Novembre au cycle 3. R. Charnay - G. Combier La géométrie au cycle 3 / Romorantin 1
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- Théophile Sauvé
- il y a 6 ans
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1 au cycle 3 1 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 1
2 De quoi parle-t-on de l'école au collège? Espace sensible et géométrie 2 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 2
3 Du spatial au géométrique Un problème de mesure On connaît la longueuret lahauteurd un mur d une pièce«rectangulaire». On souhaite déterminer la longueur de la diagonale de ce mur. Comment faire? 3 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 3
4 Trois modes de résolution Résolution "pratique" : mesure prise sur le mur avec un fil et un escabeau Résolution "pratique" : dessin à l échelle sur une feuille de papier et mesure Résolution mathématique : raisonnement utilisant des connaissances géométriques (théorème de Pythagore) 4 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 4
5 Un autre problème de mesure ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD ]. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en M. D C M A Les 2 triangles AMD et BMC ont-ils la même aire? B 5 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 5
6 Quatre modes de résolution Résolution perceptive: estimation Résolution pratique : découpage, collage Résolution pratico-mathématique : reconnaissance de figures, mesurage, calcul (formules) Résolution mathématique: raisonnement 6 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 6
7 D C h D M C h h A M h B A B 7 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 7
8 La géométrie de l'école au collège C1 et C2 Géométrie de la perception Est vrai ce qui est "vu" comme tel Boîte à outils géométrique : l œil Géométrie instrumentée Fin C2 et C3 Sont vraies les propriétés contrôlées à l aide d'instruments Boîte à outils géométrique : instruments Géométrie déductive Est vrai ce qui est démontré Collège Boîte à outils géométrique : théorèmes 8 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 8
9 Perception, Instrumentation, Démonstration Quelle est la nature d un quadrilatère dont les sommets sont les milieux des côtés d un rectangle? Concours des médiatrices d un triangle 9 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 9
10 Déterminer une longueur (éva 6 e, 1997) Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm), on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E. Trouve la longueur du segment [EB] :.. Explique ta réponse :. Victor : 3,5 cm (le cercle est au milieu du segment) 26,3 % Adrien : 1 cm 8 (j ai mesuré) 16,6 % Lise : 3 cm (car 7 cm 4 cm = 3 cm) 10,3 % 10 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 10
11 Reconnaissance du carré Au CP, seul A est reconnu comme un carré Géométrie perceptive Au CE2, B devrait l'être aussi Géométrie instrumentée En 6 e, C également Géométrie théorique A B C 11 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 11
12 Réponse d'un élève (entrée en 6e) Réponse correcte : le carré est un losange, ici en position standard Réponse oubliée: le losange en position non standard Réponse correcte : carré, pourtant en position non standard Réponse erronée : faux carré, mais ici en position standard 12 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 12
13 pour l'enseignement 13 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 13
14 Différents aspects 14 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 14
15 Plusieurs aspects pour un même concept Perpendicularité 15 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 15
16 Que faites vous pour décider si l angle est droit ou non? 16 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 16
17 Et là? 17 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 17
18 Que faites vous pour décider si les deux droites sont perpendiculaires ou non? 18 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 18
19 Et pour tracer la perpendiculaire à la droite passant par le point marqué? 19 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 19
20 Plusieurs aspects pour un même concept Angle particulier : Perpendicularité - «Coin» : d un objet de référence (équerre) ou d une figure prototype (carré, rectangle)) - Droite d équilibre ou demi-angle plat - Vertical/horizontal 20 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 20
21 Plusieurs aspects pour un même concept Perpendicularité - Quatre angles égaux de même sommet recouvrent le plan (quart de tour) - Axe de symétrie d'une droite (pliage) - Plus courte distance d'un point à une droite 21 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 21
22 Plusieurs aspects pour un même concept Parallélisme 22 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 22
23 Plusieurs aspects pour un même concept - Ne se rencontrent pas, non sécantes Parallélisme - Ecart constant -Vont dans la même direction ou Même inclinaison par rapport à une droite donnée 23 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 23
24 Plusieurs aspects pour un même concept - Perpendiculaires à une même autre droite Parallélisme - Symétriques par rapport à un point 24 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 24
25 Angle droit et perpendicularité 25 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 25
26 Exercice 16 Regard sur quelques difficultés B d A C 1- Trace la droite qui passe par les points A et C 2- Trace la droite qui passe par C et qui est perpendiculaire à la droite d 3- Trace la droite qui passe par B et qui est parallèle à la droite d 54 % + 40 % segment 39 % 50 % 26 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 26
27 Une première étape au CE1 L'angle droit lié au "coin" du carré Mise en débat : carré / pas carré Les gabarits avant l'équerre 27 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 27
28 Des angles droits dans d'autres figures 28 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 28
29 Portrait Qui suis-je? -J'ai un seul angle droit -J'ai 6 angles droits et un axe de symétrie -J'ai 4 côtés et 2 angles droits 29 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 29
30 Une deuxième étape au CE2 Des gabarits aux équerres Différentes équerres utilisées pour - Identifier des angles droits - Reconnaître des figures (carré, rectangle, triangle rectangle) - Reproduire, compléter, construire des figures 30 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 30
