Université de Rennes 1 Année Chapitre 3 : Étude des fonctions. Domaine de définition
|
|
- Fernande Faubert
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Université de Rennes Année UFR Mathématiques MIEE L, Module ANA Chapitre 3 : Étude des fonctions Domaine de définition Eercice 3.. Trouver le domaine de définition des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) tan(2), (b) ln( ), (c) ln( 2 ) (d) (e). Composées de fonctions Eercice 3.2. Soit f et g deu fonctions numériques d une variable réelle données par f() = 3 et g() = (a) Trouver le domaine de définition ainsi que l image de f et de g. (b) Déterminer les antécédents de 0 et 2 par f et de 0 et 2 par g. Soient f, f 2, f 3 et f 4 les fonctions numériques d une variable réelle donées par f () = f(f()), f 2 () = f(g()), f 3 () = g(f()) et f 4 () = g(g()). (c) Déterminer le domaine de définition de f i, i =,...,4. (d) Trouver une epression simplifiée de f i, i =,...,4. Inéquations, valeur absolue Eercice 3.3. Résoudre les équations et inéquations suivantes dans R : (a) 2 5 = 4, (b) < 3, (c) Fonction logarithme, eponentielle, puissance Eercice 3.4. Simplifier les epressions suivantes autant que possible : ( ) ( ) (a) 9 2, (b) log9 (c) ln( + cos()) + ln( cos()) 2 ln(sin()) Eercice 3.5. (Etrait du contrôle 2 du 4/0/2009) Résoudre l inéquation ( ) ln > 0. +
2 Eercice 3.6. (Etrait du contrôle 2 du 4/0/2009) Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : ( e ) ( 2 ) α 2 (a) ln (b) ( )( + 2) 2, pour α ]0,[ Fonctions hyperboliques Eercice 3.7. (a) Eprimer sinh(3) à l aide de sinh(). (b) Montrer en utilisant la définition du cosh et sinh que cosh 2 () sinh 2 () =. (c) Simplifier l epression suivante autant que possible : cosh(ln()) sinh(ln()) cosh(ln()) + sinh(ln()). Symétrie Eercice 3.8. Parmi les fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes, lesquelles sont paires ou impaires? (a) , (b) , (c) sin( 3 ), (d) sin 2 ( 3 ), (e) e, (f) ln( ), (g) tan(sin()), (h) e sin() (i) sin(ln()). (j) cosh() + e 2 4. Eercice 3.9. (a) Montrer que le graphe de la fonction donnée par la formule f() = est symétrique par rapport à la droite d équation =. (b) Montrer que le graphe de la fonction donnée par la formule g() = est symétrique par rapport au point M(, 5). Eercice 3.0. Soient f et g deu fonctions numériques d une variable réelle. (a) si f et g sont impaires alors la composition f g est impaire. (b) si g est paire alors f g est paire. (c) si f est paire et g est impaire alors f g est paire. Limite Eercice 3.. Décrivez le comportement ite des fonctions numériques d une variable réelle, données par les formules suivantes, de chaque côté de la valeur de indiquée. (a) ep ( ) ( ), = 0 (b) ep, = 0 (c) 2 2 +, =. 2
3 Eercice 3.2. Prouvez par encadrement (théorème des gendarmes) que la valeur de chacune des ites suivantes ( est) zéro. ( ) (a) sin, (b) 0 + e cos(), (c) cos, (d) ep(sin() ). + Eercice 3.3. Utilisez un changement de variable pour évaluer les ites suivantes : sin(ln()) 2 (a), (b) ln() 0 + sin( 2). Eercice 3.4. Évaluez les ites suivantes ep(2) (a) 2 2, (b) 4 0 ep(), (c) , (d) , (e) , (f) + 2 ln (g) + e + 2 (h) ( ln( + 2) + (i) + + ) (( + ) 2 ) sin (j) (Etrait de l eamen du 9/2/2008). 0 cos Branche infinie Eercice 3.5. Etudier l eistence d une direction asymptotique et l eistence d une asymptote oblique en + des graphes des fonctions données par les formules (a) f () = (b) f 2 () = e (c) f 3 () = ln(sinh 2 sinh + ) (d) f 4 () = 2 sin() (e) f 5 () = 2 + sin() (f) f 6 () = + sin() Définition de la dérivée Eercice 3.6. Utiliser directement la définition de la dérivée (en tant que ite) pour calculer la dérivée de la fonction f() =. Opérations algébriques de la dérivée Eercice 3.7. Pour chacune des fonctions données par les formules suivantes : (a) 8 3/4 (b) e (c) e sin() (d) 4 e ln() 2/3 (e) (f) 3 sin() (i) donner un sous-ensemble du domaine de définition ou la fonction en question est dérivable et (ii) utiliser les règles concernant la dérivée d une somme, d un produit, et d un quotient pour trouver la dérivée. 3
