Nombres complexes. Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

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1 Exo7 Nombres complexes Les nombres complexes. Défnton Opératons Parte réelle et magnare Calculs Conjugué, module Racnes carrées, équaton du second degré 5. Racnes carrées d un nombre complexe Équaton du second degré Théorème fondamental de l algèbre Argument et trgonométre 7 3. Argument Formule de Movre, notaton exponentelle Racnes n-ème Applcatons à la trgonométre Nombres complexes et géométre 0 4. Équaton complexe d une drote Équaton complexe d un cercle Équaton a b = k Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes et géométre Préambule L équaton x+5 = a ses coeffcents dans N mas pourtant sa soluton x = 3 n est pas un enter naturel. Il faut c consdérer l ensemble plus grand Z des enters relatfs. x+5= N Z x= 3 Q x = R x = C De même l équaton x = 3 a ses coeffcents dans Z mas sa soluton x = 3 est dans l ensemble plus grand des ratonnels Q. Contnuons ans, l équaton x = à coeffcents dans Q, a ses solutons x = +/ et x = / dans l ensemble des réels R. Ensute l équaton x = à ses coeffcents dans R et ses solutons x = + et x = dans l ensemble des nombres complexes C. Ce processus est-l sans fn? Non! Les nombres complexes sont en quelque sorte le bout de la chaîne car nous avons le théorème de d Alembert-Gauss suvant : «Pour n mporte quelle équaton polynomale a n x n +a n x n + +a x +a x+a 0 = 0 où les coeffcents a sont des complexes (ou ben des réels), alors les solutons x,..., x n sont dans l ensemble des nombres complexes». Outre la résoluton d équatons, les nombres complexes s applquent à la trgonométre, à la géométre (comme nous le verrons dans ce chaptre) mas auss à l électronque, à la mécanque quantque, etc.

2 Les nombres complexes. Défnton Défnton. Un nombre complexe est un couple (a, b) R que l on notera a + b R b a + b 0 a R Cela revent à dentfer avec le vecteur (,0) de R, et avec le vecteur (0,). On note C l ensemble des nombres complexes. S b = 0, alors = a est stué sur l axe des abscsses, que l on dentfe à R. Dans ce cas on dra que est réel, et R apparaît comme un sous-ensemble de C, appelé axe réel. S b 0, est dt magnare et s b 0 et a = 0, est dt magnare pur.. Opératons S = a + b et = a + b sont deux nombres complexes, alors on défnt les opératons suvantes : addton : (a + b) + (a + b ) = (a + a ) + (b + b ) R + 0 R multplcaton : (a + b) (a + b ) = (aa bb ) + (ab + ba ). C est la multplcaton usuelle avec la conventon suvante : =.3 Parte réelle et magnare Sot = a + b un nombre complexe, sa parte réelle est le réel a et on la note Re() ; sa parte magnare est le réel b et on la note Im(). R Im() 0 Re() R Par dentfcaton de C à R, l écrture = Re() + Im() est unque : Re() = Re( ) = et Im() = Im( )

