Repérage et vecteurs. 1- Egalité de vecteurs. Palomèque Nicolas Géométrie vectorielle Bac Pro EDPI Détermination d un vecteur

Transcription

1 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI Repérage et ecters 1- Egalité de ecters 1.1- Détermination d n ecter Un ecter non nl est déterminé par : - sa direction - son sens - sa longer o norme. Exemple : et CD n'ont pas la même direction : ils ne peent donc pas aoir le même sens. et FE ont la même direction mais pas le même sens. et GH ont la même direction et le même sens Vecters égax Propriété 1 : D Si = CD alors le qadrilatère DC est n parallélogramme. C Propriété 2 : Si le qadrilatère CD est n parallélogramme alors = DC ; D = C ; = CD D = C - 1 -

2 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI 1.3- Notation La norme d ecter est notée. Si est n représentant d ecter, alors = = 2. Somme de ecters 2.1- Relation de Chasles C + C = C 2.2- «Règle d parallélogramme» + C = D 2.3- L'addition ectorielle est commtatie Por tos ecters et, + =

3 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI 3. Vecter nl Vecter opposé Différence de ecters 3.1- Vecter nl Tot ecter ayant son extrémité confonde aec son origine est appelé ecter nl. Il est noté : 0 Propriétés : Sa norme est nlle, sa direction et son sens ne sont pas définis. = = MM = 0 qels qe soient les points, et M Opposé d'n ecter D'après la relation de Chasles, + = = 0 ; Posons = On écrit qe : = = On dit qe : le ecter est l'opposé d ecter le ecter est l'opposé d ecter Propriétés : Dex ecters opposés ( non nls ) ont la même direction, la même norme et sont de sens contraire Différence de dex ecters On note le ecter somme + ( ) Por constrire le ecter il fat donc commencer par représenter le ecter (opposé de ) pis constrire la somme + ( ) - 3 -

4 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI 4. Prodit d n ecter par n nombre réel Exemples : Soit n ecter non nl Le ecter 2 est le ecter : Le ecter 3 2 est le ecter : de même direction qe le ecter de même sens qe le ecter car 2 est positif de longer 2 de même direction qe le ecter de sens opposé a ecter car 3 est négatif 2 de longer 3 2 ( car ne longer est positie ) Remarqes : Por tos ecters et por tos nombres réels k et k', 0 = 0 k 0 = 0 k ( + ) = k + k (k + k') = k + k' 5. Colinéarité de dex ecters 5.1- Définition Dex ecters non nls et sont dits colinéaires s'ils ont la même direction Par définition, 0 est colinéaire à tot ecter

5 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI 5.2- Propriétés Si les ecters non nls et sont colinéaires alors il existe n nombre réel k tel qe : = k S'il existe n nombre réel k tel qe = k.. alors et sont colinéaires. Exemples = 2 k = 2 6. pplication de la colinéarité 6.1- Parallélisme de dex droites = 1 2 k = 1 2 Soient (, ) et (C, D) dex coples de points distincts. Por proer qe les droites () et (CD) sont parallèles, il sffit de démontrer qe les ecters et CD sont colinéaires, c'est-à-dire q'il existe n nombre k tel qe : = k CD 6.2- lignement de points Il n'existe pas de nombre k tel qe = k D C Soient, et C trois points distincts. Por proer qe les points, et C sont alignés, il sffit de démontrer, en tilisant la colinéarité, qe les droites () et (C) sont parallèles - o bien () et (C), o encore (C) et (C) C 6.3- Caractérisation d milie I d'n segment [] Propriété : I milie d segment [] se tradit ectoriellement par la relation de colinéarité I = 1 o par 2 I = I o encore par I + I = 0 I - 5 -

6 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI 7. Propriétés élémentaires dans n repère 7.1- Propriétés des ecters dans ne repère (O, i ; j ) Exemple M (2 ; 6) signifie qe OM = 3 i + 2 j. On note OM 3 2 j i Coordonnées d ecter Pisqe = O + O = O O, les coordonnées d ecter sont : x x y y Coordonnées d milie I d'n segment [] Pisqe I = I, on a O + OI = IO + O et encore 2 OI = O + O Par site 2x I = x + x. 2y I = y + y Les coordonnées d milie I de [] sont donc : I x + x y + y, Propriétés des ecters dans n repère Orthonormal Orthogonalité On dit qe 2 ecters non nls sont orthogonax lorsq'ils définissent des directions orthogonales, c'est à dire qe les droites spports des représentants de ces ecters sont perpendiclaires. On note alors On dit qe ( O ; i ; j ) est n repère orthonormal lorsqe i j et i = j = 1-6 -

7 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI Calcl de la norme d'n ecter La norme d ecter x y est : = x² + y² Calcl de la distance entre dex points Comme x x y y, la distance entre les points et est obtene à partir de : ² = (x x ) ² + (y y ) ² 8. Repère et coordonnées dans l espace 8.1 ase et repère Soient i, j et k trois ecters non coplanaires de l espace et O n point de l espace, alors : représentation classiqe d n repère orthonormal ( i, j, k ) est ne base des ecters de l espace k ( O ; i, j, k ) est n repère de l espace j i On dit qe le repère ( O ; i, j, k ) ( la base ( i, j, k ) ) est orthogonal, lorsqe les ecters i, j et k sont orthogonax dex à dex. Si, de pls, les ecters i, j et k sont nitaires ( ont por norme 1 ) alors, on dit qe le repère ( la base ) est orthonormal. O 8.2- Coordonnées d n point, d n ecter Soit ( O ; i, j, k ) n repère de l espace. tot point M de l espace, on pet associer n niqe triplet de réels ( x ; y ; z ) tel qe : OM = x i + y j + z k M z M y On dit qe ( x ; y ; z ) sont les coordonnées d point M dans le repère ( O ; i, j, k ) o qe ( x ; y ; z ) sont les coordonnées d ecter OM dans la base ( i, j, k ). x,i O M x, y et z sont respectiement l abscisse, l ordonnée et la cote d point M

8 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI 8.3- Propriétés Les propriétés et les règles de calcl es dans le plan por les coordonnées de ecters et de points se prolongent dans l espace en ajotant simplement ne troisième coordonnée. Par exemple, le milie I de [ ] a por coordonnées : I x + x, 2 y + y, 2 z + z 2 9. Norme et distance Dans n repère orthonormal, si n ecter a por coordonnées ( a ; b ; c ) alors : = a ² + b ² + c ² si les points et ont por coordonnées respecties ( x, y, z ) et ( x, y, z ), alors : Comme dans le plan = ( x x ) ² + ( y y ) ² + ( z z ) ² Pree : On note M le point tel qe OM =. Les coordonnées de OM sont ( a ; b ; c ) et ² = OM Pisqe le repère est orthonormal, le triangle OM M est rectangle en M. Donc OM ² = a ² + b ² et M M ² = OM ² = c ² On en dédit, d après le théorème de Pythagore qe : M c M b ²= OM ² = OM ² + OM ² = a ² + b ² + c ² = a,i O M - 8 -

9 Palomèqe Nicolas Géométrie ectorielle ac Pro EDPI - 9 -