Corrigé du bac S blanc Lycée Français de Valence 4 avril 2013

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1 Corrigé du bac S blanc Lycée Français de Valence avril EXERCICE 5 points VRAI ou FAUX? Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie Énoncé : VRAI : eemple a n = π π On a alors lim n u n = lim si na n= si n = n + n + Énoncé : FAUX : on a z = e iπ qui a pour argument iπ et z = e i π = e iπ Or π = 6π+π = π+ π, donc z a pour argument π π Donc les points O, M et M ne sont pas alignés Énoncé : VRAI : lim f = lim cos = car cos Comme lim = lim = par le théorème des gendarmes, on obtient lim f == f Énoncé : VRAI : f est continue sauf en, positive ou nulle sur R et + + y [ f d = d = lim d = lim y + y + ainsi f est bien une densité 5 Énoncé 5 : ] y = lim y + y + = FAUX : si la courbe est la représentation graphique de f, la courbe est celle de F puisque c est la seule qui contient l origine F = Or on voit sur la courbe que F π π =, mais f Donc la courbe n est pas la représentation graphique de la primitive F EXERCICE 6 points Partie A a f est une somme de fonctions dérivables sur [ ; + [ et sur cet intervalle : f =5 5 = = Or + > > < < > = = b - La fonction f est croissante sur [ ; [ - La fonction f est décroissante sur ] ; + [ - f =5ln,9 est le maimum de la fonction f sur [ ; + [ On a le tableau de variations suivant : α + f 5ln 5ln

2 c Comme >, on peut factoriser : f =5ln + = 5ln + 5ln ln d On sait que lim = et que lim + lim f = lim = + + D autre part f = 5ln e Voir le tableau plus haut + + = 5ln + 5ln + = 5 ln =, donc que lim + ln + 5ln + + = ln=, donc finalement : a Sur l intervalle ] ; + [, f est strictement décroissante de f > à Il eiste donc un réel unique α>, tel que f α= 5lnα+ α= b f =5ln7,7> et f 5=5ln8 5,55<, donc <α<5 La calculatrice livre : f,=5ln7,,,> et f,=5ln7,,,5<, donc c Le tableau de variations montre donc que : - f > sur [ ; α[ ; - f < sur [α ; + [ ; - f α=,<α<, Partie B a b La suite semble être croissante a La fonction g a même sens de variation que la fonction ln, soit croissante ; on peut également calculer g = 5 > comme quotient de deu nombres supérieurs à zéro + b On a vu dans la partie que f α= 5lnα+ α= 5lnα+=α g α=α c Initialisation : On a α : l encadrement est vrai au rang ; Hérédité : Supposons qu il eiste p N tel que u p α Comme la fonction g est croissante sur [ ; + [ donc en particulier sur [ ; α], on a donc : g g u p g α c est-à-dire 5ln u p+ α d après la question précédente On a donc a fortiori : u p+ α L encadrement est vrai au rang p+ On a donc démontré par récurrence que pour tout naturel n N u n α d On a vu que sur l intervalle [ ; α[, f > sur [ ; α[, donc pour tout u n tel que u n α, lnu n + u n > lnu n + >u n g u n >u n u n+ > u n, ce qui démontre que la suite u n est croissante Cette suite est croissante et majorée par α : elle converge donc vers une limite l telle que l α e La relation u n+ = 5lnu n + donne par continuité de la fonction dérivable g et par limiteen plus l infini : l=lnl+ lnl+ l= f l= Or on a vu à la question a de la partie A que α est la seule solution de l équation f = sur [ ; + [ Conclusion l=α On a donc lim u n = α n + a Cet algorithme calcule successivement u, u, On a vu que cette suite converge vers le nombre α supérieur à, La condition u,<sera donc réalisée et l algorithme affichera la première valeur de la suite supérieure à, Lycée Français de Valence sur 6 avril

3 b Il suffit de taper sur la calculatrice : u = Entrée 5 lnans+ Entrée Entrée, etc On obtient u 6,5>, EXERCICE points Étude des fonctions f et g a f =ee et g =e e On a lim e =+, d où par produit de limites lim f = Comme lim =+, lim g =+ b On sait que lim + e =, donc lim f = + De même comme pour tout naturel n, lim + n e =, on a lim g = + c f produit de fonctions dérivables sur R est dérivable et sur cet intervalle f =ee e =ee Comme e > quel que soit le réel, le signe de f est celui de qui est positif sur ] ; [ et négatif sur ] ; + [ D où le tableau de variations de f : + f g produit de fonctions dérivables sur R est dérivable et sur cet intervalle g =e e e = ee Comme e > quel que soit le réel, le signe de g est celui du trinôme qui est négatif sauf entre les racines et D où le tableau de variations de g : + g + e donc Calcul d intégrales a I = e d = e b H= n+ e H =n+ n e n+ e n+ n e n+ e d = n+ H H=n+ I n I n+ =n+ I n I n+ ainsi I n+ = +n+ I n e d = e [ e ] = e e + = e n e d n+ e d c La formule précédente donne pour n=, I = + I = +e =e Pour n=, I = +I = +e =e 5 Calcul d une aire plane Lycée Français de Valence sur 6 avril

4 a Soit d la fonction définie sur R par d= f g =e e = e Comme e > quel que soit le réel, le signe de f est celui du trinôme, soit négatif sauf entre les racines du trinôme et Ceci montre que la courbe C est au dessus de la courbe C sur ] ; [ et au dessous sur ] ; [ et sur ] ; + [ b On vient de voir que sur l intervalle [ ; ] f g, donc l aire de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C et C, d autre part entre les droites d équations respectives = et = est égale à la différence des intégrales : A = f d par linéarité de l intégrale g d = [f g ] d = I I = e e 5= e EXERCICE Candidats n ayant pas choisi l enseignement de spécialité 5 points Partie A Notons p la probabilité que le membre choisi au hasard soit une femme L arbre de probabilités correspondant à la situation est : p F p F a T = T F T F C est une réunion d événements incompatibles, donc : pf= pt F+ pt F= p F TpF+ p F TpT Par conséquent : pt= p + p = p+ = p+ On sait que pt=,= On en déduit : p+ = p = = d où p = = 5 F La probabilité de l événement F est : pf= 5 b p T F = pf T pt Partie B = p = p = 5p 6 = = 6 = ; p TF = a i Soit N la variable aléatoire donnant le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les membres choisis Nous avons répétition d une epérience aléatoire à deu issues, identique et indépendante N suit donc la loi binomiale de paramètres n= nombre d épreuves et p = : N B ; On sait alors que pn = k= k D où : pn = = k,7 = 5,66 k = k k,7 k Lycée Français de Valence sur 6 avril

5 ii Cette fois, N suit la loi binomiale B n ; p n = pn = pn = = n 7 n 7 n 7 n = : p n = iii p n,99,,7 n ln, n ln,7 en appliquant la fonction ln qui est croissante d où n ln, ln,7 9 Il faut que n soit supérieur ou égal à pour que p n soit supérieur à,99 b i Le nombre de tirages possibles de deu jetons est = 95 X peut prendre les valeurs 5 deu jetons gagnants, 5 un seul jeton gagnant et -5 deu jetons perdants px = = = 5 95 = px = = 9 = 5 95 = 89 px = = [px = + px = ]= La loi de probabilité de X est donc : + 89 = 9 = = i p X = i ii L espérance est EX = i i p X = i = = = EX = Cela signifie qu en moyenne, sur un grand nombre de partie, le joueur perd euro par partie Lycée Français de Valence 5 sur 6 avril

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