TERMINALE S : Correction du bac blanc = e i 5π

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1 Exercice 1 : TERMINALE S : Correction du bac blanc 014 Partie 1 : 1 ) (+i)( i) = 1 = 1, donc faux. ) On considère les points : A(4 i) ; B(1+5i) et C(,5+i). Alors le vecteur AB a pour affixe -+8i et le vecteur AC a pour affixe -1,5+4i. On remarque que AB = AC donc les vecteurs sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés. ) On utilise une forme trigonométrique : +i = e i 5 π 6. On en déduit que ( +i) 014 = 014 e i 5π Or 5 π 6 014=10070 π =1678π+ π 6. Finalement, ( +i) 014 = 014 e i π = ( i ) qui n'est pas imaginaire pur... Partie : Réponses du QCM : 1 : a) : c) et d) : a) 4 : b)- c) et d). Exercice : 1 ) Pour tout x de R +, f est dérivable et f ' ( x)= 5 ( x+1). Donc f ' est positive sur R + et donc f est croissante sur R +, avec f(0) = 1. ) u 0 =0 ;u 1 = f (u 0 )=1 ;u = f (u 1 )=,5; u = f (u )= 44 9 et f (u 7 )= 5. ) Représentation graphique de la suite u : y x -1 4 ) On conjecture que la suite (u n ) semble croissante et convergente, vers une limite aux environ de 5,5 par exemple...

2 5 ) Soit P n : pour tout n de N, 0 u n 6. P 0 est vraie puisque u 0 = 0. On admet P n pour n fixé, c'est-à-dire 0 u n 6. Alors f(0) f( u n ) f(6) car f croissante sur R + Or f(0) = 1 et f(6) = 7 7 < 6, donc 1 u n+1 6 et P n P n+1. Finalement la suite u n est bornée... 6 ) Même principe : soit (T_n) la propriété u n+1 u n pour tout entier n, qui traduit le fait que u n est croissante... T 0 est vérifiée puisque u_0 = 0 et u_1 = 1. On admet T n : u n+1 u n, alors f (u n+1 ) f (u n ) puisque f est croissante sur R +. ce qui correspond à u n+ u n+ 1 donc P n P n+1... et u n est croissante sur N. 7 ) La suite (u n ) étant croissante et majorée par 6 est donc convergente, d'après un th. du cours. De plus la limite L de la suite vérifie L 6. 8 ) L'équation f(x) = x 6(x+1) 5 = x(x+1) en multipliant par x+1 (pour x -1). Soit : x² 5x 1 = 0, qui a pour solutions : x 1 = 5+ 9 et x = 5 9. On a donc = qui est la limite de la suite (u n ). 9 ) L'algorithme permet de donner le plus petit entier n pour lequel u n dépasserait la valeur de 5,. Or comme on l'a vu, (u n ) est croissante et convergente vers 5,19 < 5,. La valeur 5, n'étant pas atteinte, il n'y a donc pas de terme de la suite (u n ) dépassant 5,. L'algorithme ne sort pas de la boucle «tant que»... Exercice : (candidats n'ayant pas choisi la spécialité maths) 1.a. 1.b. p(e 1 )= p(d E 1 )= p(d) p D (E 1 )=0,4 0,7=0,8 1.c. Première méthode : p (F)= p( D)+ p(ē 1 )+ p(ē )=(1 0,4)+0,4 (1 0,7)+0,8 (1 0,75)=0,6+0,1+0,1=0,9 Deuxième méthode : p(f)=1 p(d E 1 E )=1 0,4 0,7 0,5=1 0,07=0,9.a. Les dossiers des cinq candidats sont examinés de manière indépendante avec pour chaque candidat, deux issues possibles : «être recruté» (succès p=0,07) et «ne pas être recruté» (échec). On a donc une répétition de 5 expériences de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p=0,07. La variable aléatoire X compte le nombre de succès, elle suit donc une loi binomiale de paramètres 5 et 0,07.

