Statistiques pour la psychologie 8 Comparaison de proportions

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1 Statistiues our la sychologie 8 Comaraison de roortions Nicolas Gauvrit Université de Metz deuxième année htt ://adems.free.fr/ année Exercices Exercice Si on veut tester l hyothèse u une roortion est nulle, uelle taille d échantillon faut-il choisir? uel risue sera associé à ce test? Le seul test raisonnable est le suivant. Soit X le caractère ue l on veut tester. On veut ar exemle montrer ue P (X =0)6= 0. ourcela,ontireunéchantillon,etonrejette P (X =0)=0 au rofit de P (X =0)6= 0 si l on a observé au moins une valeur nulle. Ce test est eu uissant, mais le risue associé est nul. F Dans les conditions de l énoncé, on ne eut as aliuer le test des roortions comme il est résenté dans le cours, car l une des hyothèses est ue les fréuences à tester sont suffisamment différentes de 0 et 00%. Exercice Dansunegarederovince,unhomme déclare:"jerendletrainuatrefoisarjour.les trains sont resue toujours en retard. Il y a trois semaines ar exemle, sur 0 trains, 8 n étaient as à l heure. Statistiuement, cela rouve bien ue lus de la moitié des trains sont en retard!". Exliuez ce ue sous-entend le voyageur. Son raisonnement est-il valable? (on suosera sans calcul ue la roortion 8/0 est significativement suérieure à / dans le cas résent). Quel ue soit le résultat du test de comaraison de roortions, il sera douteux uisue l échantillon n a as été choisi au hasard. On est encore dans le cas d une "erreur du train". Exercice 3 Un rofesseur enseignant en Chine affirme : "En début d année, j ai fait un sondage aurès des étudiants : seul sur 89 était oosé à la eine de mort. À la fin de l année, 5 sur 89 y étaient oosés. Cela rouve un changement dans les mentalités, et une évolution de la critiue de la eine caitale".. Quels roblèmes ratiues se osent our ouvoir traiter les données statistiues?. En négligeant ces roblèmes, ue ensez-vous du raisonnement tenu ar cet enseignant : est-il valable? On suosera successivement : (a) Qu il s agissait de deux échantillons différents. (b) Qu il s agissait d une même romotion, et ue l élève oosé à la eine de mort en début d année y était toujours oosé en fin d année. (c) Qu il s agissait d une même romotion, et ue l élève oosé à la eine de mort en début d année y était favorable en fin d année. () Deux roblèmes se osent. D une art, on disose de deux échantillons de 89 étudiants, mais on ne sait as s il s agit des mêmes étudiants ou non. S il s agit des mêmes étudiants ce ui est robable uisue les "deux" échantillons sont de taille identiue 89, on ne sait as si l étudiant ui était la eine de mort en début d année est encore la einedemortenfin d année, ou s il a changé d avis. D autre art, les fréuences observées sont très faibles (roches de 0%), si bien ue les tests de comaraison de roortions habituels ne fonctionnent as. () On fera toutefois les calculs comme si les fréuences étaient suffisantes. (.a) On teste l hyothèse H 0 : Π = Π H : Π 6= Π avec les notations courantes. S il s agit de classes différentes, on est dans le cas de deux échantillons indéendants, et il nous faut calculer = En réalité, on eut tout de même les utiliser, grâce à des tableaux séciaux, ou à un logiciel adaté, mais les formules ne sont as celles couramment données en cours.

