PROBABILITES - INTRODUCTION

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1 PROBABILITES - INTRODUCTION Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page perso JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de seconde générale en mathématiques. Il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations) et des exercices tous corrigés. La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes. Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la base de mon expérience d'enseignant en lycée. Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation, le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite. La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce document. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page personnelle JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 29/09/206) Montpellier, le 29/09/206 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 203 Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 203 Probabilités - Introduction Page /25 Version du 29/09/206

2 PROBABILITES Les probabilités sont présentes dans la vie de tous les jours. Dans ce chapitre, on s'attache à définir un cadre général dans lequel on définira les événements et on calculera les probabilités. 0) Quelques notations Dans ce chapitre, nous ferons très souvent référence : -au dé "cubique", à 6 faces, a priori équilibré : -au jeu de 32 cartes, constitué : - de 4 "couleurs" TREFLE et PIQUE (cartes noires), COEUR et CARREAU (cartes rouges) - pour chaque couleur, il y a 8 "hauteurs" ou "valeurs" : 7,8,9,0,Valet(V), Dame(D), Roi(R) et AS Seconde - Probabilités Page 2/25 Version du 29/09/206

3 ) Expérience aléatoire, événements Définition Une expérience aléatoire est un enchaînement d'actions : - décrit suivant un protocole très précis et reproductible à l'identique - dont les résultats sont soumis, a priori, au hasard. Exemples : ) Lancer d'un dé cubique équilibré. 2) Choix d'une carte dans un jeu de 32. Définition : L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers souvent noté E. Les éléments qui le composent sont appelés éventualités ou issues. Exemples : ) Lancer d'un dé cubique équilibré. 2) Choix d'une carte dans un jeu de 32. E = { ;2;3;4;5;6} E = { 7 coeur;8 coeur;... ASpique} Définition : Une expérience aléatoire d'univers E étant donnée : - un événement est une partie de E. On le note souvent à l'aide d'une majuscule. - un événement élémentaire est une partie de E formée d'une seule éventualité. Exemples : ) Lancer d'un dé cubique équilibré. E = ;2;3;4;5;6. L'événement A "obtenir un nombre pair" est 2) Choix d'une carte dans un jeu de 32. L'événement C "obtenir un coeur" est { } A = { 2;4;6} E = { 7 coeur;8 coeur;... ASpique} C = { 7 coeur;8 coeur;... AScoeur} Seconde - Probabilités Page 3/25 Version du 29/09/206

4 PROBABILITES - EXPERIENCE ET EVENEMENTS - EXERCICES Exercice n (correction) ) On reprend l'expérience du lancer d'un dé cubique. Donner les éventualités de l'événement B "obtenir un multiple de 3" Donner les éventualités de l'événement C "obtenir un nombre pair ou un multiple de 3" 2) On reprend l'expérience du choix d'une carte dans un jeu de 32 Combien d'éventualités contient l'événement D "obtenir une dame"? Combien d'éventualités contient l'événement F "obtenir une dame ou un coeur"? Seconde - Probabilités Page 4/25 Version du 29/09/206

5 PROBABILITES - EXPERIENCE ET EVENEMENTS - CORRECTION Correction de l'exercice n (retour à l'énoncé) ) B = { 3;6} et C = { 2;3;4;6} 2) Combien d'éventualités contient l'événement D "obtenir une dame"? 4 éventualités Combien d'éventualités contient l'événement F "obtenir une dame ou un coeur"? éventualités (Ne pas compter deux fois la dame de coeur!) Seconde - Probabilités Page 5/25 Version du 29/09/206

6 2) Loi de probabilité Définition : LOI DE PROBABILITE Une expérience aléatoire d'univers E étant donnée, une loi de probabilité fait correspondre à chaque éventualité de E, un nombre de l'intervalle probabilités des éventualités de E est égale à. Exemples : 2) Lancer d'un dé cubique équilibré. appelé probabilité, tel que la somme de toutes les ) On lance la roue de loterie ci-contre et on regarde le numéro du secteur indiqué par la flèche quand la roue s'arrête. On peut attacher à ce jeu la loi de probabilité suivante : Eventualité Somme Eventualité Probabilité 6 [ 0;] Probabilité Définition : La probabilité d'un événement A, notée événements élémentaires qui le constituent. p( A), est égale à la somme des probabilités des Exemples : ) Lancer de la roue de loterie ci-dessus. { } La probabilité de l'événement A "obtenir un nombre impair" A = ;3;5 est : 5 p( A) = p( ) + p( 3) + p( 5) = + + = ) Lancer d'un dé cubique équilibré. { } La probabilité de l'événement A "obtenir un nombre impair" A = ;3;5 est : p( A) = p( ) + p( 3) + p( 5) = + + = Seconde - Probabilités Page 6/25 Version du 29/09/206

