter n le note + + Par translation de ecter, a por image Par translation de ecter, a por image est l'image de d point par translation de ecter + Le ecter est n représentant d ecter + relation de hasles : 'après ce qi précède, Qels qe soient les points,, d plan, on a l'égalité : = + propriété : la règle d parallélogramme Soient,, trois points distincts d plan, + La somme + est le ecter si, et selement si, est n parallélogramme démonstration Si + = alors, d'après la relation de hasles, + = + donc = et est n parallélogramme Réciproqement, si est n parallélogramme on a = alors, + = + = (en tilisant la relation de hasles) 5

6 propriétés (admises): Por tos ecters,, w, on a : + = = 0 + = + ( + w ) = ( + ) + w Je pex changer l'ordre des termes, les groper indifféremment, la somme des ecters ne changera pas! propriété (admise): ans n repère, si les coordonnées de sont (x, x') et celles de sont (y,y') alors + a por coordonnées (x + x' ; y + y') Les coordonnées de la somme sont la somme des coordonnées! Soient ( 4 ; 3) et (5 ; 2) Les coordonnées de + sont ( ; 3 + ( 2)) soit (1 ; 1) III) Prodit d'n ecter par n nombre réel : définition : Soient (x ; y) n ecter et k n nombre réel. Le ecter k a por coordonnées (kx ; ky) k est le prodit d ecter par le réel k Soient z ( 2 ; 3), w ( 4 ; 6), (1 ; 1,5) = 1 2 z w = 2 z w Si k est positif, k a le même sens et la même direction qe (c'est le cas dans l'exemple por z et w ) Si k est négatif, k a la même direction qe mais est de sens contraire (c'est le cas dans l'exemple por z et ) J z I 6

7 définition : ex ecters non nls et sont dit colinéaires si et ont la même direction. ela reient à dire qe () et () sont parallèles! Soit le trapèze MNP de bases [MN] et [P] MN et P sont colinéaires M N MN et P sont assi colinéaires!! P définition : Soient et dex ecters. et sont colinéaires s'il existe n réel k tel qe = k et sont colinéaires, il existe donc également n nombre réel k' tel = k'! qe Par exemple, si =3 alors = 1 3!! Le ecter nl est colinéaire à tos les ecters. 0 = 0 propriétés admises : Trois points,, sont alignés si et selement si les ecters et sont colinéaires.,, sont alignés reient en effet à dire qe les droites () et () sont confondes (donc parallèles)!! ex droites () et () sont parallèles si, et selement si, et sont colinéaires. 7

8 règles de calcl : Por tos ecters, ; por tos réels k et k' on a : k( + ) = k + k (k + k') = k + k' k(k' ) = (kk') 4( + EF) = 4 + 4EF 3 6 = (3 6) = 3 8(5) = 40 propriété : ex ecters (x;y) et (x';y') sont colinéaires si, et selement si, xy' - x'y = 0 jstification Spposons qe (x;y) et (x';y') soient colinéaires. Il existe alors n nombre réel k tel qe x' = kx et y' =ky. Les coordonnées des ecters sont donc proportionnelles. n a donc le tablea de proportionnalité siant : coordonnées de x y coordonnées de x' y' n a donc xy' = x'y (règle des prodits en croix) Par site, xy' - x'y = 0 (3; 2) et ( 9;6) sont colinéaires car 3 x 6 ( 2) x ( 9) = = 0 w (3;2) et z (6;5) ne sont pas colinéaires car 3 x 5 2 x 6 = 3 8