4 Eercice 3.8. En utilisant toutes les règles à votre disposition, trouver la dérivée de chacune des fonctions données par les formules suivantes : (a) cos( ) (b) + e (c) cosh( ln()) (d) 2 (e) ln(ln(ln())) (f) ln( sin()) (g) 2 sin() Règle de l Hôpital Eercice 3.9. Utilisez la règle de l Hôpital pour trouver les valeurs des ites suivantes : ( (a) 0 sin() ) (, (b) tan() 0, (c) 0 sin() ), ( ) cos(a ) sin() (d) 0 2 2, (e) 0 5. Eercice Soit f() = 2 4. (a) Déterminer les points critiques de f. Etrémum (b) Déterminer les minima, maima locau et globau de f(). Eercice 3.2. Déterminer (s ils eistent) les minima, maima locau et globau de (a) ( 2 ) 2 (b) 2 ep ( 2). Eercice Pour chacune des fonctions numériques données par les formules et les domaines de définitions ci-dessous, trouver les maima et minima locau et globau. (a) , 2 2 (b) 2 + 2, Accroissements finis Eercice Pour n 0 un entier, on considère f() = n. Soient a,b deu réels avec a < b. (a) On suppose que n = 0. Déterminer l ensemble des c ]a,b[ tels que f (c) = f(b) f(a) b a. (b) Même question pour n =. (c) Même question pour n = 2. (d) (Plus difficile) Traiter le cas n quelconque. Eercice Soit f() =, et a,b deu réels avec a < b. (a) Déterminez l ensemble E des points où f est dérivable. (b) Eiste-t-il c E tel que f (c) = f(b) f(a) b a et b sont de même signe ou non).? (On pourra distinguer plusieurs cas, selon que a 4
5 Eercice Soit f() = arctan(), a = 0, b =. Déterminer si il eiste c ]a,b[ (et le cas échéant le déterminer) tel que f f(b) f(a) (c) =. b a Applications, Injections, surjections Eercice Dans chacun des cas suivants indiquer s il s agit du graphe d une application, injection, surjection de [0,] dans [0,]. 0 (a) 0 0 (b) (c) 0 (d) 0 (e) 0 (f) (g) (h) (i) Fonctions convees, fonctions concaves Eercice Que dire d une fonction à la fois convee et concave sur un intervalle? Eercice Après avoir déterminé son ensemble de définition, montrez que f() = ln(+e ) est convee, puis déterminez ses éventuelles asymptotes avant de tracer son graphe Eercice (a) Montrez, à l aide d une propriété de conveité, que 0, e +. (b) Démontrez que la fonction f() = e est convee, et tracez l allure de son graphe. 5
6 Inégalités Eercice Démontrer l inégalité suivante : 0, ln( + ) 2 2 Fonction réciproque Eercice 3.3. Soit f la fonction donnée par la formule (a) Déterminez le domaine de définition D f et l image de f. (b) Trouver un domaine D D f tel que f est une bijection entre D et son image. (c) En citant un théorème du cours, montrer que f admet une fonction réciproque. Quel est son domaine de définition, son image? Que peut-on dire sur la continuité de cette dernière? (d) Tracez la fonction et sa réciproque dans un même repère. (e) Trouvez l epression de la fonction réciproque. Eercice Pour chacune des fonctions numériques donnés par les formules suivantes : f() = sinh() g() = cosh() h() = e 2 (a) montrer qu après une réstriction approprié du domaine de définition elle admet une fonction réciproque qui est continue. (b) étudier la dérivabilité de la fonction réciproque et déterminer cette dérivée. Fonctions trigonométriques réciproques Eercice Simplifier les epressions suivantes : (a) sin(arcsin()), R ; (b) arcsin(sin()), [ π 2,π 2 ] ; (c) arcsin(sin()), [ π 2,3π 2 ] ; (d) arcsin(sin()), [3π 2,5π 2 ] ; (e) cos(arcsin()) Eercice Utilisez un changement de variable pour évaluer les ites suivantes : (a) 0, (b) arcsin() arcsin(ep()). ep() Eercice Etudier les branches infinies en + et du graphe de la fonction donnée par + arctan( 2 + ). Eercice Donner le domaine ou les fonctions suivantes sont dérivables et déterminer la dérivée sur ce domaine : (a) ln + arcsin(2 ); (b) arctan( + ); (c) arccos(22 ). 6
