Fiche de révision Terminale ES

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1 Fiche de révision Terminale ES Jlien Reichert Légende (por le fichier en colers ) : en roge, les formles et théorèmes à savoir par cœr ; en vert, les méthodes q il vat mie maîtriser ; en ble, les définitions Chapitre - sites Site arithmétiqe de raison r : La différence entre de termes conséctifs est constante, soit n+ = n + r Terme général d ne site arithmétiqe : n = 0 + r n Somme des termes d ne site arithmétiqe : n i=0 i = n = 0+n (n + ) Somme à partir d n certain rang : n i=k i = k + + n = k+ n (n k + ) Dans les formles ci-desss, n + et n k + sont le nombre de termes sommés ; 0+n sont les moyennes des termes sommés et k+ n Site géométriqe de raison q : Le rapport entre de termes conséctifs est constant (eception : si q = 0, ce rapport n a acn sens, mais ne telle site pet eister), soit n+ = n q Terme général d ne site géométriqe : n = 0 q n Somme des termes d ne site géométriqe de raison : n i=0 i = n = 0 q n+ q Somme à partir d n certain rang : n i=k i = k + + n = k q n k+ q Dans la formle ci-desss, n + et n k + sont le nombre de termes sommés ; 0 et k sont les premiers termes sommés Site arithmético-géométriqe : La relation de récrrence est n+ = q n + r, avec q, r R Attention : Il ne fat srtot pas écrire n = 0 q n + r n, c est fa! Terme général d ne site arithmético-géométriqe : On tilise ne site ailiaire, fornie par

2 l énoncé, qi est en fait définie comme n r q Il fat prover qe la site ailiaire est géométriqe, donc écrire v n+, si la site est appelée (v n ), comme n réel, qi s avère être q, fois v n Le terme général sera alors n = ( 0 r q ) qn + r q Variations des sites : ne site arithmétiqe est croissante si sa raison est positive et décroissante si sa raison est négative Une site géométriqe est croissante si sa raison est spériere à et son premier terme positif OU si sa raison est entre 0 et et son premier terme est négatif, décroissante si sa raison est spériere à et son premier terme négatif OU si sa raison est entre 0 et et son premier terme est positif Une site arithmético-géométriqe est monotone si q > 0 On compare les de premiers termes por savoir la variation, sans s encombrer de la caractérisation (qi se retrove dans le terme général Seils por ne site géométriqe (éventellement arithmético-géométriqe) : On pet tiliser n algorithme por déterminer à partir de qel rang le terme général d ne site géométriqe o arithmético-géométriqe dépassera (sera inférier o spérier, sivant l énoncé) n réel donné On pet assi résodre dans R ne inéqation en tilisant les logarithmes, et prendre l entier directement spérier à la soltion Eemple : n = 3 n 5 (arithmético-géométriqe, n+ = n + 5) On cherche qand n > 00 On résot : 3 n 5 > 00 3 n > 05 n > 35 ln( n ) > ln(35) n ln() > ln(35) n > ln(35) ln() Le pls petit entier soltion est 6

3 Chapitre - fonctions Nombre dérivé en n point d ne fonction : f (a) = lim b a f(b) f(a) b a = lim h 0 f(a+h) f(a) h Dérivée d ne fonction : Fonction qi donne les variations de la fonction en qestion Éqation de la tangente à la corbe de f a point d abscisse a : y = f (a)( a) + f(a) Qand sa dérivée est positive, ne fonction est croissante ; qand sa dérivée est négative, ne fonction est décroissante Dérivées selles : Rappel : = et d aillers = L entrée n permettrait de retirer beacop d atres entrées d tablea, mais elles ont été maintenes Fonction selle Sa dérivée Fonction composée Sa dérivée k R 0 + v + v v v + v v v v v n (n Z) n n n n n e e e e ln() ln() Fonction contine : Sa corbe pet être dessinée sans lever la main Presqe totes les fonctions définies sr n intervalle sont contines Théorème des valers intermédiaires : Soit f ne fonction contine sr [a, b] Por tot réel c entre f(a) et f(b), il eiste n réel entre a et b tel qe f() = c Utilisation principale : Le réel est niqe qand f est strictement monotone entre a et b Ainsi, dans le tablea de variations, on compte le nombre d antécédénts par f de n importe qel réel en étdiant les intervalles où la fonction est strictement monotone Fonction convee : Sa corbe est a-desss de chacne des tangentes Fonction concave : Sa corbe est a-dessos de chacne des tangentes Si ne fonction est dérivable, là où sa dérivée est croissante, la fonction est convee ; là où sa dérivée est décroissante, la fonction est concave 3