3 En partculer un nombre complexe est réel s et seulement s sa parte magnare est nulle. Un nombre complexe est nul s et et seulement s sa parte réelle et sa parte magnare sont nuls..4 Calculs Quelques défntons et calculs sur les nombres complexes. λ 0 L opposé de = a + b est = ( a) + ( b) = a b. La multplcaton par un scalare λ R : λ = (λa) + (λb). L nverse : s 0, l exste un unque C tel que = (où = + 0). Pour la preuve et le calcul on écrt = a + b pus on cherche = a + b tel que =. Autrement dt (a + b)(a + b ) =. En développant et dentfant les partes réelles et magnares on obtent les équatons { aa bb = (L ) ab + ba = 0 (L ) En écrvant al +bl (on multple la lgne (L ) par a, la lgne (L ) par b et on addtonne) et bl + al on en dédut { a ( a + b ) { = a a b ( = a a + b ) donc a +b = b b = b L nverse de est donc = = a a + b + b a + b = a b a + b. La dvson : est le nombre complexe. Proprété d ntégrté : s = 0 alors = 0 ou = 0. a +b Pussances : =, n = (n fos, n N). Par conventon 0 = et n = ( Proposton. Pour tout C dfférent de n = n+. ) n = n. La preuve est smple : notons S = n, alors en développant S ( ) presque tous les termes se télescopent et l on trouve S ( ) = n+. Remarque. Il n y pas d ordre naturel sur C, l ne faut donc jamas écrre 0 ou..5 Conjugué, module Le conjugué de = a + b est = a b, autrement dt Re( ) = Re() et Im( ) = Im(). Le pont est le symétrque du pont par rapport à l axe réel. Le module de = a + b est le réel postf = a + b. Comme = (a + b)(a b) = a + b alors le module vaut auss =. 3

4 = a + b 0 b 0 a Quelques formules : + = +, =, = = R =, =, = = 0 = 0 L négalté trangulare : + + Exemple. Dans un parallélogramme, la somme des carrés des dagonales égale la somme des carrés des côtés. S les longueurs des côtés sont notées L et l et les longueurs des dagonales sont D et d alors l s agt de montrer l égalté D + d = l + L. l d D L l + + L 0 Démonstraton. Cela devent smple s l on consdère que notre parallélogramme a pour sommets 0,, et le derner sommet est donc +. La longueur du grand côté est c, celle du pett côté est. La longueur de la grande dagonale est +. Enfn l faut se convancre que la longueur de la pette dagonale est. D + d = + + = ( + ) ( + ) + ( ) ( ) = = + = + = l + L Mn-exercces. Calculer +.. Écrre sous la forme a + b les nombres complexes ( + ), ( + ) 3, ( + ) 4, ( + ) En dédure + ( + ) + ( + ) + + ( + ) Sot C tel que + =, montrer que R. 5. Montrer que s Re Re et Im Im alors, mas que la récproque est fausse. 6. Montrer que / = / (pour 0). 4

5 Racnes carrées, équaton du second degré. Racnes carrées d un nombre complexe Pour C, une racne carrée est un nombre complexe ω tel que ω =. Par exemple s x R +, on connaît deux racnes carrées : x, x. Autre exemple : les racnes carrées de sont et. Proposton. Sot un nombre complexe, alors admet deux racnes carrées, ω et ω. Attenton! Contrarement au cas réel, l n y a pas de façon prvlégée de chosr une racne plutôt que l autre, donc pas de foncton racne. On ne dra donc jamas «sot ω la racne de». S 0 ces deux racnes carrées sont dstnctes. S = 0 alors ω = 0 est une racne double. Pour = a + b nous allons calculer ω et ω en foncton de a et b. Démonstraton. Nous écrvons ω = x + y, nous cherchons x, y tels que ω =. ω = (x + y) = a + b { x y = a xy = b en dentfant partes réelles et partes magnares. Pette astuce c : nous rajoutons l équaton ω = (qu se dédut ben sûr de ω = ) qu s écrt auss x + y = a + b. Nous obtenons des systèmes équvalents aux précédents : x y = a x = a + b + a xy = b x + y = y a + b = x = ± a + b + a a + b a y = ± a xy = b + b a xy = b Dscutons suvant le sgne du réel b. S b 0, x et y sont de même sgne ou nuls (car xy = b 0) donc ω = ± ( ) a + b + a + a + b a, et s b 0 ω = ± ( ) a + b + a a + b a. En partculer s b = 0 le résultat dépend du sgne de a, s a 0, a = a et par conséquent ω = ± a, tands que s a < 0, a = a et donc ω = ± a = ± a. Il n est pas nécessare d apprendre ces formules mas l est ndspensable de savor refare les calculs. Exemple. Les racnes carrées de sont + En effet : ( + ) et ( + ). ω = (x + y) = { x y = 0 xy = Rajoutons la condtons ω = pour obtenr le système équvalent au précédent : x y = 0 x = x = ± xy = y = y = ± x + y = xy = xy = Les réels x et y sont donc de même sgne, nous trouvons ben deux solutons : x + y = + ou x + y = 5

