I. Algèbre linéaire A. Matrices 1. Définition Une matrice est un nombre rectangulaire de nombres.

Transcription

1 I. lgère lére. Mtrces. Défto Ue mtrce est u omre rectgulre de omres. Ue mtrce est déotée p où représete le omre de rgées et p le omre de coloes ds l mtrce. Les élémets de l mtrce sot déotés j où dque l rgée et j l coloe où est retrouvé l élémet Multplcto pr u sclre Lorsqu o multple ue mtrce pr u sclre, o dot multpler chque élémet ds l mtrce pr le sclre. S lors k k k k k 3. ddto et soustrcto de mtrces Lorsqu o ddtoe des mtrces, elle dot vor le même formt p. Chque élémet semlle (yt l même rgée et coloe) est ddtoé à l utre élémet semlle. S et B lors B L ddto de mtrces est ssoctve : +B+C = (+B)+C = +(B+C) L ddto de mtrces est commuttve : +B = B+ L multplcto pr u sclre est dstrutve pr rpport à l ddto : k(+b) = k+kb 4. Multplcto de mtrces Pour que deu mtrces soet comptles pour l multplcto, le omre de coloes de l premère mtrce dot être le même que le omre de rgée de l deuème. Doc, s 3 et B 4, les mtrces sot comptles pour l multplcto. Ds l multplcto : m B jk dot être égl à j et l mtrce résultte ser de formt mk.

2 Pour détermer l vleur d u élémet, pr eemple l élémet c, ous fsos l somme des produts des élémets de l premère rgée de l mtrce et de l premère coloe de l mtrce B. B. Résoluto de systèmes d équtos. pr susttuto. pr élmto C. L méthode Guss-Jord L méthode Guss-Jord est semlle à l résoluto de systèmes d équtos pr élmto pr cotre l fut trsformer le système d équtos e mtrce e premer. Ue fos qu o l mtrce, ous trsformos celle-c e mtrce detté. Les trsformtos des lges possles sot :. o peut multpler ue lge pr u sclre. o peut échger les lges de plce c. o peut soustrre ou ddtoer deu lges D. Les mtrces verses Étt doé ue mtrce, l mtrce verse est déotée -. S deu mtrces, et B, sot verses l ue de l utre, lors : B = B = I Nous pouvos uss utlser l mtrce verse f de résoudre u système d équtos. Preos les mtrces et X. représete l mtrce des coeffcets des vrles, B représete l mtrce des égltés des systèmes d équtos et X l mtrce de vrles. X = B - X = - B

3 IX = - B X = - B Pour trouver l verse, ous mettos l mtrce dot ous voulos trouver l verse à côté de l mtrce detté. Nous trsformos l mtrce orgle e mtrce detté. Pour chque trsformto sur l mtrce orgle, ous pplquos l même trsformto à l mtrce detté. E. Systèmes d équtos ss soluto. Détermer les solutos possles. Effet sur l verslté de l mtrce F. Les détermts U système d équtos ue soluto s le détermt de l mtrce est o ul.. Les mtrces. Les mtrces 33. l formule géérle 3 det ( ) det ( ) det 3( ) det j est l sous-mtrce qu est oteue de e elevt les rgées et coloes et j.. l règle de Srrus 3 det = e + fg + cdh ceg fh d c. l lgorthme de Guss S ue mtrce de 33 possède u trgle de éros féreur ou supéreur, le détermt de l mtrce peut être détermé e multplt l dgole.

4 G. Les comtrces et les mtrces trsposées. Défto de comtrce comt j det B j T B j est l sous-mtrce qu est oteue de e elevt les rgées et coloes et j.. Défto de mtrce trsposée Ue mtrce trsposée est celle où les rgées et les coloes sot échgées. 3. L verse d ue mtrce e focto des comtrces et mtrces trsposées comt det comt = det(i) H. L règle de Crmer - comt det j det j det où j est l mtrce oteue e remplçt l coloe j pr.

