Exercice n 1 Déterminer des primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué : 5 a) f (x)= (2 x+1) 3 sur I =] 1

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1 Fich Bac S n 0 Trminal S Intégration - Calcul ds primitivs Exrcic n Détrminr ds primitivs ds fonctions suivants sur l'intrvall indiqué : 5 a) f (x)= (2 x+) 3 sur I =] 2 [ ;+ b) g ( x)= ln x sur I =]0 ;+ [ x c) h( x)= 3 x sur R d) k (x)=6sin(2 x)cos 3 (2 x) sur R Exrcic n 2 L plan st muni d'un rpèr orthonormal (O ; i ; j) d'unité graphiqu 2cm. On considèr la fonction f défini sur R par f ( x)=( x 2 2 x ) x. Soit F la fonction défini sur R par F (x)=(a x 2 +b x+c) x où a, b t c sont ds réls à détrminr. ) Calculr la dérivé d F n fonction d a, b t c. 2 ) Détrminr a, b t c pour qu F soit un primitiv d la fonction f. 3 ) Détrminr la primitiv F d la fonction f qui prnd la valur 5 n 0. 4 ) Calculr l'air du domain du plan délimité par la courb d f, l'ax ds abscisss t ls dux droits d'équations x=0 t x=2. On donnra ctt air n u.a. puis n cm 2. Exrcic n 3 Soit n un ntir naturl. On not f n la fonction défini sur R par On pos, pour tout ntir naturl n : u n = 0 f n ( x)dx. f n ( x)= n x a ) Calculr u. b) Montrr qu u 0 + u =. c) En déduir la valur xact d u 0. 2 a) Démontrr qu pour tout x>0 t tout ntir naturl n : nx x n x b) En déduir l sns d variation d la suit (u n ). 3 ) Démontrr qu pour tout ntir naturl n : 0 u n 0 4 a) Calculr l'intégral I n = 0 b) En déduir qu la suit (u n ) st convrgnt t calculr sa limit. + x Trm.S FichBACn 0 Intégration-Primitivs Abdllatif ABOUHAZIM. Lycé Fustl d Coulangs - Massy Pag /7

2 Corrigé Exrcic n L'ART DE LA TRANSFORMATION! Détrminr ds primitivs ds fonctions suivants sur l'intrvall indiqué : 5 a) Rchrch d'un primitiv d f (x)= sur (2 x+) 3 I =] 2 [ ;+ On pos : u(x)=2 x+ donc : u ' (x)=2. Puis, On transform f (x) n fonction d u t d u'. Par suit : f (x)= 5 u 3= u 3= 5 2 u' u = u Or, un primitiv d u ' u 3 st : u' u 3 u 2 +C= +C = 2 2 u 2+C Donc un primitiv d f st la fonction F défini par : F (x)= u 2 +C D'où : F (x)= 5 4(2 x+) 2 +C b) Rchrch d'un primitiv d g ( x)= ln x x On pos : u(x)=ln x donc : u ' (x)= x. sur I =]0 ;+ [ Puis, On transform g(x) n fonction d u t d u'. Par suit : g (x)= ln x x = x ln x=u ' u=u ' u. Or, un primitiv d u ' u st : u 2 2 +C= 2 u2 +C Donc un primitiv d g st la fonction G défini par : G(x)= 2 (ln x)2 +C c) Rchrch d'un primitiv d h( x)= 3x sur R Ctt fonction n fait pas parti ds fonctions d référnc, ni ds fonctions usulls, ni ds fonctions composés. Nous allons lui appliqur un transformation. L'xponntill étant défini sur R t touts ss valurs sont (strictmnt) positivs, la fonction h st bin défini t continu sur R ; donc ll admt ds primitivs. D'autr part, pour tout x R, h( x)= 3 x =( 3 x ) 2 = 2 x Et là, ça dvint plus simpl! Nous rconnaissons un form ax. On pos : u(x)= 3 2 x donc : u ' (x)= 3 2. Puis, On transform h (x) n fonction d u t d u'. Par suit : h(x)= 2 3 ( 3 2) 3 2 x = 2 3 u' u. Trm.S FichBACn 0 Intégration-Primitivs Abdllatif ABOUHAZIM. Lycé Fustl d Coulangs - Massy Pag 2/7 3