3 .b. p(x=k)=( n k) pk (1 p) n k Donc p(x=)=( 5 ) 0,07 (1 0,07) 5 =10 0,07 0,9 p(x=) 0,09. Il faut déterminer la valeur de n à partir de laquelle p(x 1) 0,999. p(x 1)=1 p(x=0)=1 0,9 n On réalise un tableau de valeurs de 1 0,9 n sur la calculatrice et on constate que 1 0,9 95 <0,999 et 1 0,9 96 >0,999. Il faut donc au minimum 96 dossiers pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999. Exercice n : (candidats ayant choisi la spécialité maths) Partie A 1. Si a est pair, c'est à dire a 0 [] alors a² 0 [] donc a²+9 9 [] c'est à dire a²+9 1 [] Or, si n>0 n 0 [] l'équation a +9= n n'a donc pas de solution. Si n = 0, n =1 et a +9=1 n'a pas de solution. Donc si a existe, a est impair.. Bien évidemment il faut continuer le tableau! Si a est congru modulo 4 à 0 1 Alors a +9 est congru modulo 4 à 9 soit 1 [4] 10 soit [4] 1 soit 1 [4] 18 soit [4]. a +9 est donc congru soit à 1 soit à modulo 4. Or si n, 4 divise n donc n 0 [4], l'équation a +9= n n'a donc pas de solution. Si n=0, n =1 et l'équation a +9=1 n'a pas de solution. Si n=1, n = et l'équation a +9= n'a pas de solution. Dans tous les cas, l'équation a +9= n n'a pas de solution. Partie B 1. 0,8 0,. M =( 0,1 0,9). P 0 =(0,5 0,75) est la matrice probabiliste de l'année 008. P =P 0 M =(0,0475 0,6955) est la matrice probabiliste de l'année 011. En 011, la proportion des étudiants de la promotion 008 travaillant à l'étranger est donc de 0,75 % 4. P 10 =P 0 M 10 =(0,1 0,669) à 10 près. En 018, la proportion des étudiants de la promotion 008 travaillant à l'étranger sera de,10 %. En 018, la proportion des étudiants de la promotion 008 travaillant en France sera de 66,90 %.

4 Exercice 4 1. Conjecture A l observation de cette courbe, on peut conjecturer que la fonction f est croissante sur l intervalle [ ].. Pour tout réel x, f (x) x e x 1 x e x 1 x x( e x 1 x e x 1 1) x( (x )e x 1 1 ) Ainsi, pour tout x [ [, f (x) x g(x) où g est la fonction définie sur [ [ par g(x) (x )e x 1 1. Etude du signe de g(x) pour x réel de [ [ a. x [ [, g (x) 1 e x 1 (x ) e x 1 e x 1 (1 x ) (x )e x 1 (x ) 0 x [ [, g (x) 0 (g (x) s annule en x ) e x 1 0 b. On en déduit le tableau de variation de la fonction g. x - g (x) 0 g(x) g( ) avec g( ) e 4 1 1,0 c. La fonction g est strictement croissante et continue sur [ [. On en déduit que : sur [ 0], g(x) g(0) e 1 0 l équation g(x) 0 n admet aucune solution sur cet intervalle. sur [1 [, g(x) g(1) 0 l équation g(x) 0 n admet aucune solution sur cet intervalle. sur [0 1], g(0) g(x) g(1) d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation g(x) 0 possède une unique solution sur cet intervalle En conclusion, l équation g(x) 0 possède une unique solution sur [ [ et cette solution est dans [0 1]. g(0,) 0,011 d. 0, g(0,1) 0,0 0,1 e. On déduit du tableau de variation et de l existence de, le signe de g(x) : x g(x) Sens de variation de f sur [ [ a. pour tout x [ [, f (x) x g(x). On en déduit le signe de f (x) : x 0 + g(x) 0 f (x) 0 0 b. On en déduit le sens de variation de la fonction f : x 0 f(0) f(x) f( ) f( ) avec f( ) 9e 9 4 4,5 et f(0) 0 0, la conjecture de la question 1. est donc erronée. c. La fonction f étant décroissante sur [ ] 5. est solution de l équation g(x) 0. Ainsi, g( ) 0 ( ) e x e 1 x0 1 On en déduit : f( ) e x ( ) ( ) ( ) ( )

5 Barème Question points Détails 1. 0,5. 0,75 dérivée : 0,5 mise en facteur 0,5.a. 0,75 dérivé : 0,5 signe : 0,5.b. 0,5 variation : 0,5 (g( ) n est pas indispensable).c. 0,75 0,5 pour intervalle [0 1] (dont 0,5 pour valeurs de g(0) et g(1)) 0,5 pour le reste.d. 0,5 encadrement recherché : 0,5 ou 0.e. 0,5 4.a. 0,5 0,5 pour ligne x + 0,5 pour ligne f b. 0,5 0,5 variations correctes c. 0,5 d. 0,75 Total 5 0,5 pour e x ,5 pour f( )