2 uis ( 0.034) 89 =.65, ui n est as significatif. On ne eut donc as conclure à un changement de mentalité. (.b) Dans ce cas, on eut dire ue la roortion observée d étudiants assant de "oosé" à "favorable" est de f =0 alors ue la fréuence observée des changements inverses est de f = La remière fréuence étant déterminée sur un échantillon de taille seulement, il est absolument imossible de tester l hyothèse d égalité des roortions. Une autre manière de voir les choses et de considérer le taux de changement d oinion, ui est ici de Ce taux devrait être comaré à 0, ce ui est imossible avec le test ue nous connaissons, car il faudrait diviser ar 0... (.c) Dans ce cas, bien u aucun test ne soit ossible our les mêmes raisons u en (.b), on eut ceendant remaruer ue les données euvent suggérer une évolution dans un sens inattendu. Certes, le taux d oosition à la eine de mort a augmenté, mais il est également vrai ue l échantillon donne à voir ue 00% des ersonnes initialement oosées à la eine de mort y sont désormais favorables, alors ue seulement 5 89, soit 5.6% des ersonnes initialement favorables y sont désormais oosées. La robabilité de changer d oinion est donc suérieure si l on était d abord oosé à la eine de mort. F Nous avons ici un exemle fraant de "aradoxe" statistiue. Selon la manière de considérer les données et les deux façons de faire sont légitimes on donne des imressions totalement différentes. Exercice 4 On relève, dans une rue fixée au hasard avant l exérience et à des heures déterminées aléatoirement, le nombre de fumeurs armi les iétons, la semaine de la journée mondiale le tabac, ui eut lieu le mardi. jour lundi mardi mercredi jeudi nombre de assants nombre de fumeurs Pouruoi choisir la même rue les uatre jours?. De uels biais faut-il se méfier? 3. Étudiez les données. () Pour éviter de tomber ar hasard sur une rue ou un uartier comortant moins de fumeurs le mardi. L idéal serait de choisir des rues différentes chaue jour de manière aléatoire, mais en nombre suffisant. Si l on ne eut as choisir lus d une rue ar jour, mieux vaut garder la même rue. () Malgré la récaution consistant à choisir la même rue les uatre jours, il faudrait se méfier d autres facteurs ossibles. Un biais aaraîtrait ar exemle si la oulation des assants du mardi était différente de celle des autre jours. L heure de la journée est également très imortante. Il est robable ue nous trouverons lus de fumeurs le soir u à 6 heures du matin. Pour éviter un biais dû aux horaires, mieux vaut choisir des horaires égaux our les 4 jours. (3) En suosant ue tous les facteurs annexes sont contrôlés, et en notant Π 0 la roortion de fumeurs le mardi et Π la roortion de fumeurs les autres jours, on eut tester H 0 : Π 0 = Π H : Π 0 <H ar un test de comaraison de roortions our échantillons indéendants. On a n 0 = 60 ; f 0 =0.88 n = 790 ; f =0. on calcule = 0.30 uis (0.70) = 3.50 ui est significatif en unilatéral au risue de %. On eut donc conclure ue la journée sans tabac a été suivie, c est-à-dire u une roortion lus faible de ersonnes fumaient ce jour-là. Notons ue jusu à reuve du contraire ce résultat est valable uniuement dans la rue testée. Exercice 5 Un devin rétend ouvoir déterminer à l avance la face sortante lorsu on jette un dé... Sur 300 essais, on constate un taux de réussite de 4%. Est-ceconcluant?. On s aerçoit arès cou ue le dé utilisé, celui du devin, était truué, et ue les robabilités d aarition des différentes faces sont Même uestion (on suose ue le devin connaît son dé).

