Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère )

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1 Cours (Termale) Probabltés (révsos ère ) Quelques rappels et complémets sur les esembles Uo de deux esembles O appelle «uo de deux esembles E et F» l esemble oté E F dot les élémets sot costtués des élémets de E et de ceux de F. Exemple : s E { ab ; ;6; π } et F { 7; π ; ae ; } alors E F { abe ; ; ;6;7; π } Itersecto de deux esembles. O appelle «tersecto de deux esembles E et F» l esemble oté E F dot les élémets sot costtués des élémets apparteat à la fos à E et à F. Exemple : s E { ab ; ;6; π } et F { 7; π ; ae ; } alors E F { a; π } Parte (ou sous-esemble) d u esemble. O appelle «parte (ou sous-esemble) d u esemble E» tout esemble A dot tous les élémets apparteet à E. Cette apparteace se tradut par l écrture A O dstgue deux partes partculères : E que l o peut lre «A est clus das E» La parte vde, otée ou { } (mos fréquet), qu e cotet aucu élémet ; La parte plee correspodat à l esemble E lu-même. Exemple : s E { ab ; ;6; π } alors A { a} et B { 6; a; π } sot deux partes de E (l y e a 6 au total e comptat E et. Saurez-vous les retrouver? Saurez-vous trouver le ombre de partes d u esemble comportat élémets?). Par alleurs o a c : A B. Vocabulare des probabltés Expérece aléatore O appelle «expérece aléatore» ue expérece dot le résultat e peut (de faço absolue ou das la lmte de os capactés et de os coassaces) être prévu. PaaMaths [-6] Novembre 2006

2 Exemples : le jet d u dé, le trage d ue carte das u paquet mélagé, le jet d ue pèce de moae, le trage d ue boule das ue ure coteat tros boules dscerables au toucher et de couleurs dfféretes, etc. Issue et uvers O appelle «ssue», ou «évéemet élémetare», u résultat d ue expérece aléatore. O appelle «uvers» l esemble des ssues possbles de l expérece aléatore. Notes : () u uvers doé est doc assocé à ue expérece aléatore doée. O dot toujours garder présete à l esprt cette assocato ; (2) ue ssue est doc ue parte (ou sous-esemble) de l uvers assocée à l expérece aléatore (seul pot partculer : cette parte e comporte qu u seul élémet!). Par exemple : (a) Jet d u dé. { } et { } l esemble Ω { ; 2;3; 4;5;6} ; 4 sot des ssues de cette expérece aléatore et l uvers assocé est (b) Jet d ue pèce de moae. {PILE} et {FACE} sot les deux seules ssues possbles Ω PILE, FACE. L uvers assocé est { } Evéemet O appelle «évéemet» tout sous-esemble (ou parte) A de l uvers. O dt qu u évéemet est «réalsé» lorsque le résultat de l expérece aléatore est l u des évéemets élémetares de A. L uvers correspod à «l évéemet certa» et l esemble vde à «l évéemet mpossble». Par exemple : cosdéros l expérece du jet d u dé (l uvers est Ω { ; 2;3; 4;5;6} ). Sot l évéemet A «obter u ombre par». S l ssue correspod au ombre 4, l évéemet A est réalsé. S l ssue est le ombre, l évéemet A est pas réalsé. Les ssues réalsat l évéemet A sot doc : { 2 }, { 4 } et { } O a doc : A { 2;4;6} L évéemet «obter u chffre féreur à 6» est l évéemet certa pusque l o obtet asémet A { ;2;3;4;5;6} Ω. L évéemet «obter u chffre supéreur à 7» est l évéemet mpossble! ( A ) Evéemet cotrare Sot A u évéemet de l uvers Ω assocé à ue expérece aléatore. O appelle «évéemet cotrare (ou complémetare) de l évéemet A» l évéemet costtué des ssues de l uvers qu apparteet pas à A. O ote cet évéemet A. 6. PaaMaths [2-6] Novembre 2006

3 O vérfe asémet à l ade de cette défto que l o a les proprétés suvates : Exemple : Ω Ω A AΩ A A Avec Ω { ; 2;3; 4;5;6}, A { 2;4} et B { ;2;3;6} A { ;3;5;6} et B { 4;5}. Probablté o obtet : Sot ue expérece aléatore assocée à l uvers { x x x x } Ω, 2, 3,...,. Défr ue «probablté» sur Ω c est assocer à chaque élémet x de l esemble Ω u réel oté p (ou p( x )) apparteat à l tervalle [ ] O dt que «0;, ces réels vérfat : p+ p2 + p p p est la probablté assocée à l ssue { } Remarque : l égalté précédete peut être écrte x». p, le symbole Σ correspodat à la lettre grecque majuscule «sgma». S o a p p2 p3... p, o dt que «la probablté est équréparte» ou que l o se trouve das ue «stuato d équprobablté». O a alors : p p2 p3... p Exemples : (a) E effectuat le jet d u dé o ppé u certa ombre de fos, o costate que les fréqueces d apparto des sx faces : Sot voses de 6 ; Ot ue somme égale à. Ω ; 2;3; 4;5;6, o peut défr ue probablté sur Ω grâce à l égalté : E posat { } p p2 p3 p4 p5 p6. 6 (b) O peut caractérser u dé ppé e doat les probabltés d apparto des faces suvates : p, p 2, p 3, p 4, p 5 et p PaaMaths [3-6] Novembre 2006