6 . Équaton du second degré Proposton 3. L équaton du second degré a + b + c = 0, où a, b, c C et a 0, possède deux solutons, C éventuellement confondues. Sot = b 4ac le dscrmnant et δ C une racne carrée de. Alors les solutons sont = b + δ a et = b δ a. Et s = 0 alors la soluton = = = b/a est unque (elle est dte double). S on s autorsat à écrre δ = pour le nombre complexe, on obtendrat la même formule que celle que vous connasse lorsque a, b, c sont réels. Exemple = 0, = 3, δ = 3, les solutons sont = ± = 0, =, δ = ± ( + ), les solutons sont = ( + ) = ± 4 ( + ). On retrouve auss le résultat ben connu pour le cas des équatons à coeffcents réels : Corollare. S les coeffcents a, b, c sont réels alors R et les solutons sont de tros types : s = 0, la racne double est réelle et vaut b a, s > 0, on a deux solutons réelles b ±, a s < 0, on a deux solutons complexes, mas non réelles, b ±. a Démonstraton. On écrt la factorsaton ( a + b + c = a + b a + c ) (( = a + b ) b a a 4a + c ) a (( = a + b ) ) (( a 4a = a + b ) ) δ a 4a (( = a + b ) δ )(( + b ) + δ ) a a a a ( = a b + δ )( b δ ) = a( )( ) a a Donc le bnôme s annule s et seulement s = ou =..3 Théorème fondamental de l algèbre Théorème (d Alembert Gauss). Sot P() = a n n + a n n + + a + a 0 un polynôme à coeffcents complexes et de degré n. Alors l équaton P() = 0 admet exactement n solutons complexes comptées avec leur multplcté. En d autres termes l exste des nombres complexes,..., n (dont certans sont éventuellement confondus) tels que P() = a n ( )( ) ( n ). Nous admettons ce théorème. 6

7 Mn-exercces. Calculer les racnes carrées de, Résoudre les équatons : + = 0, + ( 0 0) = Résoudre l équaton + ( ), pus l équaton Z 4 + ( )Z. 4. Montrer que s P() = + b + c possède pour racnes, C alors + = b et = c. 5. Trouver les pares de nombres dont la somme vaut et le produt. 6. Sot P() = a n n + a n n + + a 0 avec a R pour tout. Montrer que s est racne de P alors auss. 3 Argument et trgonométre 3. Argument S = x + y est de module, alors x + y = =. Par conséquent le pont (x, y) est sur le cercle unté du plan, et son abscsse x est notée cosθ, son ordonnée y est snθ, où θ est (une mesure de) l angle entre l axe réel et. Plus généralement, s 0, / est de module, et cela amène à : Défnton. Pour tout C = C {0}, un nombre θ R tel que = (cosθ + snθ) est appelé un argument de et noté θ = arg(). R arg() 0 R Cet argument est défn modulo π. On peut mposer à cet argument d être unque s on rajoute la condton θ ] π,+π]. Remarque. θ θ (mod π) k Z, θ = θ + kπ { cosθ = cosθ snθ = snθ Proposton 4. L argument satsfat les proprétés suvantes : arg ( ) arg() + arg ( ) (mod π) arg( n ) narg() (mod π) arg(/) arg() (mod π) arg( ) arg (mod π) Démonstraton. = (cosθ + snθ) ( cosθ + snθ ) = ( cosθ cosθ snθ snθ + ( cosθ snθ + snθ cosθ )) = ( cos ( θ + θ ) + sn ( θ + θ )) donc arg ( ) arg()+arg ( ) (mod π). On en dédut les deux autres proprétés, dont la deuxème par récurrence. 7

