Exo7. Intégrale de Riemann. 1 Rappel. 2 Propriétés de l intégrale de Riemann. 3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables?

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1 Exercices : Brbr Tumpch Relecture : Frçois Lescure Exo7 Itégrle de Riem Rppel Soiet ue octio borée et = { = < < < = b} ue subdivisio de [,b]. O ote : m k = i{ (x), x ] k, k [} et M k = sup{ (x), x ] k, k [}. O ppelle somme de Riem iérieure reltivemet à l qutité : S := m k ( k k ). De même, l somme supérieure de Riem de reltivemet à est égle à S := M k ( k k ). L somme iérieure de Riem de est déiie pr : S = sup S. L somme supérieure de Riem de est déiie pr : S = i S. Déiitio. Ue octio est Riem-itégrble sur [,b] si S = S. L itégrle de sur [,b] est lors déiie pr : (x)dx = S = S. Théorème. Ue octio borée est itégrble u ses de Riem sur [,b] si et seulemet si pour tout ε >, il existe ue subdivisio de [,b] telle que S S + ε. 2 Propriétés de l itégrle de Riem Exercice E utilist l déiitio d ue octio itégrble u ses de Riem, motrer les propriétés suivtes :. Si et g sot Riem-itégrbles sur [,b], lors + g est Riem-itégrble sur [,b]. 2. Si est Riem-itégrble sur [,b] et λ R, lors λ est Riem-itégrble sur [,b]. 3. Si et g sot deux octios Riem-itégrbles sur [,b] telles que, pour tout t [,b], (t) g(t), lors (t)dt g(t)dt. 4. Ue limite uiorme de octios Riem-itégrbles sur [,b] est Riem-itégrble sur [,b]. Correctio [597] 3 Quelles sot les octios Riem-itégrbles? Exercice 2 Motrer qu ue octio mootoe sur [,b] est Riem-itégrble sur [,b]. Correctio [598] Exercice 3 Motrer qu ue octio cotiue sur [,b] est Riem-itégrble sur [,b]. Correctio [599] Exercice 4

2 . Motrer que l octio : [,] R déiie pr : { si x Q (x) = si x R \ Q est ps Riem-itégrble sur [,]. 2. Motrer que l octio g : [,] R déiie pr : { g(x) = q si x = p q vec p et q premiers etre eux si x R \ Q ou x = est Riem-itégrble sur [,]. Correctio [592] Exercice 5 O dit qu ue prtie A de R est égligeble si, pour tout ombre réel ε >, il existe ue suite (I ) N d itervlles I =],b [ telle que : A I et (b ) ε. N N. Motrer qu ue réuio déombrble d esembles égligebles est u esemble égligeble. 2. Motrer qu ue octio borée : [,b] R est itégrble u ses de Riem sur [,b] si et seulemet si l esemble des poits où est ps cotiue est égligeble. Correctio [592] 4 Peut-o itervertir limite et itégrle? Exercice 6 Pour tout N, o déiit :],] R pr : (x) = e x. Motrer que l suite ( ) R coverge simplemet vers ue octio sur ],] mis que lim (x)dx lim + + (x)dx. Vériier que l covergece de ( ) N vers est ps uiorme sur ],]. Correctio [5922] 5 Applictios Exercice 7 Motrer que, si : [,b] R est ue octio itégrble u ses de Riem, o : b ( (t)dt = lim + k b ). b + E déduire les limites suivtes : Correctio ) lim + t k + b) lim k 2 c) lim ( ) log + k [5923] Exercice 8 2

3 . Motrer que si : [, b] R est Riem-itégrble, lors 2. Clculer (e utilist.) les itégrles suivtes : (x)dx = ( + b x)dx. ) π π xsix + cos 2 x dx b) 4 log( + tx) dx. Correctio Rppel : t(α β) = t(α) t(β) + t(α)t(β) [5924] Retrouver cette iche et d utres exercices de mths sur exo7.emth.r 3