4 Probablté d u évéemet Sot ue expérece aléatore assocée à l uvers { x x x x } ue probablté. Sot A u évéemet de Ω. La «probablté de l évéemet A», otée p ( A) Ω,,,..., sur lequel o a déf 2 3, est égale à la somme des probabltés des ssues de l expérece aléatore réalsat A. S la probablté est équréparte o retedra : ombre d'ssues réalsat A p ( A) ombre total d'ssues Exemples : (a) Cosdéros le dé ppé déf c-dessus. Sot l évéemet A : «la face est pare». O a mmédatemet : A { 2;4;6}. D après la défto précédete, l vet : p( A) p2 + p4 + p (b) Das le cas d u dé o ppé, o a : p p2 p3 p4 p5 p6. 6 Proprétés S o cosdère à ouveau A { 2;4;6}, l vet : ombre d'ssues réalsat A 3 p ( A) ombre total d'ssues 6 2 Résultat que l o retrouve évdemmet e utlsat : 3 p( A) p2 + p4 + p Sot ue expérece aléatore assocée à l uvers { x x x x } ue probablté. Sot A et B deux évéemets de Ω. p Ω et p ( ) 0 ( ) S A et B vérfet A B p( ) p( ) A + A alors o a : p( A) p( B) Ω,,,..., sur lequel o a déf 2 3 Exemple : O cosdère u jeu de 32 cartes et o tre au hasard ue carte das ce jeu. O demade les probabltés des évéemets suvats : A : «Obter u ro» B : «Ne pas obter u ro» O est das ue stuato d équprobablté et le ombre total d ssues correspod au ombre total de trages possbles, c est à dre au ombre total de cartes, sot 32. PaaMaths [4-6] Novembre 2006

5 Les ombre d ssues correspodat à l évéemet A vaut 4 pusque le jeu comporte 4 ros. 4 Il vet doc : p ( A) L évéemet B est l évéemet cotrare de l évéemet A! O a doc : B A. p A p A p A + p B. L égalté ( ) ( ) D où : p( ) p( ) + ous permet alors d écrre : ( ) ( ) 7 B A 8 8 Evéemets «A et B» et «A ou B» Sot ue expérece aléatore assocée à l uvers Ω. Sot A et B deux évéemets. L évéemet «A et B» est l évéemet composé des ssues réalsat à la fos A et B. Il s agt dot de la parte A B de l uvers Ω. S A B, o dt que les évéemets «A et B sot compatbles». L évéemet «A ou B» est l évéemet composé des ssues réalsat au mos l u des évéemets A et B. Il s agt doc de la parte A B de l uvers Ω. Exemple : Repreos l exemple du jeu de 32 cartes et cosdéros cette fos les deux évéemets : A : «Obter ue dame» B : «Obter u cœur» L évéemet «A et B» correspod au trage d ue carte qu est à la fos ue dame et u cœur. L évéemet A B correspod doc au trage de la dame de cœur et l vet mmédatemet : p ( A B) 32 L évéemet «A ou B» correspod au trage d ue carte qu est sot ue dame, sot u cœur. Il y a exactemet cartes possbles : les 8 cœurs (dot la dame de cœur) auxquels l covet d ajouter les dames de trèfle, carreau et pque. O e dédut : p ( A B) 32 Proprétés Sot ue expérece aléatore assocée à l uvers { x x x x } ue probablté. Sot A et B deux évéemets de Ω. Ω,,,..., sur lequel o a déf 2 3 p ( A B) p( A) + p( B) p( A B) Remarques : Comme pour tout évéemet A o a A A et A AΩ, l égalté précédete ous redoe e posat B A : p( A) + p( A) ; S A et B sot deux évéemets compatbles, o a : p( A B) p( A) + p( B) PaaMaths [5-6] Novembre 2006

6 Exemple : Repreos la stuato précédete. 4 8 O a faclemet : p ( A) et p ( B) Il vet doc : p( A B) p( A) + p( B) p( A B) O retrouve le résultat obteu précédemmet. PaaMaths [6-6] Novembre 2006