Equations, inéquations et fonctions affines

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1 Equations, inéquations et fonctions affines A) Fonctions affines 1 Définition d une fonction affine Définition : f est une fonction affine, si et seulement si, il existe deux réels a et b tels que : pour tout réel x : f ( x) = ax + b Notation : a est appelé le coefficient directeur et b est appelé l ordonnée à l origine Propriété : f est une fonction affine vérifiant f ( x1) = y1 et f ( x ) = y on a alors f ( x ) f ( x1 ) a = x x 1 Variations d une fonction affine Dans toute cette partie, f est la fonction affine définie pour tout réel x par : f ( x) = ax + b Propriétés : Tableau de variations d'une fonction affine selon le signe de a : 1 er Cas : a < 0 ème Cas : a > 0 x + x + f (x) f (x) 3 Représentation graphique d une fonction affine Propriétés : La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d'équation : 1 er Cas : a < 0 ème Cas : a > 0 y = ax + b Année nde A M Evanno

2 4 Signe d une fonction affine 1 er b cas : ax + b = 0 donc ax = b d où x = a b x > ème a cas : ax + b > 0 donc ax > b d où b x < a b x < 3 ème a cas : ax + b < 0 donc ax < b d où b x > a On obtient alors les tableaux de signes suivants : si a > 0 si a < 0 si a > 0 si a < 0 Exemples : Représentations graphiques Soit f et g deux fonctions définies pour tout réel x par : f ( x) = x 3 et g( x) = 3x Représenter graphiquement les fonctions f et g dans un repère du plan Représentation graphique de f f est une fonction affine, sa représentation graphique C f est donc une droite Il suffit d'avoir deux points appartenant à cette droite pour pouvoir la tracer On calcule, par exemple, f ( 0) = 0 3 = 3 On place le point A ( 0 ; 3) On calcule, par exemple, f ( ) = 3 = 7 On place le point B ( ; 7) Conclusion : C f est la droite passant par les points 0 ; 3 B ; 7 A ( ) et ( ) Représentation graphique de g g est une fonction linéaire, sa représentation graphique C g est donc une droite qui passe par l'origine du repère Il suffit d'avoir un autre point de cette droite pour pouvoir la tracer On calcule par exemple g ( ) = 3 = 6 On place le point C ( ; 6) Conclusion : C g est la droite passant par les points 0 ; 0 C ; 6 O ( ) et ( ) Année nde A M Evanno

3 Exemples : Etude du signe de fonctions affines Soit f et g deux fonctions définies pour tout réel x par : f ( x) = x 1 et g ( x) = 3x 4 Signe de f Le coefficient directeur de la fonction affine f est a = > 0, on obtient alors le tableau de signes suivant : 1 x 1 > 0 si x ; + On en déduit que : 1 x 1 < 0 si x ; Signe de g Le coefficient directeur de la fonction affine g est a = 3 < 0, on obtient alors le tableau de signes suivant : On en déduit que : 3x 4 < 0 si 3x 4 > 0 si 4 x ; x ; 3 Exercice n 1 : 3 Soit f et g deux fonctions définies sur IR par : f ( x) = x et g ( x) = x + 1) Représenter graphiquement les fonctions f et g dans un même repère ) Résoudre graphiquement l équation f ( x) = g( x) et l inéquation f ( x) g( x) 3) Dresser les tableaux de variations de f et g en justifiant leur variation 4) Etudier le signe de f et g Exercice n : Déterminer l expression des fonctions suivantes : 1) f est une fonction linéaire vérifiant : f ( ) = 5 ) f est une fonction affine vérifiant : f ( 1) = 1 et f ( 1) = 3 3) f est une fonction affine dont la représentation passe par les points : A ( ; 3) et B ( 4 ; 7) 4) f est une fonction linéaire dont la représentation est parallèle à la droite : y = 3 x + 6 Exercice n 3 : Une bibliothèque propose deux types de tarifs : Formule A : 1 par livre emprunté Formule B : abonnement de 1, puis 0,0 par livre emprunté Soit x le nombre de livres empruntés et f (x) et g (x) les tarifs des formules A et B 1) Donner l'expression de f (x) et g(x) et représenter graphiquement ces deux fonctions ) Quelle formule vous paraît la plus avantageuse? (graphiquement puis algébriquement) nde A Année M Evanno