7 Etude complète de fonction Eercice Etudier et tracer le graphe des fonctions données par les formules : (a) f() = ( ) 2 (b) f() = ln(cosh ) (c) f() = arcsin ln + 2 (d) f() = arctan ( ) 2 (e) f() = sinh ( ) (Contrôle continue du 4//200). COMPLÉMENTS Domaine de définition Eercice Trouver le domaine de définition des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) , (b) , (c) ln(), (d) sin(2), (e) cos(), (f) e. Composées de fonctions Eercice Soit f et g deu fonctions numériques d une variable réelle. On suppose que f() = e et (f g)() = 3 4. Déterminer g(). Eercice Soit f et g deu fonctions numériques d une variable réelle. On suppose que (f g)() = et g() = 2 +. Déterminer f. 2 Inéquations, valeur absolue Eercice 3.4. Résoudre les équations et inéquations suivantes dans R : (a) =, (b) 3 = 7, (c) Eercice Tracer le graphe des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) , (b) sin(2). Eercice Tracer le graphe de la fonction numérique d une variable réelle donnée par : f() = 2 + 7
8 Limite Eercice Trouvez des eemples de fonctions paires f, g satisfaisant les conditions suivantes lorsque + :. f() +, g() + et f() g() 0 ; 2. f() +, g() + et f() g() + ; 3. f() +, g() + et f() g() ; 4. f() +, g() + et f() g() 3. Eercice Décrivez le comportement ite des fonctions numériques d une variable réelle, données par les formules suivantes, de chaque côté de la valeur de indiquée. (a) Ent( ), = 9 (b) sin() sin() tan(), = π (c), = 0. Eercice Prouvez par encadrement (théorème des gendarmes) que la valeur de chacune des ites suivantes est zéro. (a) ep() sin(2 + ), (b) ( tanh()) cos(). + Eercice Évaluez les ites suivantes, en utilisant des manipulations algébriques ( + 4 (a) 2, (b) +, (c) ), 2 2 (d), (e) (g) (i) , (h) cos 2 () 2 2 sin 2, (j) (2) , (f) , , ep() sin() (k) 2 ep() + cos() 3 3 +, Eercice Donner la ite en 0 + des fonctions données par les formules (a) 2 ln( + ) (b) ln() Eercice Donner la ite en + de la fonction donnée par ( e ) + + ( + ) (a) (b) Eercice Soit f une fonction bornée, c est-à-dire qu il eiste des constantes A et B telles que A f() B pour tout dans le domaine de f. Montrer par encadrement (théorème des gendarmes) que 0 f() sin() = 0. 8
9 Branche infinie Eercice 3.5. Décrivez les comportements ites près des asymptotes verticales de ( + )( 2)2 ( )( + 2) 2 Définition de la dérivée Eercice Utiliser directement la définition de la dérivée (en tant que ite) pour calculer la dérivée des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) 3 (b) Eercice En admettant la dérivabilité en 0, établir la dérivabilitée sur R des fonctions numériques d une variable réelle données par les formules suivantes : (a) cos() (b) tan() (c) e Opérations algébriques de la dérivée Eercice Pour chacune des fonctions données par les formules suivantes : (a) 2 tan() (b) 3 2 (c) cos() e (d) (e) + 2 sin() tan() (i) donner un sous-ensemble du domaine de définition ou la fonction en question est dérivable et (i) utiliser les règles concernant la dérivée d une somme, d un produit, et d un quotient pour trouver la dérivée. Eercice Utiliser la règle concernant la dérivée d une composée pour trouver la dérivée de chacune des fonctions données par les formules suivantes : ( ) (a) cosh(cos()) (b) tan (c) sin(2 cos(3)) (d) 3 3 Eercice En utilisant toutes les règles à votre disposition, trouver la dérivée de chacune des fonctions données par les formules suivantes : ( ) (a) sin (b) 3 + cos() 2 (c) a