LES SUITES NUMERIQUES

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1 LES SUITES NUMERIQUES I. Défiitio - Vocablaire - Notatios O appelle site mériqe tote foctio d'e partie P o ide de, das est le terme d'idice de la site. C'est l'image par de (o arait p la oter () mais est la otatio coetioelle abrégée). La site se ote ( ) P o pls simplemet ( ) o.. Trois faços de défiir d e site : a. Par tablea (Explicite) Exemple : Releé des températres etre h et 7h c est e site fiie. b. Défiitio Foctioelle Il s'agit ici de doer e formle explicite permettat de calcler por tot etier de P. La site défiie par : IN, + + O demade de calcler :,, c. Défiitio Itératie (Par récrrece) Il s'agit de doer e formle qi permet de calcler chaqe terme e foctio d précédet. w Exemple : soit w défiie par { w+ 3w +, por tot O demade de calcler w, w, w 3,... w 3w w 3w w3 3w Remarqe : il est impossible de calcler w sas aoir calcler les premiers termes II. Qelqes propriétés des sites. Sites Majorées, Miorées, Borées. Ue site est dite majorée (respectiemet miorée) s'il existe réel M ( resp. m) tel qe : por tot etier de P, M ( resp. m) Ue site est borée si elle est à la fois miorée et majorée. Exemples : La site défiie par : IN, est miorée par, o majorée. La site défiie par : IN, + est miorée par, majorée par, doc elle est borée. + R Cors sr les sites réelles Page /5

2 Ue site est:. Ses de ariatio d'e site : * croissate (respectiemet strictemet croissate) si : por tot etier de P, + (resp. < + ) * décroissate (respectiemet strictemet décroissate) si : por tot etier de P, + (resp. > + ) * costate si : por tot etier, + Voici trois méthodes classiqes por étdier le ses de ariatio d'e site : Étdier le sige de ( + ) : Si por tot etier de P, + est positif, alors ( ) est croissate. Si por tot etier de P, + est égatif, alors ( ) est décroissate + Comparer le qotiet et lorsqe est à aler positie: + Si por tot etier de P, est positif et >, alors ( ) est croissate. + Si por tot etier de P, est positif et <, alors ( ) est décroissate. + Attetio : Si por tot etier de P, est égatif et >, alors ( ) est décroissate. Si f(), o étdie les ariatios de f ( dériée, foctio composées etc) Si f est croissate sr R + alors ( ) est croissate Si f est décroissate sr R + alors ( ) est décroissate III. Sites Arithmétiqes et Géométriqes. Sites arithmétiqes a. Défiitio Ue site est dite arithmétiqe s'il existe réel r tel qe : por tot etier de P, + + r. r s'appelle la raiso arithmétiqe de la site. Remarqe : + - r. Doc, si r >, la site est croissate si r <, la site est décroissate si r, la site est costate. Cors sr les sites réelles Page /5

3 b. Expressio de e foctio de : O motre (par récrrece), qe por tot etier, + r. Attetio: si le premier terme est p, p + ( p)r c. Somme des termes + S ( + ) Attetio si le premier terme est pas, il fat tiliser la formle pls géérale : premier terme + derier terme S ombre de termes. Sites géométriqes a. Défiitio Ue site est dite géométriqe s'il existe réel q tel qe : por tot etier de P, + q. q s'appelle la raiso géométriqe de la site. Remarqe : si, + / q. Doc, si q > : si >, la site est croissate mais si <, la site est décroissate si < q <, et si >, la site est décroissate mais si <, la site est croissate si q, la site est costate et si q <, la site est alterée. b. Expressio de e foctio de O motre (par récrrece), qe por tot etier, q. Attetio: si le premier terme est p, p q -p c. Somme des termes Si q, S ( + ) o Si q, S q q premier terme ombre de termes q - q- IV. Représetatios graphiqes des sites. Sites f() (défiie de faço explicite) Exemple : + + Cors sr les sites réelles Page 3/5

4 y x La corbe grise est la corbe représetatie de la foctio Les poits roges sot les poits d abscisses etières x x + x +. Sites f() (défiie par récrrece) 6 4 Exemple : + et O trace la corbe représetatie de la foctio x 6 x 4 (e ble) et la droite d éqatio y x x (e gris) O commece par placer sr l axe des abscisses, o cherche so image, mais o le reoie sr l axe des l abscisses à l aide de la droite yx O commece par placer sr l axe des abscisses, o cherche so image, mais o le reoie sr l axe des l abscisses à l aide de la droite yx V. Limites des sites. Limite ifiie O dit qe la site ( ) ted ers + (resp ) si, por tot ombre A positif, l iégalité >A (resp < A) est raie à partir d certai rag. Cors sr les sites réelles Page 4/5

5 . Limite fiie O dit qe la site ( ) ted ers ombre l si, por tot ombre r, la distace l est ifériere à r à partir d certai rag. l éqiat à lim ( l) lim + 3. Sites coergetes + Lorsqe e site a e limite fiie alors elle est coergete Das tos les atres cas o dit q elle est diergete. Exemples : La site ( ) défiie por tot par est coergete et sa limite est La site ( ) défiie por tot par est diergete car sa limite est + La site (w ) défiie por tot par w ( ) est diergete car elle a pas de limite 4. Limites de référece o Si f() alors lim lim f(x) x + o Site arithmétiqe de raiso r Ue site arithmétiqe de raiso o lle est tojors diergete Si r strictemet positif, elle dierge ers + Si r strictemet égatif, elle dierge ers Si r est l, la site est costate elle coerge ers o Site géométriqe de raiso q et de premier terme o l Si q> et positif elle dierge ers + Si q> et égatif elle dierge ers Si q, la site est costate elle coerge ers Si < q <, la site coerge ers Si q, la site a pas de limite, elle est oscillate 5. Limites et comparaiso, et w état trois sites érifiat : à partir d certai rag, w Si et w sot coergete de même limite l alors est coergete de limite l Si dierge ers +, alors dierge ers + Si w dierge ers, alors dierge ers Cors sr les sites réelles Page 5/5