4 Exercice n 4 : À partir de la représentation graphique ci-dessous des fonctions affines f et g 1) Déterminer l expression algébrique de la fonction f ) Déterminer le tableau de signes de la fonction 3) Dresser les tableaux de variations des fonctions f et g en justifiant leur variation Exercice n 5 : On donne ci-dessous donne les représentations graphiques des fonctions f et g définies par : f ( x) = x + 3 g ( x) = x + 1) Attribuer chaque courbe à la bonne fonction ) Dresser les tableaux de variations des fonctions f et g en justifiant leur variation 3) On définit la fonction h par : h ( x) = ( x + 3)( x + ) a) Déterminer graphiquement les valeurs qui annulent la fonction h b) Résoudre graphiquement : h ( x) > 0 c) En déduire le tableau de signes de h Exercice n 6 : Le prix d'un ordinateur portable est de 680 Son prix subit deux baisses successives : une baisse de 0% suivie d'une baisse de 10% 1) Quel est le prix de l'ordinateur après ces deux réductions? ) Quel pourcentage total de réduction correspond à ces deux réductions? Exercice n 7 : On considère un pays dont la population en 008 est de 65 millions d'habitants Cette population a augmenté de % en 009 puis elle a diminué de % en 010 Quelle est la population de ce pays en 010? Année nde A M Evanno

5 B) Equations du premier degré à une inconnue 1 Les équations «types» Propriétés : Si a et b sont deux réels la solution de l équation : x + a = b est x = b a x a = b est x = b + a Si a et b sont deux réels ( a non nul) la solution de l équation : b ax = b est x = a x = b est x = b a a Des équations «composées» Propriétés : Si a, b et c sont trois réels ( a non nul) la solution de l équation : c b ax + b = c est x = a Si a, b, c et d sont quatre réels ( a c ) la solution de l équation : d b ax + b = cx + d est x = a c Exercice n 8 : 1) Retrouver les solutions des équations ci-dessous parmi les nombres : 1 ; ; et a) x + = x b) x = ) est-il solution de l équation : x + 6x + 8 = 0? 3) 3 17 est-il solution de l équation : x + 6x + 8 = 0? Exercice n 9 : Résoudre, dans IR, les équations suivantes : 1) 3 x = 0 ) 1 x = 0 3) 7 x = 0 1 4) x + 8 = 9 3 5) 3( x + 3) 10 = ( x + 4) 5x 6) x 1 5( x + 3) = 4 3x Année nde A M Evanno

6 C) Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un 1 Méthode Sauf cas particuliers (fausses équations du second degré), la méthode à employer est la suivante : Regrouper tous les termes dans le premier membre de l équation Factoriser le premier membre Appliquer : «un produit est nul si et seulement si l un au moins de ses facteurs est nul» Applications Exercice n 10 : Résoudre, dans IR, les équations suivantes : 1) 4x 9 = 0 ) ( x + 1) 3 = 0 3) ( x + 1)( x 5) ( x 5) = 0 4) ( x + ) ( x + 3) = 0 5) x 16 = 3( x + 4)( x + 1) 6) 4 + 4x + 1 = ( x + 1)( x 5) x Exercice n 11 : Résoudre, dans IR, les équations suivantes : 1) ( + 3) 7x + 1 = x 4 x ) ( 5 ) + 9 = ( x + ) x Exercice n 1 : Soit f la fonction définie par : f ( x) = ( 3x ) ( 3x )( x 3) 1) Développer et réduire : f (x) ) Factoriser : f (x) 3) Résoudre, dans IR, les équations suivantes : f ( x) = 0, f ( x) = 8 et f ( x) = x + 4 D) Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur 1 Méthode Si on exclut les cas particuliers, la méthode à employer est la suivante : Déterminer les contraintes de l équation N Ramener l équation à la forme = 0 D Résoudre l équation N = 0 Vérifier que les valeurs trouvées ne sont pas solutions de l équation : D = 0 Applications Exercice n 13 : Résoudre, dans IR, les équations suivantes : x + 3 a) 5 = 0 x + 1 x 1 b) = 7 x c) 1 x + = x d) x + x 4 = x 3 x + 5 Année nde A M Evanno