4 Correctio de l exercice. Soit ε > doé. Puisque est Riem-itégrble sur [,b], il existe ue subdivisio = { = < < < = b} de [,b] telle que S S + ε 2. Puisque g est Riem-itégrble sur [,b], il existe ue subdivisio 2 = {b = < b < < b p = b} de [,b] telle que S 2 g S 2 g + ε 2. O ote 2 = {c = < c < < c q < c q = b} l subdivisio de [,b] obteue e ordot l esemble {,...,,b,...,b } pr ordre croisst, puis e idetiit les poits qui pprisset plusieurs ois (o obtiet ue subdivisio de [,b] e q itervlles vec mx{, p} q + p). Puisque 2 est ue subdivisio plus ie que, o : De même, De plus, sur u itervlle ]c k,c k [ doé, o : De même : O e déduit que : et S 2 S et S S 2. () S 2 g S 2 g et S 2 g S 2 g. (2) sup{ (x) + g(x), x ]c k,c k [} sup{ (x), x ]c k,c k [} +sup{g(x), x ]c k,c k [}. i{ (x) + g(x), x ]c k,c k [} i{ (x), x ]c k,c k [} E utilist les iéglités (), (2), (3) et (4), il viet lors : +i{g(x), x ]c k,c k [}. S 2 +g S 2 + S 2 g, (3) S 2 + S 2 g S 2 +g. (4) S 2 +g S + S 2 g S + S 2 g + ε S 2 +g + ε. D près le théorème rppelé e itroductio, o e déduit que + g est Riem-itégrble sur [,b]. De plus, de l iéglité S + S 2 g S 2 +g, o déduit que Or et Aisi De même, l iéglité ( ) sup S + S 2 g sup S 2 +g., 2, 2 ( ) sup S + S 2 g = sups + sups 2 g = (x)dx + g(x) dx, 2 2 sup S 2 +g, 2 = sup S +g = ( (x) + g(x)) dx. (x)dx + g(x)dx ( (x) + g(x)) dx. S 2 +g S + S 2 g implique ( (x) + g(x)) dx (x)dx+ g(x)dx. E coclusio, ( (x) + g(x)) dx = (x)dx+ b g(x)dx. 4

5 2. Pour λ = il y rie démotrer. Si est Riem-itégrble sur [,b] et λ >, lors pour tout subdivisio = { = < < = b} de [,b], o : i{λ (x), x ] k, k [} = λ i{ (x), x ] k, k [} sup{λ (x), x ] k, k [} = λ sup{ (x), x ] k, k [}. Pr coséquet, S λ = λs et S λ = λs. O e déduit que sup S λ = λ sup S = λ (x)dx = λ i S = i S λ. E coclusio, λ est Riem-itégrble et λ (x)dx = λ (x)dx. Si est Riem-itégrble sur [,b] et λ <, lors pour tout subdivisio = { = < < = b} de [,b], o : i{λ (x), x ] k, k [} = λ sup{ (x), x ] k, k [} sup{λ (x), x ] k, k [} = λ i{ (x), x ] k, k [}. Pr coséquet, S λ = λs et S λ = λs. O e déduit que sups λ = λ i S = λ (x)dx = λ sups = i S λ. E coclusio, λ est Riem-itégrble et λ (x)dx = λ (x)dx. 3. Soiet et g deux octios Riem-itégrbles sur [,b] telles que, pour tout t [,b], (t) g(t). Soit = { = < < = b} ue subdivisio de [,b]. Alors Il e découle que i{ (x), x ] k, k [} i{g(x), x ] k, k [}. sup S sups, c est-à-dire (x)dx g(x)dx. 4. Soit { i } i N ue suite de octios Riem-itégrbles, qui coverge uiormémet vers sur [,b]. Soit ε > doé. Il existe N > tel que i > N, sup [,b] i (t) (t) < ε. E prticulier, i (t) ε < (t) < i (t) + ε. Pour u tel i, o e déduit que pour toute subdivisio = { = < < = b}, o E prticulier : Il e découle que : sup sup i + ε et i i i ε ] k, k [ ] k, k [ ] k, k [ ] k, k [ sup ] k, k [ i ] k, k [ S S sup ] k, k [ i i i + 2ε. ] k, k [ S i S i + 2ε(b ). Comme i est Riem-itégrble, d près le théorème de l itroductio, il existe ue subdivisio de [,b] telle que S i S i ε. O e déduit que ce qui implique que est Riem-itégrble. S S ε ( + 2(b )), 5