sin(b) + b sin(a) Dérivée et parité Eercice On rappelle que la dérivée d une fonction impaire est paire, et la dérivée d une fonction paire est impaire. (a) Epliquer ce résultat à l aide de graphes. (b) Démontrer les affirmations en comparant les dérivées de f() et f( ). (c) Démontrer les affirmations en utilisant directement la définition de la dérivée en tant que ite. (d) Pensez-vous que les affirmations réciproques sont vraies? C est-à-dire, toute fonction paire (resp. impaire) est-elle la dérivée d une fonction impaire (resp. paire)? Si oui, en donner une démonstration. Sinon, donner un contre-eemple. 9
10 Dérivées d ordre supérieur Eercice Calculer les premiéres dérivées d ordre supérieur de la fonction donnée par f() = sin(2 5). En se basant sur les formules ainsi obtenues, deviner des formules générales pour f (2n) () et f (2n+) (). Démontrer ces formules par récurrence. Difficile : Trouver une formule générale qui englobe les deu formules trouvées précédemment. Eercice Calculer plusieurs dérivées successives de la fonction donnée par f() = e sin(). Deviner les formules générales pour f (4n) (), f (4n+) (), f (4n+2) (), f (4n+3) (). Les démontrer par récurrence. Eercice Utiliser la formule de Leibniz pour déterminer la dérivée n-ième de chacune des fonctions données par les formules suivantes : (a) ln() (b) ( ) e 2 (c) 3 e Règle de l Hôpital Eercice 3.6. Utilisez la règle de l Hôpital pour trouver les valeurs des ites suivantes : (a) cos(a ) 0 cos(b ) (b) 0 sin 3 () tan() Etrémum Eercice Déterminer (s ils eistent) les minima, maima locau de (a) (b) 2 (c) ln( ) + (d) 4/3 2 2/3 (e) Eercice Pour chacune des fonctions numériques données par les formules et les domaines de définitions ci-dessous, trouver les maima et minima locau et globau. (a) ( + ) 2, 2 2 (b) 3 2, 3 3 (c) 2 sin(), π π (d) (e) cos() 2 + sin(), π 2 π 2 ln() 2, 5 (f), 3 3 (g) cos(2) + 2 sin(), π π cosh( ) (h) 3, 0 Eercice Démontrer les inégalités suivantes : Inégalités 0, 0 e e 0, 0 e 2 2 e 0
11 Fonction réciproque Eercice Soit f la fonction donnée par la formule 2 3. Déterminez le domaine de définition et l image de f et décider si f est injective ou non. Lorsque f est bijective, trouvez l epression de la fonction réciproque et déterminez le domaine de définition et l image de cette dernière. Puis tracez la fonction et sa réciproque dans un même repère. Eercice Trouver une formule pour l inverse de la fonction f donné par : f() = , si > 3. Esquisser le graphe de f et le graphe de son inverse sur un même graphique. Fonctions trigonométriques réciproques Eercice Trouvez des eemples numériques pour montrer qu en général arctan() arcsin() arccos(). Eercice Simplifier les epressions suivantes autant que possible. (a) coth(ln(), (b) sin(arctan()). Etude complète de fonction Eercice Etudier et tracer le graphe des fonctions données par les formules : (a) g() = ln() 2, (b) h() = e e 2 (c) h() = (cosh ) (d) f() = ( + ). (e) f() = Applications des fonctions Eercice Dans la théorie des circuits électriques, il y a une fonction appelée la fonction de Heaviside, baptisé du nom du physicien Oliver Heaviside ( ), définie comme suit : H(t) = {, si t 0, 0, si t < 0, elle représente l entrée d un circuit qui est aenté au temps t = 0. Il s agit d une fonction définie par deu morceau pour laquelle un symbole simple est employé. Que représente la fonction t H( t)? Que représente t H(t )? Quel est le graphique de t H(t) H(t )? Vous pouvez employer ceci comme un point de départ pour une autre recherche sur des fonctions définies ayant des formules simples. Ces fonctions sont en fait employées en liaison avec des transformées de Laplace pour résoudre des équations différentielles liées au circuits électriques.