7 E) Inéquations du premier degré à une inconnue 1 Inégalités et opérations Règle 1 : Addition L ordre est conservé quand on ajoute (ou quand on retranche) un même nombre aux deux membres d une inégalité Règle : Multiplication par un nombre positif L ordre est conservé quand on multiplie (ou quand on divise) par un même nombre strictement positif les deux membres d une inégalité Règle 3 : Multiplication par un nombre négatif L ordre est inversé quand on multiplie (ou quand on divise) par un même nombre strictement négatif les deux membres d une inégalité Inéquations du premier degré à une inconnue Définition : Résoudre une inéquation, c est trouver toutes les valeurs que l on peut donner à x pour que l inégalité soit vraie Ces valeurs sont appelées les solutions de l inéquation Exercice n 14 : Résoudre, dans IR, les inéquations suivantes : a) 3x b) x 3 > x + 9 x c) 4 x + 3 d) ( 3x + 7) > 4( x + 1) + x 3 F) Étudier le signe d un produit ou d un quotient 1 Méthode Pour trouver le signe d un produit, on peut chercher le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle des signes Pour trouver le signe d un quotient, on peut chercher le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis procéder comme pour le signe d un produit (le signe de B A est le même que le signe de A B ) Année nde A M Evanno

8 Exemples Exemple 1 : x suivant les valeurs du réel x : x +1 = 0 x = 1 3 x 3 = 0 x = 3 x = On peut alors dresser le tableau de signes : Etudier le signe de ( + 1)( x 3) On peut alors conclure : 3 ( x + 1 )( x 3) = 0 lorsque x = 1 ou x = 3 ( x + 1 )( x 3) > 0 lorsque x ] ; 1[ ; + 3 ( x + 1 )( x 3) < 0 lorsque x 1; Exemple : 1 3x Etudier le signe de suivant les valeurs du réel x : x + 4 x + 4 = 0 x = x = 0 3x = 1 x = = 3 3 On peut alors dresser le tableau de signes : Lorsque x = 4, le quotient n est pas défini On indique ceci à l aide d une double barre On peut alors conclure : 1 3x = 0 lorsque x x > 0 lorsque x x < 0 x x = (car 4 est une valeur interdite) 3 1 x 4; 3 1 x ; 4 ; + 3 lorsque ] [ Année nde A M Evanno

9 Exercice n 15 : 1) Etudier à l aide d un tableau de signes les produits et des quotients suivants : a) P( x) = ( 3x + )( 1 5x) c) R ( x) = 3x( x + 7) 5x + 4 3x b) Q ( x) = d) T ( x) = x 4 x x 6x 7 = x 3 ) Démontrer que : ( ) 16 U x = x x 3) En déduire le signe de la fonction : ( ) 6 7 G) Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un 1 Méthode Regrouper tous les termes dans l un des membres de l inéquation de manière à ce que l autre soit égal à 0 Factoriser le membre non nul Etudier le signe du produit obtenu Conclure en donnant l ensemble des solutions Exemple Résoudre, dans IR, l inéquation : ( x 4 )( x + 3) > ( x 4)( x + 1) ( x 4 )( x + 3) > ( x 4)( x + 1) ( 4 )( x + 3) ( x 4)( x + 1) > 0 ( x 4 )[( x + 3) ( x + 1) ] > 0 ( x 4 )[ x + 3 x 1] > 0 ( x 4 )( x + ) > 0 x On peut alors conclure que : ( x 4 )( x + 3) > ( x 4)( x + 1) pour ] ; [ ] 4; + [ x Exercice n 16 : Résoudre, dans IR, les inéquations suivantes : a) ( x 1)( 4 5x) 0 b) x 3 < 0 c) ( 1)( x 4) 4x 1 x d) ( 1) ( 3x 1 ) x Exercice n 17 : Soit f la fonction définie par : f ( x) = ( x 3) 3( x 3)( x + 1) 1) Développer et réduire f (x) ) Factoriser f (x) 3) Résoudre dans IR les inéquations suivantes : f ( x) 0 et f ( x) > 18 Année nde A M Evanno