7 LOI DE PROBABILITE - EXERCICES Exercice n 2 (correction) Un dé cubique a été falsifié. On connaît les probabilités de certaines éventualités : Eventualité Probabilité 6 2 ) Compléter la loi de probabilité 2) On lance le dé. Quelle est la probabilité d'obtenir : a) Un nombre impair? b) Un nombre pair? c) Un nombre strictement inférieur ou égal à 3? d) Un nombre strictement supérieur ou égal à 4? Exercice n 3 (correction) Un dé à 6 faces est truqué. Les probabilités d'apparition des faces sont telles que : p ( ) = p( 2) = 0,2 ( ) ( ) ( ) et p 3 = p 4 = p 5 = 0,. On lance ce dé et on note A l'événement "on obtient une face paire" et B l'événement "on obtient une face supérieure ou égale à 3". Calculer : p( A ) p( B ) p( A B) p( A B). Exercice n 4 (correction) Une pièce de monnaie est truquée. Lorsqu'on la lance, la probabilité d'obtenir FACE est le double de la probabilité d'obtenir PILE. Quelle est la probabilité d'obtenir PILE? Quelle est la probabilité d'obtenir FACE? Seconde - Probabilités Page 7/25 Version du 29/09/206

8 LOI DE PROBABILITE - CORRECTION Correction de l'exercice n 2 (retour à l'énoncé) ) Puisque la somme des probabilités des 6 faces est égal à, on calcule : 3 p( 5) = ( p( ) + p( 2) + p( 3) + p( 4) + p( 6) ) = = = Eventualité Probabilité = = ) On lance le dé. Quelle est la probabilité d'obtenir : 7 a) Un nombre impair? p( 2) + p( 4) + p( 6) = + + = b) Un nombre pair? p( ) + p( 3) + p( 5) = + + = (ou ( p( 2) + p( 4) + p( 6) ) = ) c) Un nombre strictement inférieur ou égal à 3? p( ) + p( 2) + p( 3) = + + = d) Un nombre strictement supérieur ou égal à 4? p( 4) + p( 5) + p( 6) = + + = (ou ( p( ) + p( 2) + p( 3) ) = ) 2 Correction de l'exercice n 3 (retour à l'énoncé) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On calcule d'abord p 6 = p + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 0,3, puis : ( ) = ( 2) + ( 4) + ( 6) = 0,6 p( B) p( ) p( ) p( ) p( ) p A p p p = = 0,6 ( ) = ( 4) + ( 6) = 0,4 p( A B) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p A B p p = = 0,8 Correction de l'exercice n 4 (retour à l'énoncé) On a p( F) = 2 p( P) et p( P) + p( F) = donc p( P ) = et p( F ) = Seconde - Probabilités Page 8/25 Version du 29/09/206

9 EQUIPROBABILITE 3) Equiprobabilité Définition : Il y a équiprobabilité quand toutes les issues de l'univers E ont la même probabilité. Exemples : ) Dans le cas du dé cubique équilibré, les six faces ont chacune une probabilité égale à 2) Dans le cas du choix d'une carte parmi 32, chaque carte a pour probabilité d'apparition 6 32 FORMULE DE CALCUL DANS LE CADRE DE L'EQUIPROBABILITE En cas d'équiprobabilité des issues de l'univers E, la probabilité d'un événement quelconque A est : nombre d'éléments de A nombre de cas favorables A p( A ) = = nombre d'éléments de E nombre total de cas Exemple : Dans le cas du choix d'une carte dans un jeu de 32, la probabilité de l'événement C "obtenir un coeur" est égale à 8 pc ( ) = = 32 4 Seconde - Probabilités Page 9/25 Version du 29/09/206