3 Or, un primitiv d la fonction composé u ' u st : u +C. Donc, un primitiv d h st la fonction H défini par : H (x)= x +C d) Rchrch d'un primitiv d k ( x)=6sin (2 x)cos 3 (2 x) sur R On pos : u(x)=cos(2 x) donc : u ' (x)= 2 sin(2 x). Puis, On transform k (x) n fonction d u t d u'. Par suit : k (x)= 3 ( 2sin(2 x)) (cos(2 x)) 3 = 3 u' u 3. Or, un primitiv d la fonction composé u ' u 3 st : 4 u4 +C. Donc, un primitiv d k st la fonction K défini par : K (x)= 3 4 cos4 (2 x)+c Exrcic n 2 L plan st muni d'un rpèr orthonormal (O ; i ; j) d'unité graphiqu 2cm. On considèr la fonction f défini sur R par f (x)=( x 2 2 x ) x. Soit F la fonction défini sur R par F (x)=(a x 2 +b x+c) x où a, b t c sont ds réls à détrminr. ) Calculr la dérivé d F n fonction d a, b t c. La fonction F s'écrit sous la form d'un produit u.v, avc u( x)=(a x 2 +b x+c) donc : u ' ( x)=2 a x+b t v (x)= x donc : v ' ( x)= x Comm (u.v)' =u '.v+u.v ', on a donc : F ' ( x)=(2 a x+b) x +(a x 2 +b x+c)( x ) donc F ' ( x)=(2 a x+b) x (a x 2 +b x+c) x On mt x n factur t on réduit l'xprssion ntr parnthèss pour obtnir : F ' ( x)=( a x 2 +(2 a b) x+(b c)) x 2 ) Détrminr a, b t c pour qu F soit un primitiv d la fonction f. F st un primitiv d la fonction f sur R si t sulmnt si : pour tout x R: F ' ( x)= f ( x). Par conséqunt : pour tout x R: ( a x 2 +(2 a b) x+(b c)) x =( x 2 2 x ) x. Comm pour tout x R: x 0 on a : a x 2 +(2 a b) x+(b c)= x 2 2 x Et, par idntification ds cofficints ds dux polynôms, on obtint : { a= { a= { a= 2a b= 2 donc 2 b= 2 donc b=0 b c= b c= c= CQFD. Par conséqunt : F ( x)=( x 2 +) x. Trm.S FichBACn 0 Intégration-Primitivs Abdllatif ABOUHAZIM. Lycé Fustl d Coulangs - Massy Pag 3/7