3 () Le taux de réussite normal our une ersonne réondant au hasard est de 6 soit 7%. Soit Π la robabilité ue le "devin" donne la bonne réonse. On teste H 0 : Π = 6 H : Π > 6. En utilisant un test de comaraison de roortions de conformité. On calcule our cela ( 0.7) 300 = 3.3 ui est significatif en unilatéral au risue de %. On conclut ue le taux de réussite observé du "devin" est significativement suérieur au taux de réussite u on obtiendrait avec un tirage aléatoire uniforme. () Dans ce cas, une stratégie simle consiste our le "devin" à dire "" tout le tems. Il obtiendra alors un taux de réussite de 50%, suérieur à celui observé. Le test récédent échoue nécessairement, uisue les données vont dans le sens inverse de H,etonneeut as rejeter l hyothèse ue le devin est un charlatant idée sans doute renforcée ar le fait u il utilise un dé truué. Exercice 6 Le cahier des charges d un industriel fabriuant des ièces mécaniues comorte l obligation ue moins de % des ièces sortant de l usine soient défectueuses. Un échantillon de 3000 ièces donne.4% de ièces défectueuses. Le cahier des charges est-il resecté en ce ui concerne le taux de ièces défectueuses? Les conditions d alication du test de comaraison de roortions de conformité sont reséctées, et l on eut tester H 0 : Π =% H : Π < % où Π désigne la roortion de ièces défectueuses. On calcule donc =.35 significatif en unilatéral au risue de % (la valeur critiue est.33). On rejette donc H 0 our H et on conclut ue le cahier des charges est resecté en ce ui concerne le taux de ièces défectueuses. Exercice 7 Un sondage effectué sur 4000 ersonnes donne, our un référendum, 800 intentions de vote ositif (oui). Les ersonnes interrogées devaient réondre oui ou non. Peut-on en conclure ue le oui l emortera? Soit Π le taux de "oui". On voudrait tester H 0 : Π = H : Π > ce ui est imossible, les données exérimentales allant dans le sens inverse de la conclusion voulue. On ne eut as dire ue le oui l emortera. Exercice 8 Le taux de réussite au concours de rofesseur des écoles est à eu rès éuivalent entre hommes et femmes à l écrit, avec toutefois un taux légèrement meilleur our les femmes. À l oral en revanche, on constate ue 8% des 000 femmes admissibles réussissent, 4% des 700 hommes admissibles.. Cela montre-t-il une discrimination sexiste à l oral à l en des femmes?. Pouruoi faire un test, uand on disose aaremment de toutes les valeurs? On va d abord tester, en notant Π h et Π f les taux de réussite masculin et féminin, H 0 : Π h = Π f H : Π h > Π f On utilise un test de comaraison de moyennes our deux échantillons indéendants les conditions d alication sont vérifiées. Il vient = 0.8% uis ( 0.08) = ui est unilatéralement significatif au risue de % et nous ermet de conclure ue le taux de réussite féminin est lus faible, à l oral, ue le taux de réussite masculin. () Cette différence de taux de réussite, ui ourrait s exliuer ar une discrimination sexiste, ne rouve absolument as u il y a effectivement une discrimination sexiste à l en des femmes. Beaucou d autres exlications sont ossibles, et notamment le fait ue les femmes réussissent lutôt mieux à l écrit. Si les niveaux sont éuivalents, une femme se retrouve ainsi lus facilement à l oral, à niveau éuivalent. () On disose de toutes les valeurs sur une année, mais on ose en fait la situation statistiue de la manière suivante : la oulation est l ensemble des ersonnes ui ont assé, asseront, ou ourraient asser l examen dans des conditions analogues à celle ue l on observe aujourd hui. L année en cours ne fournit alors u un échantillon de cette oulation théoriue. 3

