Une conjecture en théorie des partitions

Transcription

1 Ue cojectue e théoie des patitios mathco/ Ja 1999 Michel Lassalle Ecole Polytechique Palaiseau, Face labiu-bodeauxf Jauay 9, 1999 Abstact Nous pésetos ue cojectue qui se fomule de maièe élémetaie das le cade de la théoie des patitios 1 Itoductio Nous eveos das cette Note su ue cojectue que ous avos été coduit à fomule das u pécédet aticle [1] Cette cojectue s expime das lecadedelathéoie classique des patitios Il est emaquable que sa fomulatio e écessite que des otios extêmemet élémetaies Nous la pésetos ici sous sa fome la plus atuelle, et ous explicitos plusieus de ses coséqueces 2 Notatios Ue patitio λ est ue suite décoissate fiie d eties positifs O dit que le ombe d eties o uls est la logueu de λ Ooteλ =(λ 1,, λ ) et = l(λ) O dit que λ = λ i est le poids de λ, et pou tout etie i 1 que m i (λ) =cad{j : λ j = i} est la multiplicité dei das λ O idetifie λ à so diagamme de Fees {(i, j) :1 i l(λ), 1 j λ i }Opose z λ = i mi(λ) m i (λ)! Cete Natioal de la Recheche Scietifique, Face 1

2 Nous avos itoduit das [1] la gééalisatio suivate du coefficiet biomial classique Soiet λ ue patitio et u etie 0 O ote λ le ombe de faços dot o peut choisi poits das le diagamme de λ de telle sote que au mois u poit soit choisi su chaque lige de λ Soiet X ue idétemiée et u etie 1 O ote désomais (X) = X(X +1)(X + 1) [X] = X(X 1)(X +1) les coefficiets hypegéométiques ascedat et descedat classiques O pose ( ) X = [X]! 3 Note cojectue Il s agit d ue gééalisatio de la popiété classique suivate, qui est pa exemple démotée au Chapite 1, Sectio 2, Exemple 1 du live de Macdoald [3] Soit X ue idétemiée Pou tout etie 1oa ( 1) l() X l() z = X l() z = ( ) X, ( X + 1 Ces deux elatios sot équivaletes e chageat X e X Das [1] ous avos fomulé la cojectue suivate qui gééalise ce ésultat Soit X ue idétemiée Pou tous eties,, s 1ousavos cojectué l idetité l() ( 1) l() X l() 1 ( i ) z s ) ( + s 1 ) mi(,s) k=1 ( )( ) X s s k k 2

3 Mais il est bie cou ( [2], p13) que la suite de polyômes {[X], 0} est du type biomial, c est-à-die qu elle satisfait l idetité [X + Y ] = ( ) [X] k k [Y ] k k 0 Nous sommes aisi coduits à pésete ote cojectue sous la fome suivate qui est beaucoup plus atuelle Cojectue 1 Soit X ue idétemiée Pou tous eties,, s 1 o a l() ( 1) l() X l() 1 ( i ) z s Ou de maièe équivalete l() X l() 1 ( i ) z s ( )[( ) ( )] + s 1 X X s ( )[( ) ( )] + s 1 X + + s 1 X + 1 L équivalece est obteue e chageat X e X Comme o a =0 si>, la Cojectue 1 est tiviale pou > Comme o a =0 si<l(), la sommatio au membe de gauche de la Cojectue 1 est limitée aux patitios telles que l() Chacu des membes est aisi u polyôme e X de degé 1 Comme o a =1, la Cojectue 1 ped la fome suivate pou = 3

4 Cojectue 2 Soit X ue idétemiée Pou tous eties, s 1 o a ( 1) l() X l() 1 l() [( ) ( )] ( i ) X X s s z z Ou de maièe équivalete X l() 1 l() [( ) ( i ) s X + + s 1 ( X + 1 )] La Cojectue 2 est véifiée pou s = 1 ca o etouve das ce cas la popiété classique éocée au commecemet de cette sectio 4 Commetaies Nous avos véifié la Cojectue 1 das les cas paticulies suivats: (i) pou 7avec et s abitaies (au moye d u calcul explicite), (ii) pou s =1avec et abitaies (c est le théoème 1 de [1]), (iii) pou =1, 2, 3avec et s abitaies (voi ci-dessous) E gééal la Cojectue 1 se décompose e 1 cojectues obteues e idetifiat les coefficiets de X k (0 k 1) das chaque membe Pou k = 0 la sommatio au membe de gauche est limitée à la patitio () de logueu 1 E idetifiat les temes costats das chaque membe, o obtiet ( ) ( )( ) ( 1) + s 1 s () s Cette idetité esttès facilemet véifiée D aute pat o a le développemet [( ) ( )] X X s = 1 ( ) sx 1 ( 1) s( + s 1)X 2 + etc! 2 Le coefficiet de X 1 au membe de gauche de la Cojectue 1 coespod à la sommatio su les patitios de logueu Comme o a l() = i = i mi(), l() e idetifiat les coefficiets de X 1 das chaque membe, o obtiet la 4

5 Cojectue 3 Pou tous eties,, s 1 o a ( 1)! m i ()(i) s ( ) + s 1 = s! m i ()! l()= Le coefficiet de X 2 au membe de gauche de la Cojectue 1 coespod à la sommatio su les patitios de logueu 1 O voit facilemet qu o a = 12 l() l()+1 ( l()) i E idetifiat les coefficiets de X 2 das chaque membe, o etouve la même Cojectue 3, mais écite e emplacat pa 1 La Cojectue 3 est véifiée pou s =0ets =1,avec et abitaies (voi [1], page 462) Pou s = 0 (esp s =1)lemembedegaucheestégal au ombe de compositios (c est-à-die de multi-eties) de poids et de logueu (esp ce ombe multipliépa/) La Cojectue 3 est égalemet véifiée pou =1et =2,avec et s abitaies Pou = 1 elle deviet l idetité ( ) + s 1 () s = s! s Pou = 2 elle s écit 1 ( ) + s 1 (i) s = s! 2 Cette idetitéestvéifiée ca elle est équivalete àlapopiété classique suivate ( ) N 1 N ( ) i = k k 1 Nous gééalisos ce ésultat au moye de la cojectue suivate Cojectue 4 Pou tous eties,, s 1 o a ( 1)! m i ()(i) s +1 ( ) i 1 = (i) 2 s m i ()! l()= 5

6 La Cojectue 4 pemet de démote facilemet la Cojectue 3 au moye d ue écuece su l etie Nous l avos véifiée explicitemet pou 7avec et s abitaies Refeeces [1] M Lassalle, Quelques cojectues combiatoies elatives à la fomule classique de Chu -Vademode, Adv i Appl Math 21 (1998), [2] D Loeb, GC Rota, Fomal powe seies of logaithmic type, Advi Appl Math 75 (1989), [3] IG Macdoald, Symmetic fuctios ad Hall polyomials, Claedo Pess, secod editio, Oxfod,