10 EQUIPROBABILITE - EXERCICES Exercice n 5 (correction) Une étude a montré que, dans un groupe de 200 personnes : 80 % parlent l anglais 40 % parlent l espagnol 25 % parlent à la fois l anglais et l espagnol ) Compléter le tableau des effectifs : anglais anglais Total espagnol espagnol Total 200 2) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : "la personne parle l anglais" A : "la personne ne parle pas l'anglais" E : "la personne parle l espagnol" E : "la personne ne parle pas l'espagnol" B : "la personne parle l anglais et l espagnol" C : "la personne parle l anglais ou l espagnol" D : "la personne parle l anglais mais pas l espagnol" F : "la personne parle l espagnol mais pas l anglais" G : "la personne ne parle ni l'anglais ni l'espagnol" H : "la personne ne parle qu'une seule des deux langues" Seconde - Probabilités Page 0/25 Version du 29/09/206

11 EQUIPROBABILITE - CORRECTION Correction de l'exercice n (retour à l'énoncé) ) Compléter le tableau des effectifs : espagnol espagnol anglais anglais Total Total ) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : "la personne parle l anglais" 60 p( A ) = = 0,8 200 (l'énoncé avait affirmé que "80% des 200 personnes parlent l'anglais) 40 A : "la personne ne parle pas l'anglais" p( A ) = = 0,2 200 (Un peu plus loin dans le cours, nous verrons une formule pour calculer cette probabilité autrement) E : "la personne parle l espagnol" 80 p( E ) = = 0, E : "la personne ne parle pas l'espagnol" p( E ) = = 0,6 200 B : "la personne parle l anglais et l espagnol" 50 p( B ) = = 0, C : "la personne parle l anglais ou l espagnol" : Plusieurs méthodes sont possibles : Méthode : p( C) = p( A) + p( E) p( B) = + = Attention à ne pas compter deux fois ceux qui parlent anglais ET espagnol (50) qui ont été comptés une première fois parmi les 60 personnes qui parlent l'anglais et une deuxième fois parmi les 80 personnes qui parlent l'espagnol) Méthode 2 : pc ( ) = = (on additionne trois des quatre cases du tableau) Méthode 3 : pc ( ) = = (on retire à l'effectif total les 0 personnes qui ne parlent aucune langue) D : "la personne parle l anglais mais pas l espagnol" F : "la personne parle l espagnol mais pas l anglais" G : "la personne ne parle ni l'anglais ni l'espagnol" H : "la personne ne parle qu'une seule des deux langues" 0 p( D ) = = 0, p( F ) = = 0, pg ( ) = = 0, p( A) = p( D) + p( F) = = 0,7 200 Seconde - Probabilités Page /25 Version du 29/09/206

12 ALGEBRE DES EVENEMENTS 4) Algèbre des événements Définition : Si A et B sont deux événements associés à l'univers E d'une expérience aléatoire, on définit : ) L'événement A B comme étant l'événement "A ET B" constitué des issues communes à A ET à B. 2) L'événement A B comme étant l'événement "A OU B" constitué des issues appartenant à au moins un des deux événements A ou B. On retrouve ici des définitions analogues à celles données sur les intervalles Exemple : On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On note A l'événement "obtenir un coeur" et B l'événement "obtenir une dame". On a donc L'événement probabilité L'événement 8 4 p( A ) = et p( B ) = A B ( B) p A = est "obtenir la dame de coeur (qui est dame ET coeur à la fois)". Il a pour 32 A B est "obtenir une dame ou un coeur". Il a pour probabilité p( A B) = 32 Formule fondamentale Quels que soient les événements A et B, on a : ( ) ( ) ( ) p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) En effet, on retire p A B de la somme p A + p B pour ne pas compter deux fois les issues de A B, qui ont été comptées une première fois dans A et une deuxième fois dans B. Exemple : En reprenant l'exemple précédent, on peut écrire : 8 4 p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) = + = Seconde - Probabilités Page 2/25 Version du 29/09/206

13 Définition et propriété : L'événement contraire de A, noté A est constitué des issues de E n'appartenant pas à A. On a ( ) = p( A) p A Exemple : On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. 8 On note A l'événement "obtenir un coeur". On a donc p( A ) = = L'événement 3 A "ne pas obtenir de coeur" a pour probabilité p( A ) = = 4 4 Seconde - Probabilités Page 3/25 Version du 29/09/206

