Etude de limites de suites monotones

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1 Etude de ites de suites monotones I) Définition On dit que la suite ( ) est majorée lorsqu il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, M. On dit que M est un majorant de la suite ( ). On dit que la suite ( ) est minorée lorsqu il existe un nombre réel m tel que, pour tout entier naturel n, m.on dit que M est un minorant de la suite ( ). On dit que la suite ( ) est bornée lorsqu elle est à la fois majorée et minorée. Exemple 1: La suite ( ) définie par = n Pour tout entier naturel n : n donc Pour tout entier naturel n :. ( ) est donc majorée par. Exemple 2: La suite ( ) définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par = 3 n + 2 Donc pour tout entier naturel n 1: 1 n 1 On obtient donc : 3 n 3 Donc pour tout entier naturel n 1: 3 n Pour tout entier naturel n : 1 ( ) est donc minorée par 1. La suite ( ) définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par = 1 n Pour tout n 1 : 0 < 1 n 1 La suite ( ) est minorée par 1 et majorée par 0 elle est donc bornée. II) Théorèmes 1) Théorème 1 Toute suite croissante majorée est convergente. Toute suite décroissante minorée est convergente. Ce théorème est admis.

2 Remarques : Ce théorème affirme la convergence mais il ne nous permet pas de connaitre précisément sa ite l Pour une suite croissante, si M est un majorant de la suite ( ), on peut seulement affirmer que l M. Pour une suite décroissante, si m est un minorant de la suite ( ), on peut seulement affirmer que l m Exemple : Soit ( ) la suite définie dans N par : +1 = 4 3 et u 0 = 2 Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 2 3 Démontrer que la suite ( ) est croissante Que peut-on dire de la convergence de la suite ( )? Réponse : 1) Pour n 0, notons P n la propriété : 2 3 P0 est vraie. En effet lorsque n = 0 u 0 = 2, on a bien 2 u 0 3 Supposons que pour un entier n quelconque fixé on ait Pn vraie c est-à-dire : 2 3 alors : u 1 n u 3 n 2 d où: on obtient : on obtient donc : d où : on a bien : 2 2, +1 3 ce qui implique que Pn+1 est vraie On a donc démontré le caractère héréditaire de cette propriété. On peut donc conclure que la proposition est vraie pour tout entier naturel n Donc pour tout entier naturel n : 2 3 Montrons que la suite ( ) est croissante : pour tout entier naturel n, +1 = 4 3 u = 4u 2 n 3 n Etudions le signe de Soit f(x) = x 2 + 4x 3 = u 2 n Δ = = 4

3 4 + 4 Ce polynôme a donc deux racines : x 1 = 2 On obtient le tableau de signe suivant : 4 4 = 1 et x 2 = 2 = 3 x f(x) f(x) 0 sur [2 ; 3], Comme pour tout entier naturel n: 2 3 alors Le dénominateur étant aussi positif 2 Donc pour tout entier naturel n: Donc pour tout entier naturel n: +1 0 Ce qui prouve que la suite ( ) est croissante. 2) La suite ( ) est croissante et majorée par 3 elle est donc convergente. Attention, nous ne connaissons pas cette ite, ce n est pas parce qu elle est majorée par 3 que sa ite est 3!! 2) Théorème 2 Toute suite croissante non majorée a pour ite +. Toute suite décroissante non minorée a pour ite -. Démonstration : Soit ( ) une suite croissante non majorée. Dire qu une suite est majorée signifie qu il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n M La suite ( ) est non majorée, alors quel que soit le nombre réel A, il existe un indice N tel que u N > A La suite ( ) est croissante, il en résulte que pour tout entier naturel n N, u N > A Ce qui signifie : quel que soit le nombre réel A, l intervalle ] A ; + [ contient donc tous les termes de la suite à partir d un certain rang N. La suite ( ) a donc pour ite + De façon analogue on démontre la deuxième partie de ce théorème. Remarque : Une suite non majorée ne tend nécessairement vers +. Une telle suite a des termes aussi grands que l'on veut puisqu'elle n'est pas majorée, mais elle n'a pas nécessairement ses termes aussi grands que l'on veut à partir d'un certain rang comme par exemple : Soit ( ) la suite définie dans N par = (( 1) n + 1)n

4 u 0 = (( 1) 0 + 1) 0 = 0 u 1 = (( 1) 1 + 1) 1 = 0 u 2 = (( 1) 2 + 1) 2 = 4 u 3 = (( 1) 3 + 1) 3 = 0 u 4 = (( 1) 4 + 1) 4 = 8 Plus généralement pour tout entier naturel n, u 2n = 2n et u 2n+1 = 0 Cette suite ne peut donc pas avoir pour ite + même si elle n est pas majorée. Exemples : Soit ( ) une suite définie sur N par = 2n 4 Cette suite est décroissante et non minorée elle a donc pour ite Soit ( ) une suite définie sur N par = n + 4 Cette suite est croissante et non majorée elle a donc pour ite + 3) Théorème 3 Si une suite ( ) est croissante et admet pour ite l, alors pour tout entier naturel n, l. Si une suite ( ) est décroissante et admet pour ite l, alors pour tout entier naturel n, l. Exemple 1 : Soit ( ) une suite définie pour tout n 1 par : = 4 3 n +1 = 4 3 n+1 pour tout n 1 : +1 = 4 3 n+1 (4 3 n ) Donc pour tout n 1 : +1 = 3 n 3 n+1 = 3n+3 3n n(n+1) = 3 n(n+1) > 0 Donc la suite ( ) est croissante. 3 = 0 donc n + n 4 3 n + n = 4 n + = 4 Comme ( ) est une suite croissante et admet 4 pour ite alors : Pour tout entier naturel n 1 4

5 Exemple 2 : Soit ( ) une suite définie pour tout n 1 par : = 7 + n² +1 = 7 + (n+1)² pour tout n 1 : +1 = 7 + Donc pour tout n 1 : +1 = (n+1)² n² Or, pour tout n 1 : n + 1 > n > 1 donc (n + 1)² > n² (n+1)² (7 + n² ) on obtient alors pour tout n 1 : : 1 (n+1)² < 1 n² (n+1)² < n² +1 = et donc : (n+1)² n² < 0 Donc la suite ( ) est décroissante. n + n² n + = 7 = 0 donc n n² = 7 Comme ( ) est une suite décroissante et admet 7 pour ite alors : Pour tout entier naturel n 1, 7