5 II. Nomres complees. Défto Preos +=0. Étt doé que =-, l y ur ps de soluto réelle. Nous vos doc déoté =- où est u omre mgre ou ds le dome complee. U omre complee,, cosste d ue prte réelle et d ue prte mgre. =+ où est réel et est mgre. Représetto grphque Nous représetos les omres complees sur u pl crtése où l e des scsses représete l drote umérque des omres réels et l e des ordoées l prte mgre du omre complee. 3. Le module d u omre complee Le module dque l dstce d u omre complee pr rpport u pot éro; sot l prte réel et mgre sot tous deu éro. Le module peut être clculé de l même fço d ue dstce sur u pl crtése : 4. L ddto de omres complees Étt doé deu omres complees : + et c+d S ous ddtoos (+) + (c+d), les prtes réelles s ddtoet et les prtes mgres s ddtoet pour doer : ( ) ( c d) ( c) ( d) S l s gt d ue églté, les prtes réelles sot égles l ue à l utre s que pour les prtes mgres : c d lors, =c et =d 5. Le complee cojugué Le cojugué d u omre complee est prel que le cojugué d u omre rdcl. Étt doé le cojugué ser doc ( rre)

6 6. L multplcto de omres complees L multplcto des omres complees est dstrutve. Lorsqu o multple des omres complees ous pplquos l dstrutvté comme ous fsos pour u ôme. ( )( c d) c d c d Remrque que le derer terme est qu, pr défto, est égl à -. Nous vos doc, ( c d) ( d c) 7. L dvso de omres complees Lorsque ous dvsos deu omres complees, ous utlsos le cojugué du déomteur pour trouver u omre complee équvlet. C est l même méthode que lorsqu o rtolse u rdcl. c d ( c d) ( c d) c d c d c d c d 8. Nous pouvos dérver à mporte quel epost. Il sufft de trouver le ptro Nous vos qu à dvser l epost pr 4. Le reste de l dvso ous doer l vleur de. Pr eemple,. Nous dvsos pr 4 et l ous rester. lors 9. Les proprétés de omres complees.. c. d. / / 0. Résoluto d équtos

7 Lorsque ous résolvos des équtos vec des omres complees, l prte réelle est égle à l prte réelle et l prte mgre est égle à l prte mgre. Pr eemple, ds c d, =c et =d lors, s 3 y, y 3et. L forme polre d u omre complee Étt doé qu o peut représeter u omre complee de l forme lgérque,, sous l forme de coordoées, l est possle de détermer l forme polre de ce omre. Étt doé plcé sur le pl complee, représete otre coordoée et représete otre coordoée y. devet lors y vec ue susttuto de r(cos s ) Cette epresso est régée à : rcos et y rs ous oteos doc, rcs. le produt de omres complees sous forme polre r (cos s ) et r (cos s ) r r (cos s )(cos s ) r r (cos cos cos s s cos s s ) r r (cos cos s s (cos s s cos )) r r (cos( ) s( )) r r ( cs( )). le quotet de omres complees sous forme polre L verse d u omre complee est : cs( ) r Le quotet peut doc être détermé utlst l verse du omre complee :

8 r r r cs cs( ) r cs( ) r cs ( ) r. Le théorème de Movre Étt doé u omre complee sous l forme polre, le théorème de Movre ous dt que : ( rcs ) r cs( ) pour tout 3. Les e rces d u omre complee Étt doé u omre complee, s ous voulos trouver l e rce ous pouvos l écrre =u. Supposos que u cs (ue rce) Doc, cs et pr coséquet r cs cs. S r, lors ous svos que r uss, ms vec l pérodcté des gles k qu se smplfe à k. Ces deu termes peuvet doc etrer ds ue seule formule : k k rcs où r et k 0,,,...,