14 ALGEBRE DES EVENEMENTS - EXERCICES Exercice n 6 (correction) Une classe compte 34 élèves. 5 pratiquent le hand-ball (événement H), 8 le tennis (événement T) et 7 ne pratiquent ni l'un ni l'autre. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Calculez la probabilité qu'il pratique : - l'un au moins des deux sports. - les deux sports. Exercice n 7 (correction) On tire au hasard une carte dans un jeu de 32. On note : A l'événement "La carte tirée est un coeur" B l'événement "La carte tirée est un valet". C l'événement "La carte tirée est une figure (valet, dame ou roi)". D l'événement "La carte tirée est noire (pique ou trèfle)". p( A ) p( B ) pc ( ) p( D) ( B) p( A B) ( C) p( B C) ( D) p( B D) ( D) p( A D) ) Calculer : p A p B p B p A 2) On note E l'événement "la carte tirée n'est ni un valet, ni une carte noire". a) Parmi les expressions ci-dessous, entourer celle(s) qui est (sont) une autre écriture de E? (Notation +/-0,5/0) B D B D B D B D ( ) b) Calculer p E. Exercice n 8 (correction) Dans une salle d'attente, deux distributeurs ont été installés. A et B sont les événements : A : "Le premier distributeur fonctionne". B : "Le deuxième distributeur fonctionne". ( ) 0,8 On sait que p A = et p( B ) = 0,6. De plus, on sait qu'il y a toujours au moins un des deux distributeurs qui fonctionne. Seconde - Probabilités Page 4/25 Version du 29/09/206

15 ) Utilisez les notations AABB,,,,, pour écrire les événements suivants (On ne demande pas de calculer leur probabilité!). a) E : "Les deux distributeurs fonctionnent". b) F : "Au moins un des distributeurs fonctionne". c) G : "Aucun des deux distributeurs ne fonctionne". ( ) 2) Combien vaut p A B? 3) Calculer la probabilité de l'événement E. Exercice n 9 (correction) Monsieur M est chargé de ventes à domicile pour le bénéfice d une association. A chaque personne sollicitée, il propose l achat d un livre seul ou d une cassette seule ou l achat d un livre et d une cassette. Après un premier bilan de son activité, monsieur M estime que la probabilité qu une personne visitée choisie au hasard achète un livre (événement L) est 0,2, la probabilité qu elle achète une cassette (événement C) est 0, et la probabilité qu elle n achète rien (événement R) est 0,75. Calculer les probabilités des événements suivants : D : «La personne visitée achète un livre ou une cassette» E : «La personne visitée achète un livre et une cassette» F : «La personne visitée achète seulement un livre» G : «La personne visitée achète seulement une cassette» Exercice n 0 (correction) ) Deux événements A et B sont tels que p A =, p( A B) = 0,6 et p( A B) = 0,. Calculer p B. 2) Deux événements A et B sont tels que p A =, p( B ) = 0, et p( A B) = 0,4. Calculer ( ) ( B) p A ( ) 0,4 ( ) 0,7 Seconde - Probabilités Page 5/25 Version du 29/09/206

16 ALGEBRE DES EVENEMENTS - CORRECTION Correction de l'exercice n 6 (retour à l'énoncé) On complète le tableau : hand-ball Pas hand-ball Total Tennis Pas Tennis Total On choisit un élève au hasard dans cette classe. Calculez la probabilité qu'il pratique : - l'un au moins des deux sports. - les deux sports p( H T) = = = p( H T) = = 34 7 Correction de l'exercice n 7 (retour à l'énoncé) ) p( A ) = = p( B ) = = pc ( ) = = p( D ) = = p( A B) = p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) = p( B C) = = p( B C) = = p( B D) = = puis p( B D) = p( B) + p( D) p( B D) = = (formule fondamentale) 24 3 p( A D) = 0 puis p( A D) = p( A) + p( D) p( A D) = = (formule fondamentale) ) a) B D B D B D B D b) on a p( E) = p( B D) = p( B D) = = = Correction de l'exercice n 8 (retour à l'énoncé) ) a) E : "Les deux distributeurs fonctionnent". b) F : "Au moins un des distributeurs fonctionne". E = A B F = A B c) G : "Aucun des deux distributeurs ne fonctionne". G = A B 2) p A B = car " au moins un des deux distributeurs qui fonctionne" ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p( B ) = 0,6 et p( A B) =, on aura : = 0,8 + 0,6 p( E) donc p( E ) = 0,8 + 0,6 = 0, 4 3) Puisque p A B = p A + p B p A B, puisque E = A B et puisque p( A ) = 0,8, Seconde - Probabilités Page 6/25 Version du 29/09/206