8 3. Formule de Movre, notaton exponentelle La formule de Movre est : (cosθ + snθ) n = cos(nθ) + sn(nθ) Démonstraton. Par récurrence, on montre que (cosθ + snθ) n = (cosθ + snθ) n (cosθ + snθ) = (cos((n )θ) + sn((n )θ)) (cosθ + snθ) = (cos((n )θ)cosθ sn((n )θ)snθ) +(cos((n )θ)snθ sn((n )θ)cosθ) = cos nθ + sn nθ Nous défnssons la notaton exponentelle par e θ = cosθ + snθ et donc tout nombre complexe s écrt = ρe θ où ρ = est le module et θ = arg() est un argument. Avec la notaton exponentelle, on peut écrre pour = ρe θ et = ρ e θ = ρρ e θ e θ = ρρ e (θ+θ ) n = ( ρe θ) n = ρ n ( e θ) n = ρ n e nθ / = / ( ρe θ) = ρ e θ = ρe θ La formule de Movre se rédut à l égalté : ( e θ) n = e nθ. Et nous avons auss : ρe θ = ρ e θ (avec ρ,ρ > 0) s et seulement s ρ = ρ et θ θ (mod π). 3.3 Racnes n-ème Défnton 3. Pour C et n N, une racne n-ème est un nombre ω C tel que ω n =. Proposton 5. Il y a n racnes n-èmes ω 0,ω,...,ω n de = ρe θ, ce sont : ω k = ρ /n e θ+kπ n, k = 0,,..., n Démonstraton. Écrvons = ρe θ et cherchons ω sous la forme ω = re t tel que = ω n. Nous obtenons donc ρe θ = ω n = ( re t) n = r n e nt. Prenons tout d abord le module : ρ = ρe θ = r n e nt = r n et donc r = ρ /n (l s agt c de nombres réels). Pour les arguments nous avons e nt = e θ et donc nt θ (mod π) (n ouble surtout pas le modulo π!). Ans on résout nt = θ + kπ (pour k Z) et donc t = θ n + kπ n. Les solutons de l équaton ω n = sont donc les ω k = ρ /n e θ+kπ n. Mas en fat l n y a que n solutons dstnctes car ω n = ω 0, ω n+ = ω,... Ans les n solutons sont ω 0,ω,...,ω n. 8

9 Par exemple pour =, on obtent les n racnes n-èmes de l unté e kπ/n, k = 0,..., n qu forment un groupe multplcatf. j = e π/3 e π/3 0 = e 0 = e π 0 j = e 4π/3 e π/3 Racne 3-ème de l unté ( =, n = 3) Racne 3-ème de ( =, n = 3) Les racnes 5-ème de l unté ( =, n = 5) forment un pentagone réguler : e π/5 e 4π/5 0 e 6π/5 e 8π/5 3.4 Applcatons à la trgonométre Voc les formules d Euler, pour θ R : cosθ = eθ + e θ, snθ = eθ e θ Ces formules s obtennent faclement en utlsant la défnton de la notaton exponentelle. Nous les applquons dans la sute à deux problèmes : le développement et la lnéarsaton. Développement. On exprme sn nθ ou cos nθ en foncton des pussances de cosθ et snθ. Méthode : on utlse la formule de Movre pour écrre cos(nθ)+sn(nθ) = (cosθ + snθ) n que l on développe avec la formule du bnôme de Newton. Exemple 4. cos3θ + sn3θ = (cosθ + snθ) 3 = cos 3 θ + 3cos θ snθ 3cosθ sn θ sn 3 θ = ( cos 3 θ 3cosθ sn θ ) + ( 3cos θ snθ sn 3 θ ) En dentfant les partes réelles et magnares, on dédut que cos3θ = cos 3 θ 3cosθ sn θ et sn3θ = 3cos θ snθ sn 3 θ. 9