6 Correctio de l exercice 2 Soit ue octio croisste [, b]. Pour motrer que est Riem-itégrble, il suit de trouver, pour tout ε > doé, ue subdivisio de [,b] telle que S S < ε. Soit = { = < < = b} l subdivisio régulière de [,b], de ps ( ) b. O Aisi : i = ( k ) et sup = ( k ). ] k, k [ ] k, k [ S S = = = ( k k )( ( k ) ( k )) ( b ( b ) ( ( k ) ( k )) ) ( (b) ()). Pour ssez grd, l subdivisio régulière de [,b] stisit S S < ε. D utre prt, si g est décroisste, = g est croisste, doc g est Riem-itégrble pr l exercice précédet (questio 2.) vec λ =. Correctio de l exercice 3 Ue octio cotiue sur [,b] est uiormémet cotiue sur [,b]. E prticulier, pour tout ε >, il existe > tel que ( ) b x y < (x) (y) < ε. Soit = { = < < = b} l subdivisio régulière de [,b], de ps ( ) b. O : Il viet lors : sup ] k, k [ i ] k, k [ 2ε. ( ) S b S 2ε = (b )2ε, ce qui permet de coclure grâce u théorème de l itroductio que est Riem-itégrble sur [,b]. Correctio de l exercice 4. Cosidéros l octio : [, ] R déiie pr : { si x Q (x) = si x R \ Q. Pour toute subdivisio de [,b], o : S = et S =. O e déduit que = sup S i S =, ce qui implique que est ps Riem-itégrble sur [,]. 2. Cosidéros l octio g : [,] R déiie pr : { g(x) = q si x = p q vec p et q premiers etre eux si x R \ Q ou x =. 6

7 Pour toute subdivisio de [,b], o : S g =. Pour tout ε > doé, l octio g pred des vleurs supérieures à e u ombre ii de poits seulemet (les poits k q, vec q > ε b b ce qui équivut à q < ε ). Notos x i, i =,..., p ces poits ordoés pr ordre (strictemet) croisst. Sur [,] \ {x,...,x p } l octio g pred des vleurs ε et. Aisi vec l subdivisio = {x,...,x p } ous obteos : S g ε (b ) = ε b Comme O e coclut que g est Riem-itégrble sur [,]. ε b Correctio de l exercice 5 c Adré Grmi, Itégrtio, p. 7, Herm (998). Correctio de l exercice 6 Pour tout N, o déiit :],] R pr : (x) = e x. Pour tout x ],], o lim + (x) = lim + e x =. O e déduit que l suite de octios coverge poctuellemet (ou simplemet) vers l octio idetiquemet ulle. O (x)dx = mis (x)dx = e, et lim + (x)dx =. L suite ( ) R e coverge ps uiormémet vers sur ],], cr pour tout ε >, et pour tout N, o : sup (x) (x) > ε. ], log( ε )[ Correctio de l exercice 7 Soit : [,b] R ue octio itégrble u ses de Riem. Notos x k = + k b, k =,..., les poits où Soit =, + = b et k = + 2k+ 2 pour k =,...,. Cosidéros l subdivisio = { = < < k < < = b} de [,b]. Cette subdivisio est presque régulière, seul le premier itervlle et le derier ot des logueurs diéretes. Pour k =,...,, x k est le milieu de ] k, k+ [. Notos m k = i{ (x),x ] k, k [} et M k = sup{ (x),x ] k, k [}. Doc pour k =,..., o m k (x k ) M k. Mis il ut ussi teir compte de (x ) = (b) et des premiers et deriers itervlles. D où pour l miortio : Cel doe S = (m + m ) b 2 + b S (m + m + 2 (b)) b 2 m k (m + m ) b 2 b + b (x k ). (x k ). Qud ted vers + o trouve que S et (m + m + 2 (b)) b 2 cel doe l iéglité : b lim + (x k ). L somme S coduit de mière similire à l iéglité iverse, d où : ( b (x)dx = lim + 7 ) ( + k b ).

8 O : ) lim + c) lim + t k = log(cos) b) lim + log ( ) = 2l k 2 +k 2 = π 4 Correctio de l exercice 8. ( + b x)dx = ( + b x)( + b x) dx = ϕ(b) ϕ() (t)dt = b (t)dt = (t)dt 2. ) où ϕ : [,b] [,b], ϕ(x) = + b x est ue octio de clsse C. I := xsix + cos 2 x dx = (π x)si(π x) + cos 2 (π x) dx = (π x)six + cos 2 x dx = π six + cos 2 x dx I I = π 2 six + cos 2 x dx = π 2 (cosx) + cos 2 x dx = π 2 ϕ(π) ϕ() +t 2 dt = π 2 +t 2 dt = π 2 π2 dt = +t2 4. où ϕ : [,π] [,], ϕ(x) = cosx est ue octio de clsse C. b) J := π/4 log( + tx)dx = π/4 log ( + t( π ) 4 x) dx = π/4 d où l vleur de l itégrle est J = π 8 log2. ( log + tx ) π/4 ( dx = log + tx 2 + tx ) dx = π 4 log2 J 8