17 Correction de l'exercice n 9 (retour à l'énoncé) Trois méthodes sont possibles : Méthode n On s'aide d'un tableau de probabilité. L'énoncé nous informe que, et On renseigne le tableau et on le complète par soustraction L L Total C 0,05 0,05 0, C 0,5 0,75 0,9 Total 0,2 0,8 Méthode n 2 L'énoncé nous informe que, et On calcule (ou encore p D = p L C = 0,75 = 0, 25 ) Puisque p L C p L p C p L C, on aura 0,25 = 0,2 + 0, p L C. On en déduit p L C = + =. Ainsi, Puisque p( L ) = 0,2 ( ) 0, p( D) p( L C) 0,05 0,05 0,5 0,25, on aura Puisque p C = p L C + p L C, on aura : Méthode n 3 On s'aide d'un tableau d'effectifs/pourcentages. L'énoncé nous informe que, et pc = p( R) = p( L C) = 0,75 = = + + = ( ) ( ) p( E) p( L C) 0,05 = = p( F) = p( L C) = 0,5 pg ( ) = pl ( C) = 0,05 p( E) = p( L C) p( L ) = 0,2 ( ) 0, pc = p( R) = p( L C) = 0,75 ( ) = ( ) = ( ) = 0,75 = 0, 25 p D p L C p L C ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 2 0, 0, 25 0,05 p( E ) = 0,05 p( L) = p( L C) + p( L C) p( F) = p( L C) = p( L) p( L C) = 0,2 0,05 = 0,5 ( ) ( ) ( ) pg ( ) = pl ( C) = pc ( ) pl ( C) = 0, 0,05 = 0,05 p( L ) = 0,2 ( ) 0, pc = p( R) = p( L C) = 0,75 On traduit ces informations par "20% des personnes achètent un livre", "0% des personnes achètent une cassette" et "75% des personnes n'achètent rien". On renseigne le tableau et on le complète par soustraction L L Total C C Total Seconde - Probabilités Page 7/25 Version du 29/09/206

18 On lit que : p( D) = p( L C) = = 0,25 (ou encore p( D) = p( L C) = = 0, 25 ) p( E) = p( L C) = = 0,05 p( F) = p( L C) = = 0, pg = pl C = = 0,05 00 ( ) ( ) Correction de l'exercice n 0 (retour à l'énoncé) ( ) = ( ) + ( ) ( ) = + ( ) p( B ) = 0,3 ) On a p A B p A p B p A B donc 0,6 0, 4 p B 0, donc ( ) 0,4 2) p A B donc = p( A B) = 0,6 ( ) = ( ) + ( ) ( ) = + ( ) p( A B) = 0,2 On a p A B p A p B p A B donc 0,6 0,7 0, p A B donc Seconde - Probabilités Page 8/25 Version du 29/09/206

19 REPETITION D'EVENEMENTS 5) Répétitions d'événements - arbres de probabilités Une urne contient 3 boules vertes et 4 boules rouges. On tire une première boule, on regarde sa couleur, on ne la remet pas dans l'urne, puis on tire une deuxième boule et on regarde sa couleur. On peut modéliser la situation à l'aide d'un arbre, sur les branches duquel on inscrira les probabilités Explication des probabilités : Après avoir tiré la première boule et ne pas l'avoir remise, il ne reste plus "que" 6 boules" dans l'urne. Les probabilités seront donc des fractions ayant un dénominateur égal à 6 4 Si la première boule tirée est une des 4 rouges (probabilité), il n'en restera plus "que" 3 dans 7 3 l'urne, sur un total de 6. Le nombre inscrit sur la deuxième branche de l'arbre est donc. 6 On procède de même pour les autres probabilités. Seconde - Probabilités Page 9/25 Version du 29/09/206

20 Règle : La probabilité d'un événement est égale au produit des probabilités figurant sur les branches du chemin de l'arbre décrivant cet événement Exemples : ) Dans l'exemple précédent, la probabilité de l'événement "on obtient 2 boules rouges" est : p( RR ) = = ) La probabilité de l'événement "Les deux boules sont de même couleur" est : = + = ( ) p( VV ) p RR Seconde - Probabilités Page 20/25 Version du 29/09/206

