Analyse des fonctions usuelles

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1 Analyse des fonctions usuelles Viktoria HEU et Loïc TEYSSIER Dérivées et variations.1 Dérivée des blocs et opérations élémentaires.1.1 Axiomes de dérivation des blocs élémentaires Définition 1. On définit les relations suivantes pour les blocs élémentaires : pour le bloc constante unitaire : pour le bloc identité : 1 := 0 pour le bloc exponentielle : pour le bloc sinus : pour le bloc logarithme népérien : := 1 exp ) := exp sin ) := cos ln ) := 1.1. Dérivation des opérations éléméntaires En construisant les règles de dérivation associées aux opérations élémentaires on pourra, de proche en proche, définir la dérivée symbolique d une fonction usuelle symbolique. Pour cela notons que les graphes des opérations élémentaires peuvent être schématisés sous la forme f, g), ce qui signifie qu ils prennent blocs en entrée, mais qu en appliquant les règles de dérivation on obtiendra des opérations du type f, g, f, g ), qui nécessitent la connaissance des blocs de départ ainsi que leurs dérivées respectives. 1

2 Définition. On définit les règles suivantes qui transforment les graphes des opérations élémentaires en d autres graphes d évaluation : additivité de la dérivation) à l addition de termes f, g) + f + g on associe f, g, f, g ) + f + g Pour ne pas se fatiguer avec les notations, on pourra, à l addition de n termes [ f 1 f n ] + n j=1 f j, associer l addition des n dérivées [ f 1 f n ] + n j=1 f j homogénéité de la dérivation) à la multiplication par un scalaire λ R on associe la multiplication de la dérivée par λ λ, f )) λf ) λ, f), f )) λf ) règle de Leibniz) à la multiplication on associe f, g) fg f, g, f, g ) règle de dérivation d un quotient) à la division f g + fg f, g) f g

3 on associe f, g, f, g ) f g fg g règle de dérivation d une composée) à la composition g f ) f g on associe g, f, g ) f g) g. Dérivée d une fonction usuelle symbolique Montrons par récurrence sur le nombre d opérations élémentaire nécessaires à écrire son graphe d évaluation, que nous avons ainsi bien définie une fonction usuelle symbolique f correspondant à une fonction usuelle symbolique f donnée via les axiomes de dérivation ci-dessus...1 Construction générale Par construction on sait dériver les fonctions symboliques obtenues en combinant des blocs élémentaires grâce à 0 opération élémentaire : c est la Définition 1. Supposons que l on sache dériver toutes les fonctions symboliques nécessitant au plus d 0 opérations élémentaires et prenons une fonction symbolique f ) en comportant d + 1. Alors on peut décomposer le graphe d évaluation de f ) sous la forme f 1 ), f )) f ) où désigne l une des 4 opérations élémentaires : celle qui arrive en dernier dans le graphe d évaluation de f ). Alors chaque f j ) comporte au maximum d opérations élémentaires dans son graphe d évaluation : par hypothèse de récurrence on dispose donc des fonctions usuelles symboliques f j ) pour j = 1,. On considère finalement le graphe d évaluation correspondant à l opération donné par la Définition : f 1 ), f ), f 1 ), f )) Ce graphe est associé à une fonction usuelle symbolique, ce sera la dérivée f de f. On vient de construire par récurrence la dérivée d une fonction usuelle symbolique dont le graphe d évaluation comporte un nombre fini arbitraire d opérations élémentaires. 3

4 .. Un exemple Donnons un exemple trop) détaillé en déterminant la dérivée de 1. Le graphe d évaluation de f ) est f ) := sin ) ln. ln ln, sin )) sin f ). On obtient la première décomposition f 1 ), f )) avec f 1 ) = ln et f ) = sin ), qui devient f ) ln, sin ), ln ), f ) ) ln ) sin ) + f ) ln 3. On a directement ln ) = 1 mais on doit encore déterminer f ) grâce à la deuxième décomposition où f 3 ) = sin et f 4 ) =, qui devient f 3 ), f 4 )) f ), sin ), f 4 ) ) sin ) f 4 ) 4. On sait que sin ) = cos et une dernière étape permet de calculer f 4 ) en utilisant la dernière décomposition = qui donne,,, ) + 4