4 Exercice 9 Bob Lekendida obtenait la semaine dernière, d arès une étude Osis, un taux d intention de vote de 3.4% sur un échantillon de 3000 ersonnes. Il est aujourd hui monté à 4.% sur un échantillon de 000 ersonnes. A-t-il de sérieuses raisons de se réjouir? On teste H 0 : Π = Π données. On trouve sur 30 individus améliorations (ui corresondent à une baisse du score des effets de la timidité). En notant Π la roortion d améliorations ue fournit la théraie cognitive, on teste H 0 : Π = H : Π < Π avec des notations évidentes, ar un test de comaraison de roortions our deux échantillons indéendants. Les conditions d alication sont vérifiées. On calcule = 3.68% uis ( ) = ui n est as significatif au risue de %.On ne eut as conclure à artir des données, avec un risue de %, ue le taux d intentions de vote a augmenté. Bob eut se réjouir, mais on ne eut as dire u il a de bonnes raisons statistiues de le faire. Exercice 0 Pour lutter la timidité, la luart des théraies sont inefficaces. On se demande ceendant si la théraie cognitive aorte des résultats intéressants. On teste our cela des atients de la manière suivante. Une remière mesure X des effets de la timidité est effectuée au début de la théraie, et une seconde est mesurée ar le même uestionnaire arès 6 mois de théraie. On notera Y cette seconde mesure. X est d autant lus grande ue le atient souffre de la timidité. Avec un groue témoin, on ne trouve aucune différence significative entre les deux mesures. Avec un groue test, on trouve les résultats suivants : avant et our le test de Student our échantillons aariés : arès t =.7 ; Un test des signes consiste simlement à tester l hyothèse ue la roortion d amélioration est suérieur à 0.5, en utilisant un test de comaraison de moyenne classiue. H.Π > avec un test de comaraison de roortions de conformité. On calcule Z = 30 30( 30) 30 =.38 ui est significatif en unilatéral au risue de %. Comme on n a aucune amélioration significative sans théraie cognitive, on eut en déduire ue la théraie cognitive semble efficace les effets de la timidité. F Ceendant, ici encore, il ne faut as se livrer sans réserve à l enthousiasme ro-cognitif. Il n est as exclu ue les atients choisissant de suivre une théraie cognitive soient les atients les lus motivés, ce ui ourrait exliuer le taux de réussite. Exercice On se demande si l effet lacebo 3 est encore réel si le sujet est conscient du fait u on lui administre un lacebo. Des atients souffrants de céhalées sont testés. On leur demande de mesurer suruneéchellecontinueletauxdedouleursavant (X) et arès (Y ) administration d un lacebo. On les informe du fait u il s agit d un lacebo. On suose ue la régression vers la moyenne 4 a été corrigée. Un traitement ar ordinateur de la différence D = Y X donne Pour le test des signes 5 : n =8; Pour le test de normalité de Kolmogorov-Smirnov : z KS =.567 ; <0.0 avant Lorsu on donne un sucre à un atient souffrant de arès douleurs 38 légères en lui disant u il s agit d une asirine, il ressent un soulagement. C est l effet lacebo. avant Si l on sélectionne des ersonnes ayant une temérature articulièrement élevée, il est robable ue leur temérature arès aura 38 baissé une heure arès. Cela s aelle la régression vers la moyenne. Ce hénonomène s observe avec toute grandeur dont On ne eut as faire un test de comaraison de on sélectionne les valeurs suérieures à la moyenne, comme ici moyennes car la loi de X est très éloignée d une distribution on a selectionné des atients ressentant une souffrance. normale. Faites un test des signes sur ces 5 Avec SPSS, our un test des signes, > Analyse > Tests non aramétriues > échantillonsliés uis sélectionnez "Signe". 4

5 Et les données exérimentales vont dans le sens voulu (à savoir un effet lacebo malgré le fait ue les atients sont conscients u on leur administre un lacebo). Concluez. L échantillon est etit, et on ne eut as effectuer le test de Student sans vérifier l hyothèse de normalité. Or, le test de Kolmogorov- Smirnov montre u on doit rejeter au risue de % l hyothèse de normalité. Le fait ue le test de Student donne un t significatifneermetasicidetirer une conclusion, car les conditions d alication sont comromises. C est le test des signes ui ermet de conclure. Ce test des signes n est as significatif, car le risue est suérieur à 35%, et déasse tout risue raisonnable. L exérience ne ermet donc as de montrer ue l effet lacebo fonctionne encore lorsue les atients sont conscients d être traité avec un lacebo, malgré le fait ueletestdestudentdonneunevaleurhabituellement significative et malgré le fait ue sur l échantillon de l étude il y a bien un effet lacebo. 5