21 REPETITION D'EVENEMENTS - EXERCICES Exercice n (correction) Une urne contient 4 boules vertes et 2 boules rouges. ) On tire au hasard une première boule dans l'urne, on ne la remet pas, puis on en tire une deuxième. a) Dessiner un arbre pondéré décrivant la situation b) Quelles sont les probabilités des événements : A "les deux boules tirées sont de la même couleur"? B "les deux boules tirées sont de couleurs différentes"? 2) On tire au hasard une première boule dans l'urne, on la remet, puis on en tire une deuxième. a) Dessiner un arbre pondéré décrivant la situation b) Quelles sont les probabilités des événements : A "les deux boules tirées sont de la même couleur"? B "les deux boules tirées sont de couleurs différentes"? Exercice n 2 (correction) Lors d'une naissance, on suppose que la probabilité d'avoir un garçon (événement G) est de 0,52. Un couple a eu deux enfants. En s'aidant d'un arbre pondéré, calculer la probabilité des événements : A : "Le couple a eu deux filles" B : "Le couple a eu au moins un garçon" C : "Le couple a eu exactement un garçon" Exercice n 3 (correction) On estime que 7 % de la population française est allergique au kiwi. On choisit au hasard trois personnes dans la population française, de manière indépendante. ) Traduire la situation par un arbre 2) Déterminer la probabilité que les trois personnes choisies soient allergiques au kiwi 3) Déterminer la probabilité qu une seule personne sur les trois soit allergique au kiwi 4) Déterminer la probabilité qu au moins une personne sur les trois soit allergique au kiwi Exercice n 4 (correction) On jette une pièce équilibrée de monnaie 3 fois de suite. Donner la probabilité des événements suivants : A «le tirage ne comporte que des Piles». B «le tirage comporte au moins une fois Face». Exercice n 5 (correction) Une pièce de monnaie est truquée, de sorte que la probabilité d'apparition de "PILE" est 0,45. On lance la pièce trois fois consécutivement. Calculer la probabilité des événements suivants : A : "On obtient trois fois PILE" B : "On obtient au moins une fois FACE" C : "On obtient une seule fois FACE" Seconde - Probabilités Page 2/25 Version du 29/09/206

22 Exercice n 6 (correction) Dans cet exercice, on ne calculera pas de probabilités. Dans une famille de 4 enfants, on comptabilise les garçons (G) et les filles (F). Pour cela, on s'aide de l'arbre ci-contre. ) Compléter les cases de l'arbre 2) Dans combien de situations, la famille possède-t-elle : a) exactement deux garçons? b) au moins un garçon? c) au plus un garçon? d) aucun garçon? e) plus d'un garçon? Seconde - Probabilités Page 22/25 Version du 29/09/206

23 REPETITION D'EVENEMENTS - CORRECTION Correction de l'exercice n (retour à l'énoncé) ) a) cf ci-dessous b) p( A) p( RR) p( VV ) et ) a) cf ci-dessous 7 8 = = = = 5 5 = + = + = = p( B) p( A) p( A) b) p( A) p( RR) p( VV ) et = = = = 9 9 = + = + = = p( B) p( A) p( A) Correction de l'exercice n 2 (retour à l'énoncé) ( ) = p( FF ) = 0,48 0,48 p A 2 ( ) = ( ) = ( ) = 0, 48 p B p A p A p( C) = p( GF ) + p( FG) = 0,52 0,48 + 0,48 0,52 Seconde - Probabilités Page 23/25 Version du 29/09/206

24 Correction de l'exercice n 3 (retour à l'énoncé) ) On note K l'événement "la personne est allergique au kiwi". L'énoncé se traduit à l'aide d'un arbre pondéré : 2) 3) 4) 3 p( KKK ) = 0,07 ( ) + ( ) + ( ) p KKK p KKK p KKK = 0,07 0,93 0,93 + 0,93 0,07 0,93 + 0,93 0,93 0,07 2 = 3 0,07 0,93 3 ( ) = p KKK 0,93 Correction de l'exercice n 4 (retour à l'énoncé) = = = = p A = = 8 8 ( ) p( PPP) p A ( ) ( ) p B Correction de l'exercice n 5 (retour à l'énoncé) A : "On obtient trois fois PILE" B : "On obtient au moins une fois FACE" C : "On obtient une seule fois FACE" 3 p( A ) = 0,45 3 ( ) = ( ) = ( ) = 0, 45 p B p A p A 2 pc ( ) = 3 0, 45 0,55 Seconde - Probabilités Page 24/25 Version du 29/09/206

25 Correction de l'exercice n 6 (retour à l'énoncé) ) Compléter les cases de l'arbre voir ci-contre 2) Dans combien de situations, la famille possède-t-elle : a) exactement deux garçons? 6 b) au moins un garçon? 5 c) au plus un garçon? 5 d) aucun garçon? e) plus d'un garçon? Seconde - Probabilités Page 25/25 Version du 29/09/206