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1 Statistiques 1 Quelques graphiques pour commencer 1.1 Diagramme en toile d araignée Relevé des notes d un élève à l issue du trimestre. Matières EPS LV1 LV2 Fra H-G SES SVT Phys Math Notes ,7 9,8 10,3 EPS Math LV1 Phys LV2 SVT Fra SES H-G 1.2 Camembert Répartition en pourcentages des coefficients au bac L. Matières Fra Lettre Philo H-G LV1 LV2 Math Sci Spé EPS Coefficient Pourcentages Philo Lettres H-G 18 % 13 % Fra LV 1 5 % EPS 10 % Spé 5 % 5 % LV 2 Math Sci 1

2 1.3 Diagramme en bâton La longueur du bâton est proportionnelle à l effectif Relévé des notes d une classe entière. Notes Effectifs Effectif Notes Histogramme : L aire du rectangle est proportionnelle à l effectif Voici les notes des élèves d une classe données par intervalles. Intervalles [ 2 ; 4 [ [ 4 ; 6 [ [ 6 ; 8 [ [ 8 ; 10 [ [ 10 ; 12 [ [ 12 ; 14 [ [ 14 ; 16 [ [ 16 ; 18 [ Effectifs représente un individu

3 2 Vocabulaire des statistiques On dispose de données numériques sur une population. Si ces données sont triées on obtient un tableau des différentes valeurs (ou intervalles), notées x i, de la population et de leurs effectifs correspondants, notés n i. À chaque valeur x i (ou Intervalle) du caractère, on peut aussi associer une fréquence f i qui est le quotient de l effectif de la valeur (ou de la classe) par l effectif total : f i = n i où N est l effectif total de la population. N la fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. La somme des fréquences est toujours égale à 1. On exprime parfois les fréquences en pourcentages. 3 Paramètres d une série statistique 3.1 Mode Définition 1 Le mode ou la classe modale d une série statistique est la valeur du caractère étudié qui a le plus grand effectif. Exemple 1 Dans l exemple Diagramme en bâtons, le mode est «7». Exemple 2 Dans l exemple Histogramme, les classes modales sont les intervalles «[ 4 ; 6 [» et «[ 12 ; 14 [». 3.2 Moyenne Données non tirées Définition 2 On considère une série statistique à caractère quantitatif prenant n valeurs notées x 1, x 2,..., x n. Ainsi la population totale a un effectif n. La moyenne de cette série est le nombre x défini par : x = x 1+ x 2 + +x n n = p x i i=1 Exemple 3 On donne la série de notes obtenues par les élèves d une classe : n = La moyenne de la classe est : x = 10 Données tirées Définition 3 On considère une série statistique à caractère quantitatif prenant p valeurs notées x 1, x 2,..., x p ; chaque valeur x i apparaissant n i fois dans la série. Ainsi la population totale a un effectif N=n 1 +n 2 + +n p. La moyenne de cette série est le nombre x défini par : p x = n 1x 1 + n 2 x 2 + +n p x P n 1 + n n p = Cette moyenne est appelée moyenne pondérée par les effectifs. i=1 n i x i N 3

4 Exemple 4 On donne la série de notes obtenues par les élèves d une classe à un contrôle de maths : Note Effectif La moyenne de la classe est : x = 11,9 35 Chaque note est comptée autant de fois qu elle apparaît dans les copies des élèves. L effectif de la note est aussi appelé poids ou coefficient. Propriété 1 On considère une série statistique prenant p valeurs x 1,..., x p. Si la distribution des fréquences associée à cette série est (f 1 ; f 2 ;... ; f p ), alors, la moyenne de cette série est : x= f 1 x 1 + f 2 x f p x p = p f i x i Exemple 5 On donne la répartition des familles selon le nombre d enfants en France en 1999 : i=1 Nombre d enfant ou plus Pourcentage 47 % 22 % 20 % 8 % 3 % labelnotes le nombre moyen d enfant par famille en 1999 était de : x = 0,47 0+0,22 1+0, , , , Médiane, quartiles Définition 4 Dans une série statistique de type quantitatif, la médiane est la valeur du caractère qui sépare la population en deux groupes de même effectif : ceux dont la valeur du caractère est inférieure à la médiane et ceux dont la valeur du caractère est supérieure à la médiane. Remarque 1 (Méthode de détermination de la médiane, les valeurs étant rangées par ordre croissant) Deux cas sont possibles : s il y a un nombre impair d observations : N=2k+ 1, où k N, alors la médiane est la k+ 1 e valeur du caractère. s il y a un nombre pair d observations : N=2k, où k N, alors la médiane est la moyenne des k ième et k+ 1 ième valeurs du caractère. Exemple 6 (nombre impair d observations) On donne la série statistique suivante qui comporte 11 valeurs : 11 = La médiane est la 6 ième valeur : médiane = x 6 = 9 Exemple 7 (nombre pair d observations) On donne la série statistique suivante qui comporte 10 valeurs : 10= La médiane est la moyenne des valeurs de rangs 5 et 6 : médiane = x 5+ x 6 = 8+12 = Définition 5 Dans une série statistique de type quantitatif, le premier quartile et le troisième quartile sont avec la médiane les trois valeurs du caractère qui séparent la population en quatre groupes de mêmes effectifs. Remarque 2 La médiane sépare la série des valeurs ordonnées en deux parties d effectifs égaux. Le premier quartile est la médiane de la première partie Le troisième quartile est la médiane de la seconde partie Autrement dit : Le premier quartile est la plus petite valeur Q 1 telle qu au moins un quart des données sont inférieures ou égales à Q 1. Le troisième quartile est la plus petite valeur Q 3 telle qu au moins trois quart des données sont inférieures ou égales à Q 3. 4