4 3 ) Détrminr la primitiv F d la fonction f qui prnd la valur 5 n 0. F st un autr primitiv d f sur R, donc il xist un constant C tll qu pour tout x R: F ( x)=f(x)+c. Mais alors, comm F vérifi la «condition initial» F (0)=5, on alors ls équivalncs suivants : F (0)=5 (ssi) ( 0 2 +) 0 +C =5 (ssi) +C=5 (ssi) C=4. Conclusion : La primitiv F d la fonction f qui prnd la valur 5 n 0 st la fonction défini par : F ( x)=( x 2 +) x ) Calculr l'air du domain du plan délimité par la courb d f, l'ax ds abscisss t ls dux droits d'équations x=0 t x=2. On donnra ctt air n u.a. puis n cm 2. Rappl : pour calculr un air ntr la courb d f t l'ax ds abscisss, sur [a ; b] ; il faut détrminr d'abord l sign d la fonction sur l'intrvall [a ; b] puis, sur la parti d l'intrvall où la fonction st positiv, l'air st égal à l'intégral d f ; sur la parti du domain où la fonction st négativ, l'air st égal à l'intégral d f. Dans notr cas, on étudi l sign d f ( x)=( x 2 2 x ) x sur [0 ; 2]. Comm pour tout x R: x > 0, on a : f ( x)>0 (ssi) x 2 2 x >0. On calcul l discriminant pour trouvr ls racins du trinôm s'il n xist : Δ=b 2 4 a c=( 2) 2 4 ( )=8. Comm Δ>0, l trinôm admt dux racins distincts : x = ( 2) = 2 = 2 0,442...<0 t x =+ 2 2,442...>2 L cofficint d x 2 étant positif, f (x) st positiv à l'xtériur ds racins t négativ ntr ls racins. Donc pour tout x [0 ; 2]: f (x )<0. Par conséqunt : l'air A du domain du plan délimité par la courb d f, l'ax ds abscisss t ls dux droits d'équations x=0 t x=2, st donné par : 2 A = 0 f (x)dx=[ F 2 (x)]0 = F (2) ( F (0))= F (0) F (2) A = [( 0 2 +) 0 ] [( 2 2 +) 2 ]=3 2 + Conclusion : A = u.a. (n unités d'airs). D plus comm OI = OJ = 2 cm, on a : u.a. = 2 2 = 4 cm², on a : A = 4(3 2 +) cm² (n cntimètrs carrés). J vérifi à la calculatric Sur TI, j tap : (-) 2nd CATALOG fnint ou fonctintgr( (X 2 2X ) X,X,0,2 ) t j'obtins, Trm.S FichBACn 0 Intégration-Primitivs Abdllatif ABOUHAZIM. Lycé Fustl d Coulangs - Massy Pag 4/7

5 J calcul un valur approché d mon résultat t j'obtins : =, Mon résultat st corrct! Exrcic n 3 Soit n un ntir naturl. On not f n la fonction défini sur R par f n ( x)= n x + x On pos, pour tout ntir naturl n : u n = 0 f n (x)dx..a ) Calculr u. x u = 0 f ( x)dx= 0 dx x + Mêm tchniqu qu l'xrcic n. On chrch un primitiv d la fonction f. On pos : u(x)=+ x donc : u ' (x)= x. Puis, On transform f (x) n fonction d u t d u'. Par suit : f (x)= u '. u On rmarqu, au passag, qu pour tout sur R : u(x)>0. Or, un primitiv d u ' st : ln u+c. Donc un primitiv d f u st la fonction F défini par : F (x)= ln (+ x )+C (N pas oublir l sign moins). Donc u =[F (x)] 0 = ln(+ )+ln(+ 0 ) Donc u = ln ( + ) +ln 2= ln ( + Conclusion : u 2 +). ) +ln 2 +) +ln 2..b) Montrr qu u 0 + u =. u 0 +u = 0 f 0 ( x)dx+ ( 0 f (x)dx= 0 ( f 0 (x)+ f ( x))dx x Donc : u 0 +u = 0 + dx x x) + + Par suit u 0 +u = 0 dx=[ x]0 = 0= CQFD..c) En déduir la valur xact d u 0. D'après c qui précèd, nous savons qu : u 0 + u =, donc u 0 = u. Et d'après la qustion.a) nous savons qu u 2, qu'on pourrait +) décomposr d'un autr manièr sachant qu ln = : u 2 +) +) 2 +ln +) 2 +. Donc u 0 = u = [ ln ( 2 +) + ] = ln ( 2 +). Conclusion : u ) CQFD. Trm.S FichBACn 0 Intégration-Primitivs Abdllatif ABOUHAZIM. Lycé Fustl d Coulangs - Massy Pag 5/7