12 Géométrie, Optimisation Eercice 3.7. La tangente au graphe de la fonction 3 en un point P intersecte la courbe encore une fois en un autre point Q. Déterminer les coordonnées de Q, en fonction des coordonnées de P. Eercice On considère l hyperbole d équation 2 2y 2 =. Trouver les points sur cette hyperbole qui sont les plus proches du point (0,a) sur l ae des ordonnées. Eercice On veut fabriquer une boîte en carton (quatre côtés et un fond, mais pas de couvercle) à partir d une feuille de carton rectangulaire de un métre sur deu métres. Pour ceci, on découpe quatre carrés de dimension l l au quatre coins de la feuille. Ensuite, on plie la feuille et recolle les côtés de la façon naturelle pour obtenir une boîte. Trouver la valeur de l pour laquelle la boîte est de volume maimal. Eercice L aire d un cône circulaire droit doit être de 4m 2. Trouver les dimensions du cône pour lesquelles le volume est maimal. On rappelle que le volume et l aire d un cône circulaire droit de hauteur h et de base circulaire de rayon r valent respectivement V = 3 πr2 h et A = πr(r + r 2 + h 2 ). Eercice On veut construire des silos en acier pour des graines, qui doivent avoir un volume de 2000m 3. Les silos reposent sur une base en béton, et ils sont formés d un cylindre en acier et d un couvercle hémisphérique, également en acier. La production d un hémisphère en acier coûte trois fois plus cher, par unité d aire, qu un cylindre. Trouver le rayon du cylindre pour lequel le coût de production est minimal. Eercice Un TGV fait un long trajet. Pendant un certain segment de 000km il roule à une certaine vitesse constante vkm/h. Le coût de l électricité par heure à cette vitesse est de C(v) = v 3/2. Déterminer la vitesse à laquelle le train doit rouler pendant ce segment du trajet pour minimiser le coût de l électricité. 2
Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailSINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases
SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailLogistique, Transports
Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailNathalie Barbary SANSTABOO. Excel 2010. expert. Fonctions, simulations, Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4
Nathalie Barbary Nathalie Barbary SANSTABOO Excel 2010 Fonctions, simulations, bases bases de de données expert Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4 Du côté des mathématiciens 14 Il n est pas
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailSection «Maturité fédérale» EXAMENS D'ADMISSION Session de février 2014 RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES. Formation visée
EXAMENS D'ADMISSION Admission RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES MATIÈRES Préparation en 3 ou 4 semestres Formation visée Préparation complète en 1 an 2 ème partiel (semestriel) Niveau Durée de l examen
Plus en détailThème 17: Optimisation
OPTIMISATION 45 Thème 17: Optimisation Introduction : Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géométriques sont exprimées à l aide d une formule contenant une fonction. Il peut s agir
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailLE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailSéquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire
Séquence 8 Fonctions numériques Conveité Objectifs de la séquence Introduire graphiquement les notions de fonctions convees et de fonctions concaves. Établir le lien entre le sens de variation d une fonction
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailTerminale SMS - STL 2007-2008
Terminale SMS - STL 007-008 Annales Baccalauréat. STL Biochimie, France, sept. 008. SMS, France & La Réunion, sept 008 3 3. SMS, Polynésie, sept 008 4 4. STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels,
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailVision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007
Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailF1C1/ Analyse. El Hadji Malick DIA
F1C1/ Analyse Présenté par : El Hadji Malick DIA dia.elmalick1@gmail.com Description sommaire du cours Porte sur l analyse réelle propose des outils de travail sur des éléments de topologie élémentaire
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailLes algorithmes de base du graphisme
Les algorithmes de base du graphisme Table des matières 1 Traçage 2 1.1 Segments de droites......................... 2 1.1.1 Algorithmes simples.................... 3 1.1.2 Algorithmes de Bresenham (1965).............
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailStatistique : Résumé de cours et méthodes
Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailAide - mémoire gnuplot 4.0
Aide - mémoire gnuplot 4.0 Nicolas Kielbasiewicz 20 juin 2008 L objet de cet aide-mémoire est de présenter les commandes de base pour faire rapidement de très jolis graphiques et courbes à l aide du logiciel
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailSYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE
SYSTEMES LINEIRES DU PREMIER ORDRE 1. DEFINITION e(t) SYSTEME s(t) Un système est dit linéaire invariant du premier ordre si la réponse s(t) est liée à l excitation e(t) par une équation différentielle
Plus en détailG.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction
DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détail