5 Au moins 50 % des données Au moins 50 % des données {}}{{}}{ Min Q 1 Med Q 3 Max }{{} Au moins 25 % des données } {{ } Au moins 50 % des données }{{} Au moins 25 % des données Remarque 3 Les quartiles permettent d avoir en quelques chiffres un résumé rapide de la série statistique. Il ne présentent un réel intérêt que lorsque les données sont en grand nombre. Leurs calculs se feront la plupart du temps avec la calculatrice ou avec un tableur. Définition 6 Les éléments ci-dessus permettent de définir une représentation particulière d une série statistique appelée Boîte de Tuckey ou plus simplement Boîte à moustaches Min Q 1 Med Q 3 Max Exemple 7 : Il y a 10 valeurs, la médiane est égale à 10 et sépare la série en deux parties de 5 éléments. Le premier quartile Q 1 est égal à x 3 : Q 1 = 7 Le troisième quartile Q 3 est égal à x 8 : Q 1 = 15 Min = 2 ; Q 1 = 7 ; med = 10 ; Q 3 = 15 ; Max = Définition 7 Dans une série statistique dont les valeurs sont triées dans l ordre croissant, on appelle effectifs cumulés croissants, les effectifs obtenus en cumulant les effectifs dans l ordre croissant des valeurs. On obtient les effectifs des valeurs inférieures à chaque valeur du caractère. Remarque 4 Les effectifs cumulés croissants peuvent permettre de déterminer les quartiles et la médiane d une série Exemple 8 Pour la classe D Classes Effectifs Ecc Il y a 35= valeurs, la médiane est donc la 18 ième valeur : med = 8. Le premier quartile est au milieu de la première partie de 17=2 8+1 valeurs : Q 1 = x 9 = 6 Le troisième est au milieu de la deuxième partie de 17 valeurs : Q 3 = x 26 = 15 Propriété 2 Lorsque les données sont triées par classes, les calculs se font en prenant les centres des classes. Exemple 9 Voici les notes des élèves d une classe données par intervalles de largeurs variables (Classe F). Classes [ 0 ; 6 [ [ 6 ; 9 [ [ 9 ; 11 [ [ 11 ; 15 [ [15 ; 20 ] Centres 3 7, ,5 total Effectifs x i n i La moyenne est = 9,8 5

6 Propriété 3 Le calcul des fréquences cumulées croissantes permet aussi d obtenir les quartiles. Exemple 10 Voici les notes des élèves d une classe ( Classe E) Classes [ 2 ; 4 [ [ 4 ; 6 [ [ 6 ; 8 [ [ 8 ; 10 [ [10 ; 12 [ [12 ; 14 [ [14 ; 16 [ [16 ; 18 [ Centres Total Effectifs Fréquences 0,125 0,20 0,05 0,10 0,12 0,2 0,13 0,075 Cumul 0,125 0,325 0,375 0,475 0,60 0,80 0,925 1 Nous allons construire la courbe des fréquences cumulées croissantes et retrouver la médiane et les quartiles graphiquement. 0,75 1 0,925 0,80 0,5 0,25 0,60 0,475 0,375 0,325 0, Dispersion d une série Q Définition 8 L étendue d une série statistique de type quantitatif est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère étudié. 10 Med 12 Q 3 14 Etendue = Maximum - Minimum Définition 9 L écart interquartile d une série statistique de type quantitatif est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile du caractère étudié. Ecart interquartile = Q 3 Q 1 Remarque 5 Le mode, la moyenne, la médiane et les quartiles sont des paramètres de position ou mesure de tendance centrale : ils permettent de «résumer»la série par un nombre auquel on peut comparer les valeurs de la série. L étendue et l écart interquartile sont des paramètres de dispersion qui permet de mesurer si les valeurs de la série s écartent beaucoup des paramètres de position. 3.5 Compléments Propriété 4 Soit x et y deux séries statistiques d effectifs N x et N y et de moyennes x et y. Alors la série z constituée du regroupement des populations de x et de y a pour moyenne : z = N x x+ N y y N x + N y Exemple 11 Dans la classe les 15 filles mesurent en moyenne 1,67 m et les 20 garçons mesurent en moyenne 1,73 m. La taille moyenne des élèves de la classe est : 15 1, ,75 t = 1, La taille moyenne des élèves de la classe n est donc pas la moyenne des deux moyennes, mais la moyenne pondérée par les effectifs de filles et de garçons. 6

7 Remarque 6 Parfois dans une série statistique on observe une ou des valeurs extrêmes peu représentatives de la population étudiée. Ces valeurs sont appelées valeurs aberrantes. Lorsqu on calcule la moyenne de la série sans ces valeurs aberrantes, on dit qu on calcule une moyenne élaguée. Exemple 12 Dans l exemple 4, en éliminant la note 5, on obtient une moyenne élaguée x = 12,1. Exemple 13 Répartition des communes de France. Données Minimum Q 1 Médiane Q 3 Maximum Valeur Moyenne = 1760 Ecart interquartile = = 850 Et si nous élaguons les commune dont la population dépasse habitants (993 communes). Répartition des communes de France dont la population est inférieure à habitants : Données Minimum Q 1 Médiane Q 3 Maximum Valeur Moyenne = 906 Ecart interquartile = = 765 7