10 Lnéarsaton. On exprme cos n θ ou sn n θ en foncton des cos kθ et sn kθ pour k allant de 0 à n. ( ) Méthode : avec la formule d Euler on écrt sn n θ = e θ e n. θ On développe à l ade du bnôme de Newton pus on regroupe les termes par pares conjuguées. Exemple 5. Mn-exercces ( e sn 3 θ e θ )3 θ = = ((e θ ) 3 3(e θ ) e θ + 3e θ (e θ ) (e θ ) 3) 8 = (e 3θ 3e θ + 3e θ e 3θ) 8 = ( e 3θ e 3θ 3 eθ e θ ) 4 = sn3θ + 3snθ 4 4. Mettre les nombres suvants sont la forme module-argument (avec la notaton exponentelle) :,,,, 3, +, 3, 3,, ( 3 ) 0xx où 0xx est l année en cours. 3. Calculer les racnes 5-ème de. 3. Calculer les racnes carrées de 3 + de deux façons dfférentes. En dédure les valeurs de cos π et sn π. 4. Donner sans calcul la valeur de ω 0 + ω + + ω n, où les ω sont les racnes n-ème de. 5. Développer cos(4θ) ; lnéarser cos 4 θ ; calculer une prmtve de θ cos 4 θ. 4 Nombres complexes et géométre On assoce bjectvement à tout pont M du plan affne R de coordonnées (x, y), le nombre complexe = x + y appelé son affxe. 4. Équaton complexe d une drote Sot ax + by = c l équaton réelle d une drote D : a, b, c sont des nombres réels (a et b n étant pas tous les deux nuls) d nconnues (x, y) R. Écrvons = x + y C, alors x = +, y =, donc D a auss pour équaton a( + ) = b( ) = c ou encore (a b) + (a + b) = c. Posons ω = a + b C et k = c R alors l équaton complexe d une drote est : ω + ω = k où ω C et k R. 0

11 D C ω r Équaton complexe d un cercle Sot C (Ω, r) le cercle de centre Ω et de rayon r. C est l ensemble des ponts M tel que dst(ω, M) = r. S l on note ω l affxe de Ω et l affxe de M. Nous obtenons : dst(ω, M) = r ω = r ω = r ( ω)( ω) = r et en développant nous trouvons que l équaton complexe du cercle centré en un pont d affxe ω et de rayon r est : ω ω = r ω où ω C et r R. 4.3 Équaton a b = k Proposton 6. Sot A,B deux ponts du plan et k R +. L ensemble des ponts M tel que M A MB = k est une drote qu est la médatrce de [AB], s k =, un cercle, snon. Exemple 6. Prenons A le pont d affxe +,B le pont d affxe. Voc les fgures pour pluseurs valeurs de k. Par exemple pour k = le pont M dessné vérfe ben M A = MB. M B A k = 3 k = 3 k = k = k = 4 3 k = k = 3 4 Démonstraton. S les affxes de A, B, M sont respectvement a, b,, cela revent à résoudre l équaton a b = k. a b = k a = k b ( a)( a) = k ( b)( b) ( k ) (ā k b) (a k b) + a k b = 0

12 Donc s k =, on pose ω = a k b et l équaton obtenue ω + ω = a k b est ben celle d une drote. Et ben sûr l ensemble des ponts qu vérfent M A = MB est la médatrce de [AB]. S k on pose ω = a k b alors l équaton obtenue est ω ω = a +k b. C est l équaton d un cercle de centre ω k k et de rayon r satsfasant r ω = a +k b, sot r = a k b + a +k b. k ( k ) k Ces calculs se refont au cas par cas, l n est pas nécessare d apprendre les formules. Mn-exercces. Calculer l équaton complexe de la drote passant par et.. Calculer l équaton complexe du cercle de centre + passant par. 3. Calculer l équaton complexe des solutons de =, pus dessner les solutons. 4. Même queston avec =.