6 2.a) Démontrr qu pour tout x > 0 t tout ntir naturl n : n x x n x On commnc par transformr ctt xprssion : [ n x x n x ] [ (n+) x n x ]. C qui constitu un écritur plus simpl! èr méthod : On fait un raisonnmnt par récurrnc : Pour chaqu ntir naturl n, on appll P n la proposition logiqu : P n : [Pour tout x > 0 : (n+) x n x ] Montrons par récurrnc qu pour tout n N, P n st vrai. i) Initialisation : Pour n=0, P 0 s'écrit : [pour tout x > 0 : x ]. Or, nous savons qu la fonction xponntill st strictmnt croissant sur R. Donc pour tout x > 0, on a : x < 0, donc : x 0. C qui donn x. Donc P 0 st vrai. ii) Hérédité : Soit n N. Supposons qu P n st vrai. Montrons qu P n+ st vrai. Par hypothès d récurrnc P n st vrai. Donc : [Pour tout x > 0: (n+) x n x ]. Or pour tout x > 0 : x > 0. Donc n multipliant par x, on obtint : Pour tout x > 0 : x (n+) x x n x Donc, pour tout x > 0 : (n+) x x n x x Donc, pour tout x > 0 : (n+) x x n x x C qui montr qu : P n+ st vrai. Conclusion : Pour tout n N t tout x > 0 : [ (n+) x n x ]. 2èm méthod : On pos q= x t on rmarqu qu pour tout x > 0 : 0 < q <. Donc la suit géométriqu (q n ) st strictmnt décroissant. Donc pour tout ntir n : q n+ q n. C qui donn, pour tout ntir naturl n t tout x > 0 : (n+) x n x. C'st plus court t tout aussi élégant! 2.b) En déduir l sns d variation d la suit ( u n ) Afin d comparr intégrals, il faut commncr par comparr ls fonctions. On sait qu, pour tout x > 0 : + x > 0. Donc, d'après c qui précèd : Pour tout n N t tout x > 0 : (n+) x n x donc, n divisant par + x > 0 : ( n+) x Pour tout x > 0 : + n x. Donc, pour tout x > 0 : f x + x n+ (x) f n (x) D'après la consrvation d l'ordr par ls intégrals t 0 <, on a : 0 f n+ (x)dx 0 f n ( x)dx. C qui donn : u n+ u n. Conclusion : La suit (u n ) st décroissant Trm.S FichBACn 0 Intégration-Primitivs Abdllatif ABOUHAZIM. Lycé Fustl d Coulangs - Massy Pag 6/7

7 3 ) Démontrr qu pour tout ntir naturl n : 0 u n 0 On sait qu, pour tout x > 0, on a : 0< x. Donc n ajoutant : +0<+ x 2. Donc, n prnant l'invrs : 2 +. Par conséqunt : 0 x +. x Maintnant, n multipliant par nx > 0, pour tout x > 0, on a : 0 n x D'après la consrvation d l'ordr par ls intégrals t 0 <, on a : 0 n x 0 + dx n x 0 x dx Conclusion : 0 u n 0 + x n x 4.a) Calculr l'intégral I n = 0 Il faut chrchr un primitiv d la fonction g défini par : g ( x)= n x On pos : u(x)= n x donc : u ' (x)= n. Puis, On transform g (x) n fonction d u t d u'. Par suit : g (x)= n ( n) n x. qu'on put aussi écrir : g (x)= n u ' u. Or, un primitiv d u ' u st : u +C. Donc un primitiv d g st la fonction G défini par : G(x)= n n x +C Donc I n =[G(x)] 0 = n n n 0 = n ( n ) Conclusion : I n = n ( n ). 4.b) En déduir qu la suit (u n ) st convrgnt t calculr sa limit. D'après la qustion précédnt, on sait qu : pour tout ntir n N: 0 u n I n. Il suffit d calculr la limit d I n lorsqu n tnd vrs l'infini. Or, d'un part : lim n + [ n] =0. Et d'autr part : donc lim ( n )=. Comm I n = ) n + n ( n obtnons : lim I n =0 n +. lim [ n ]= lim [ x ]=0 n + x, par produit ds limits, nous Conclusion : D'après l théorèm d comparaison (ou ds Gndarms), on put affirmr qu la suit (u n ) st convrgnt t u n =0. lim n + OUF! Trm.S FichBACn 0 Intégration-Primitivs Abdllatif ABOUHAZIM. Lycé Fustl d Coulangs - Massy Pag 7/7