4 Par conséqent, si ne fonction est dérivable de fois, là où sa dérivée seconde est positive, la fonction est convee ; là où sa dérivée seconde est négative, la fonction est concave Point d infleion : point où la tangente cope la corbe Par abs : l abscisse d point La fonction change de conveité en n point d infleion, donc si la fonction est dérivable de fois, sa dérivée seconde s annle et change de signe en n point d infleion Une fonction eponentielle est de la forme q, avec q > 0 Elle a tojors des valers strictement positives La fonction eponentielle est e, où e est la constante d Eler, valant environ, 78 Por tot q > 0, en particlier por e, ne eponentielle transforme ne somme en prodit et n prodit en pissance q a+b = q a q b, q a = q a et q ab = (q a ) b = (q b ) a Dérivées : (e ) = e, (e k ) = ke k, (e () ) = () e () et (q ) = ln q q Comme e > 0 por tot, la fonction eponentielle est strictement croissante, et par conséqent strictement convee Les fonctions eponentielles sont strictement croissantes qand q > et strictement décroissantes qand 0 < q < Elles sont cependant totes convees Conséqence : on pet résodre les inégalités en faisant apparaître o disparaître des eponentielles, e = e y si et selement si = y ; e e y si et selement si y ; e > e y si et selement si > y ; e e y si et selement si y ; e < e y si et selement si < y ; e e y si et selement si y La fonction logarithme népérien ln est la réciproqe de la fonction eponentielle Elle est définie sr l ensemble des réels strictement positifs Por tot por leqel cela a n sens, on pet introdire o retirer l eponentielle d logarithme o le logarithme de l eponentielle : e ln = = ln e Un logarithme transforme n prodit en somme et ne pissance en prodit ln(ab) = ln a + ln b, ln a = ln a et ln(an ) = n ln a Dérivées : (ln ) =, (ln ()) = () () Comme > 0 por tot > 0, la fonction logarithme népérien est strictement croissante, et elle est concave car sa dérivée seconde est Conséqence : on pet résodre les inégalités en faisant apparaître o disparaître des logarithmes, ln = ln y si et selement si = y ; ln ln y si et selement si y ; ln > ln y si et selement si > y ; ln ln y si et selement si y ; ln < ln y si et selement si < y ; ln ln y si et selement si y 4

5 Chapitre 3 - calcl intégral Intégrale d ne fonction contine : c est avant tot «l aire sos la corbe», comptée négativement lorsqe la fonction est négative On écrit b f()d, en n obliant pas le d (et en remplaçant si a ce n est pas la variable tilisée) Valer approchée d ne intégrale : on appliqe la définition de base de l intégrale et on compte les carrea, en n obliant srtot pas la mise à l échelle Por ne fonction positive, si on ne compte pas les carrea entamés mais non totalement recoverts, on a ne borne infériere ; si on compte tos les carrea entamés, on a ne borne spériere Por ne fonction négative, c est le contraire, et qand le signe change, on fait n en qelqe sorte les de à la fois Primitive d ne fonction f : c est ne fonction F dont la dérivée est f Totes les fonctions F + k, où k est ne constante, sont alors des primitives de f Relation de Chasles por les intégrales : c a f()d = b a f()d + c b f()d Calcl d ne intégrale : L intégrale de f entre a et b vat F (b) F (a), ce qi s écrit assi [F ()] b a, por n importe qelle primitive F de f b Valer moyenne d ne fonction entre a et b : Elle est donnée par la formle b a a f()d 5