31 Une troisième étape au CE2 La perpendicularité Point de départ - Horizontal / vertical 2 directions déterminées par le fil à plomb et le niveau à bulle Lien avec angle droit Retrouver la trace du fil à plomb lorsque qu'on fera coïncider cette ligne avec le niveau à bulle. Définition Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont deux droites perpendiculaires. 31 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 31
32 Une quatrième étape au CE2 Enrichir la perpendicularité Tracer, identifier à vue, à main levée avec l'équerre Une autre image de la perpendicularité le pliage Plier une 2 e fois pour avoir 2 droites perpendiculaires 32 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 32
33 Une cinquième étape au CM1 L'angle droit parmi d'autres angles Angle droit = quart de tour 2 perpendiculaires : 4 angles droits Géomette a tracé sur sa feuille 4 angles qui ont tous le même sommet. Les 4 angles ne sont pas égaux. Saurais-tu faire apparaître 4 angles tous égaux et qui ont tous pour sommet le point dessiné? 33 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 33
34 Une sixième étape au CM1 Perpendicularité outil Exemple : pour le parallélisme Avec uniquement l'équerre, sans mesurer, tracer une droite qui passe par le point A et qui est parallèle à la droite d. A d 34 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 34
35 Une septième étape au CM2 Un nouvel aspect de la perpendicularité 1) Trouver le point de la droite d qui est le proche du point A. d A 2) Ecrire une méthode qui permet de trouver, du premier coup, le point d'une droite qui est le plus proche d'un point qui n'est pas sur la droite. A d 35 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 35
36 Une huitième étape au CM2 Réinvestissement de la perpendicularité - Pour décrire une figure - Pour reproduire une figure - Pour construire une figure - A partir d une description - A partir d un schéma 36 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 36
37 La suite au collège - Tracé à la règle et au compas (relation avec médiatrice) - Mesure : 90, rapporteur - Double perpendicularité et parallélisme - Perpendicularité et distance d'un point à une droite - Perpendicularité et Pythagore - Perpendicularité et demi-cercle 37 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 37
38 Une approche par les problèmes 38 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 38
39 Une approche de la géométrie par les problèmes Localiser : décrire une position, repérer Reproduire Décrire, en vue de faire reproduire ou reconnaître Description verbale : informations ou programme de construction Description schématique (schéma codé avec cotes, à main levée ou non) Représenter, en vue de faire reproduire ou reconnaître Construire, à partir d'une description, d'un programme de construction, d'un schéma Classer Agrandir, réduire 39 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 39
40 Quelles notions (propriétés)? Relations spatiales ordinaires Alignement Égalité de longueurs, milieu Perpendicularité Parallélisme Egalité d angles Axes de symétrie 40 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 40
41 Des compétences attendues sur les objets suivants Objets de base (mais pas premiers!) : point, droite, segment, angle Polygones : triangleset cas particuliers, carré, rectangle, losange, parallélogramme (angles, côtés, pas les diagonales) Cercle Polyèdres : cube, pavé droit, prisme droit, pyramide, cylindre 41 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 41
42 Quels instruments et techniques? Gabarits : angle droit, angles, longueurs Règle graduée ou non, équerres (ordinaire, réquerre, téquerre) Guide-âne Compas Calque, pliage, papier quadrillé 42 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 42
43 Vocabulaire : une attention particulière Les mots ne sont pas les concepts Polysémie : exemple du mot "droit" Formulations spécifiques La droite d est parallèle à la droite f Les droites d et f sont parallèles Tracer la droite parallèle à la droite d qui passe par le point A 43 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 43
44 autour du cercle 44 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 44
45 Au CE2 Utilise tes instruments de géométrie. Prends sur la figure A toutes les informations qui te seront utiles pour tracer les cercles sur la figure B. Ensuite, utilise ces informations pour tracer les cercles sur la figure B. Une fois les tracés terminés, la figure B doit être superposable à la figure A. 45 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 45
46 Au CE2 Utiliser ses connaissances - Associer figures et descriptions - Rédiger une description d un cercle pour le faire reconnaître - Construire à partir d une description 46 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 46
47 Au CM1 - Exemples de pièces qui passent ou qui ne passent pas. - Résolution du problème. - A la fin, une validation expérimentale est possible. 47 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 47
48 Au CM1 Utiliser ses connaissances Analyser la figure, dans le but d'en compléter un agrandissement dans une position différente. 48 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 48
49 autour de l angle 49 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 49
50 Agrandir une figure (CM1 CM2) Voici un losange et un agrandissement de ce losange. La figure et son agrandissement restent affichés au tableau. 50 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 50
51 Agrandir une figure (CM1 CM2) Où l angle est un outil incontournable. 51 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 51
52 En conclusion Un concept géométrique Des références spatiales Des problèmes et différentes aspects Différents langages: vocabulaire, dessin précis, schéma à main levée (coté ou non) Des techniqueset des instrumentsde référence Un outil pour le raisonnement 52 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 52
53 Un exemple de problème "de raisonnement" 53 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 53
54 La réquerre 54 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 54
55 La téquerre 55 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 55
56 Le guide-âne 56 La géométrie au cycle 3 / Romorantin 56
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