PGCD ET PPCM. Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs.

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1 PGCD ET PPCM I. Plus grand commun diviseur Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs. 1. Diviseurs communs à deux entiers positifs Notation : pour tout entier naturel a, on note d(a) l ensemble des diviseurs de a. Exemple : d(14) = d(5) =. Remarques : Si a 0 alors d(a) ne contient que des entiers naturels inférieurs ou égaux à a Si a > 1, alors d(a) contient 1 et a Le plus grand élément de d(a) est a et le plus petit est 1 d(1) ne contient que l élément 1. Notation : d(a ; b) est l ensemble des diviseurs communs à a et b. Ainsi d(a ; b) = d(a) d(b) Exemple : d(7 ; 14) =.. et d(3 ; 5) = Remarques : d(a ; b) est un ensemble non vide, il contient toujours 1 d(a ; b) contient un plus grand élément car il contient tous les nombres inférieurs ou égaux à a et à b si a 0 et si b 0 et inférieur à a si b = 0. Notation : Le plus grand diviseur commun à a et b est noté PGCD Exemple : a = 24 et b = 18. Trouvez les diviseurs communs de a et b et déduisez en leur PGCD 2. Conséquences immédiates Prop : d(a ; 0) = d(a) pour tout a entier naturel Si b / a alors PGCD(a ; b) = b Page 1 sur 5

2 Exemple : PGCD(3 ; 12) = 3. Calcul du PGCD Prop : Effectuons la division euclidienne de a par b, on obtient a = bq + r et 0 r < b. Alors d(a ; b) = d(b ; r). Exemple : Calcul PGCD(202 ; 138) par l Algorithme d Euclide Th : L ensemble des diviseurs communs à a et b deux entiers positifs est l ensemble des diviseurs de leur PGCD. Application Trouver les diviseurs communs à 5238 et 2037 Remarque : Tout diviseur de a et de b est un diviseur de leur PGCD. II. Propriétés du PGCD Définition : Deux entiers naturels sont dits premier entre eux lorsque leur PGCD vaut 1 Exemple : 2 et 3 sont premier entre eux. Page 2 sur 5

3 Théorème : a, b et d des entiers naturels non nuls. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes 1. d = PGCD(a ; b) 2. d est un diviseur de a et b et les quotients n et n tels que a = nd et b = n d sont premiers entre eux. 3. d est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d. Exemple : 20 est-il le PGCD de 240 et 700? Corollaire : Si d = PGCD(a ; b) où a et b deux entiers naturel, alors quel que soit l entier naturel non nul n, dn = PGCD(na ; nb) III. Théorème de Bezout. Théorème de Bezout : a et b deux entiers naturels non nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tel que au + bv = 1. Exemple : montrer que a = 47 et v = 35 sont premier entre eux Méthode : On utilise l algorithme d Euclide et à chaque étape on écrit le reste sous forme au + bv Page 3 sur 5

4 IV. Applications 1. Théorème de Gauss Théorème de Gauss : a, b et c sont trois entiers naturels non nuls tels que a / bc et a et b premier entre eux alors a / c. Exemple : un nombre est divisible par 2 et 5. Comme 2 et 5 sont premier entre eux alors il est divisible par 10. Par contre 60 est divisible par 4 et 6 mais pas par 24. En effet 4 et 6 ne sont pas premier entre eux. 2. Fractions irréductibles Définition : Soient a et b deux entiers avec b non nul. Lorsque a et b sont premier entre eux, on dit alors que la fraction a est irréductible. b Th : Toute fraction est égale à une fraction irréductible. V. Equation ax + by = c Définition : soient a, b, c trois entiers, l équation ax + by = c, où x et y sont les inconnues de, est appelée équation diophantienne. Th : l équation ax + by = c admet une solution si et seulement si le PGCD(a ; b) divise c. Page 4 sur 5

5 Exemples : Méthode de résolution d une équation diophantienne : a) Résoudre dans, l équation E : 12 x + 45 y = 3. b) Résoudre dans, l équation E : 12 x + 45 y = 7. VI. Plus petit commun multiples. Th-Déf : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. A et b admettent un plus petit commun multiple positif. On le note PPCM(a ; b). Th : a et b deux entiers naturels non nul, d = PGCD(a ; b) et m = PPCM(a ; b) alors : 1. dm = ab 2. tout multiple commun à a et b est un multiple de m. Th : a, b, m trios entiers naturels non nul. Dire que m = PPCM(a ; b) équivaut à dire que m est un multiple de a et de b tel que les quotients de m par a et b soient premiers entre eux. Page 5 sur 5