5 5. Puisque = 1 on obtient finalement f 4 ) = puis f ) = cos ). Le graphe d évaluation détaillé de f ) est donc, ), ) cos sin, ) ln, ) de sorte que [ sin ) cos ) ln ] f ) = sin ) + cos ) ln + f ) En pratique on n a pas besoin d aller autant dans les détails et on pourra utiliser des blocs moins précis. Le graphe d évaluation d une fonction usuelle stricte f est utile pour le calcul de la dérivée f sous deux aspects différents : Il fournit un algorithme pour le calcul de f, et c est ainsi qu un programme de calcul formel procède pour dériver. Il nous sert comme moyen de contrôle : si nous sommes en train de calculer correctement une dérivée, alors nous sommes en train de parcourir le graphe «du bas vers le haut», dérivant les opérations élémentaires et blocs élémentaires en chemin..3 Dérivée des autres fonctions standard Théorème 3. On dispose des formules suivantes : 1. pour λ R la dérivée de la constante λ = λ1 est 0. pour α R on a α ) = α α 1 3. = sgn 4. cos ) = sin 5. tan ) = 1 + tan = 1 cos 6. cosh ) = sinh et sinh ) = cosh 7. tanh ) = 1 tanh = 1 cosh Démonstration. 1. On utilise l homogénéité : λ1) = λ1 = λ0 = 0. D après la règle de dérivation de la composition puis l homogénéité : exp α ln )) = exp α ln ) α ln ) = exp α ln ) α ln ) = exp α ln ) α = α α = αα 1 3. La règle de dérivation de la composition et ) donne ) = 1 ) 1/ 1 = 5

6 4. On utilise encore la règle de dérivation de la composition, ainsi que l additivité, 1) et l homogénéité : π )) π ) π π )) sin = cos 0 1) = sin = sin 5. Il s agit d appliquer la règle de dérivation d un quotient et 4) : ) sin = sin ) cos sin cos ) cos cos = cos + sin cos D une part cos +sin cos 6. et 7) sont faciles. = 1 + sin cos ) alors que l autre égalité provient de la relation cos + sin = 1. Exercice 4. Montrer qu on dispose des formules suivantes : 1. n ) = n n 1. ) = 1 Exercice 5. Former le graphe d évaluation de la fonction usuelle symbolique F ) = +sin ) 1+ln). Déterminer la dérivée de F..4 Ensemble de définition de la dérivée Théorème 6. Soit f une fonction usuelle symbolique et soit f sa dérivée. Alors l ensemble de définition de la fonction usuelle stricte associée à f est contenu dans l ensemble de définition de la fonction usuelle stricte associée à f. En particulier D f D f = D f. Remarque 7. Cette propriété des fonctions usuelles strictes n est pas satisfaite pour des classes de fonctions plus générales, comme par exemple les fonctions usuelles étendues que nous verrons après les limites. Il est néanmoins essentiel de retenir ce théorème, car la plupart des fonctions que nous allons rencontrer dans les semestres à venir sont construites du moins «par morceaux» de fonctions usuelles strictes. Exercice. La démonstration de ce théorème suit un raisonnement similaire à celui du paragraphe..1. Détaillonsle : Soit f un bloc élémentaire. Montrer que D f D f. Soient f et g des fonctions usuelles telles que D f D f et D g D g. Soit op une opération élémentaire. Notons h la fonction usuelle stricte opf, g). Montrer que D h D h. Conclure..5 Variations Définition 8. Ici f : R R est une fonction réelle et on choisit un sous-ensemble A D f. 1. On dit que f est croissante sur A si pour tous réels x y de A on a f x) f y). Si, de plus, à chaque fois que l on a x < y la relation f x) < f y) est vérifiée, on dira que f est strictement croissance sur A.. On dit que f est décroissante sur A si pour tous réels x y de A on a f x) f y). Si, de plus, à chaque fois que l on a x < y la relation f x) > f y) est vérifiée, on dira que f est strictement croissance sur A. Soit I un intervalle de R. On définit l intérieur I de Iet la fermeture Ide Ide la manière suivante. Soient a et b des réels avec a > b alors 6

7 I I I [a, a] [a, a] [a, b] ou [a, b[ ou ]a, b] ou ]a, b[ ]a, b[ [a, b] [a, + [ ou ]a, + ] ]a, + ] [a, + [ ], b] ou ], b[ ], b[ ], b] ], + [ ], + [ ], + [ Table 1 Intérieur et fermeture d un intervalle Un intervalle I R est dit ouvert si I = I et fermé si I = I. Le théorème suivant sera démontré dans un semestre ultérieur : Théorème 9. Soit f une fonction usuelle sur un intervalle I D f. 1. f est positive sur I si, et seulement si, f est croissante sur I.. f est négative sur I si, et seulement si, f est décroissante sur I. 3. f est strictement positive sur I si, et seulement si, f est strictement croissante sur I. 4. f est strictement négative sur I si, et seulement si, f est strictement décroissante sur I..6 Dérivées d ordre supérieur Partant d une fonction usuelle symbolique f ) on construit sa dérivée première f ). La dérivée de cette dernière est la dérivée seconde f ) ) de f ), ce que l on note f ). Une notation plus standard existe pour les dérivées d ordre arbitrairement grand : on pose f 0) ) := f ) pour n N on pose f n+1) ) := f n)) ) Cela permet de définir de proche en proche la dérivée n ième de f ), notée f n) ). 7

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