6 Chapitre 4 - probabilités Variable aléatoire : variable povant prendre plsiers valers (les isses, dont l ensemble est appelé nivers), telle qe la valer prise soit déterminée a hasard Loi de probabilité d ne variable aléatoire : Étant donné l nivers, la loi de probabilité associe à tote isse ne probabilité, à savoir n nombre réel positif tel qe la somme de totes les probabilités soit Espérance d ne variable aléatoire réelle discrète X : C est la somme, notée E(X), des prodits k P (X = k), por tos les k de l nivers Il s agit en qelqe sorte d ne moyenne pondérée des isses, dont les coefficients sont les probabilités Variance d ne variable aléatoire réelle discrète X : C est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, soit E((X E(X)) ) On la note V (X) L écart-type est la racine carrée de la variance Évènement : Ensemble d isses De évènements sont dits indépendants lorsqe (plsiers atres caractérisations possibles) la probabilité de ler intersection P (A B) est le prodit de lers probabilités P (A) P (B) Partition de l nivers : Ensemble d évènements de rénion l nivers et d intersection vide de à de Probabilité conditionnelle de B sachant A : C est le rapport P A (B) = P (A B) P (A) Formle des probabilités composées : On lit la formle précédente «dans l atre sens», donc P (A B) = P (A) P A (B) Formle des probabilités totales : P (A B)+P (Ā B) = P (B), ce qi se réécrit en P (A) P A(B)+ P (Ā) PĀ (B) = P (B) Formle spplémentaire : P A (B) + P A ( B) = Ces formles s étendent a partitions Loi niforme : Totes les isses ont la même probabilité, qi est l inverse de la taille de l nivers Loi de Bernolli : Tote loi n ayant qe de isses, dont l ne est retene comme favorable Loi binomiale de paramètres n et p : Loi sivie par ne variable aléatoire X comptant le nombre de fois où l on obtient l isse favorable sr n répétitions identiqes et indépendantes d ne épreve de Bernolli telle qe la probabilité de l isse favorable soit p On a P (X = k) = ( n ) k) p k ( p) n k, où est le coefficient binomial de paramètres n et k On a alors E(X) = np et V (X) = np( p) ( n k 6

7 Fonction densité de probabilité : Fonction contine, positive et d intégrale sr son intervalle de définition Variable aléatoire réelle contine X : La loi de probabilité sivie dépend d ne fonction de densité f, de sorte qe P (c X d) = d c f()d Loi niforme contine : La fonction f est constante, de valer b a partot si [a; b] est l intervalle de définition (possiblement overt à gache et/o à droite) On a alors P (c X d) = d c b a si a c d b Loi normale N (0; ) : La fonction f est la fonction de Gaß π e, définie sr R et dont la corbe est en forme de cloche L espérance de X est 0 et son écart-type est Valers remarqables : Por tot k R +, P ( k X k) = P (0 X k) De pls : P ( X ) 0, 68 ; P ( X ) 0, 954 ; P ( 3 X 3) 0, 997 ; Le réel k tel qe P ( k X k) = 0, 95 vat environ, 96 ; Loi normale N (µ; σ ) : La variable aléatoire X sit cette loi si la variable aléatoire X µ loi normale N (0; ) La fonction de densité associée est alors σ π σ sit la ( µ) e σ L espérance de X est alors µ et son écart-type est σ Valers remarqables : Por tot k R +, P (µ k X µ + k) = P (µ X µ + k) De pls : P (X µ) = P (X µ) = P (µ σ X µ + σ) 0, 68 ; P (µ σ X µ + σ) 0, 954 ; P (µ 3σ X µ + 3σ) 0, 997 ; Le réel k tel qe P (µ kσ X µ + kσ) = 0, 95 vat environ, 96 ; Échantillonnage : Tot le cors est à conslter, il n y a qe de notions principales ator desqelles tot gravite 7