9 III. Coordoées polres O représete prfos des coordoées à l de du système de coordoées polres. Ceu-c dffèret du système crtése qu utlse les coordoées et y sur deu es s ommés. Les coordoées polres sot représetées pr u ryo (r) et u gle (θ) pr rpport à l gle 0.. Représetto d ue coordoée polre Le ryo dque l dstce pr rpport u pot d orge L gle dque l gle pr rpport à l e polre Ue coordoée est déotée : (r, θ) L gle postf dque l mesure de l gle ds le ses t-horre et u gle égtf dque l mesure ds le ses horre. Le ryo postf dque l drecto de l gle et celu égtf dque le côté opposé de l gle. Idqué dfféremmet, (-r, θ) est équvlet à (r, θ + 80 ) ou (r, θ + π). Eemple : Représeter le pot (4, 45 ) sur u pl polre Quelles sot les utres fços de représeter le pot (3, 60 )?. L relto etre les coordoées polres et crtésees E utlst l trgoométre ds le pl crtése o e dédut l relto : cos r doc, = r cos θ s y r doc, y = r s θ + y = r doc, r y y t doc, t y Eemple : Quelles sot les coordoées crtésees de l coordoée polre (4, 3π/4)? Quelles sot les coordoées polres de l coordoée crtésee, 3? Quelles sot les coordoées polres du pot (-, -4)? 3. Reltos grphques e coordoées polres

10 IV. Sutes et séres Ue sute est composée d ue focto où le dome s gt d eters postfs. O peut démotrer l sute comme sut : f(), f(), f(3),, f(), ou e utlst l otto pour les sutes où c = f() : c, c, c 3,, c Le premer uméro est ommé le premer terme et est déoté c, le deuème uméro est le deuème terme (c ) et s de sute jusqu u e terme (c ).. Les sutes rthmétques Ue sute est dte rthmétque s l dfférece etre chque terme successf est égle. Pr eemple :, 3, 5, 7, L dfférece etre chque terme est. L formule géérle pour ue sute rthmétque est doée pr : c = (-)r + c où r est l dfférece etre deu termes successfs. Les sutes géométrques Ue sute est dte géométrque s le quotet de deu termes successfs est égl à mporte quels utres deu termes. Pr eemple :, 4, 8, 6, Chque terme successf est u fcteur de du précédet. L formule géérle est doée pr : c = c r - où r est le fcteur etre deu termes successfs 3. Les sutes récursves Ue sute récursve est ue sute qu cotet toujours le terme précédet. Le premer terme dot être déf. Pr eemple : c =, c + = c + 3 Certes sutes e sot rthmétques, géométrques et d utres sot les deu e même temps. 4. Les lmtes de sutes Pour qu ue sute possède ue lmte, elle dot vor ces crctérstques :

11 - elle dot être mootoe (sot crosste ou décrosste) - elle dot être orée (dot vor ue vleur qu elle e rejot ps) Il fut premèremet démotrer ces deu crctérstques vt de trouver l lmte. Nous pouvos démotrer l premère pr ducto et l deuème pr susttuto. 5. Preuve pr ducto Pour prouver qu ue formule pour clculer l somme est el et e l oe, l fut suvre ces étpes : - l formule dot foctoer pour le premer terme - o ssume que l formule foctoe pour - o démotre que l formule est vre pour + 6. L otto sgm (les séres) Ue sére est ue sute où o ddtoe chque terme de celle-c. O peut déoter cette somme vec l lettre grecque sgm ( ). Pour fre cec, l ous fut l formule géérle de l sute. L formule de sute récursve e peut être utlsée vec l otto sgm. O peut smplfer ue sére à l de d ue seule formule. Il sufft d utlser ces séres suvtes : ( ) ( )( ) 6 3 ( ) 4 S l tervlle est de à, ces tros formules peuvet être utlsées. Pr cotre, s l tervlle est de k à, l fut fre ue soustrcto de sommes. f ( ) f ( ) f ( ) k k