10 Exercice n 18 : Résoudre, dans IR, les inéquations suivantes : a) x + 5 < 0 x + b) x x c) 4 x 1 x 1 Exercice n 19 : Résoudre, dans IR, les inéquations suivantes : 1) x + 3x < 0 ) 3 3x + 6x > 0 3) 3x + 6 ( x + ) 0 d) e) 1 3 x x 4 ( x + 3)( x + 4) 0 x x 1 x + 5 6x x 1 f) ( )( ) ( )( ) < 4) ( + ) 5 x 5) 4x 4x ) 4x 1x + 9x > 0 Exercice n 0 : Sur la figure ci-contre, ABCD et BEFG sont des carrés Le but de cet exercice est de déterminer l ensemble des réels positifs x tels que la somme des aires de ces deux carrés soit strictement supérieure à 10 1) Montrer que résoudre ce problème revient à résoudre l inéquation : x 8x + 6 > 0 ) Montrer que : x 8x + 6 = ( x ) 3) En déduire les solutions de ce problème Exercice n 1 : Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) = ( x + 4) ( x + 3) 1) Développer f (x) ) Factoriser f (x) 3) Résoudre les inéquations : f ( x) < 7 4) Résoudre les inéquations : f ( x) 0 Exercice n : On considère la fonction f définie sur IR /{ 3} par : 3 f ( x) = 1 x 3 On donne, ci-contre, la représentation graphique de f 1) Montrer que pour tout x IR /{ 3} on a : x f ( x) = x 3 ) En utilisant le graphique ci-dessous, résoudre : a) f ( x) 0 b) f ( x) c) f ( x) x 3) Résoudre ces inéquations par le calcul Année nde A M Evanno

11 Exercice n 3 : L aire du parallélogramme ABCD est un rectangle tel que : AB = 3cm et BC = 5cm On place sur les côtés les points M, N, P et Q tels que AM = BN = CP = DQ = x On note S (x) l aire du parallélogramme MNPQ en cm Le but de cet exercice est de déterminer à quelle condition l aire du parallélogramme MNPQ représente moins de 60% de l aire du rectangle ABCD Partie A : Modélisation du problème 1) Justifier que x [ 0 ; 3] ) Justifier que 60% de l aire de ABCD représente 9cm² 3) On admet que : A + A = 5x x et A + A = 3x x AMQ PCN Montrer que S ( x) = x 8x ) En déduire que ce problème revient à résoudre l'inéquation : x 8x Partie B : Résolution graphique Les courbes représentatives C f et C g des fonctions f et g sont données sur la page suivante Répondre graphiquement aux questions suivantes (on laissera les «traits de lectures») : 1) La fonction f est définie sur IR par : f ( x) = x 4x a) Quelle est la nature l extremum de f et pour quelle valeur de x est-il atteint? b) Quels sont les éventuels antécédents de 6 par f? c) Dresser le tableau de variations de la fonction par f sur IR ) La fonction g est définie sur IR par : g ( x) = 4x 6 Résoudre graphiquement l inéquation : f ( x) < g( x) 3) Expliquer en quoi cette résolution vous permet de répondre au problème posé et donner les solutions de ce problème Partie C : Résolution algébrique 1) Vérifier que : ( x 6)( x 1) = x 8x + 6 ) En déduire les solutions du problème posé MNB PQD Année nde A M Evanno

12 Exercice n 4 : Le maximum Soit f la fonction définie sur IR par : ( x) = x + 1x 6 f 1) Montrer que pour tout réel x on a : f ( x) = ( x 3) 1 ) Calculer f ( 3) et en déduire que pour tout réel x on a : ( x) f ( 3) = ( x 3) 3) En déduire le signe de f ( x) f ( 3) + f 4) Pourquoi peut-on en déduire que f admet un maximum en 3 qui vaut 1? 5) Tracer la courbe représentative C f de f pour x [ 0 ; 6] sur le repère donné ci-dessous 6) Donner, par lecture graphique, le tableau de variations de f sur [ 0 ; 6] 7) Déterminer algébriquement, sur IR, les solutions de l inéquation : ( x) 6 8) Déterminer algébriquement, sur IR, les solutions de l inéquation : f ( x) 4 f Année nde A M Evanno

13 Exercice n 5 : 3 Renée cherche à résoudre l inéquation : x + x + x > x + 3x + Pour cela, il utilise un logiciel de calcul formel Voici ci-dessous ce qu il obtient Aider Renée à résoudre cette inéquation Année nde A M Evanno