CHAPITRE I GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN EXERCICES

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1 CHAPITRE I GÉOÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN EXERCICES 1) Le plan étant muni d un repère ( O, i, j ) 4 u 6 et v Calculez les coordonnées de : 1 2,4 a) AB d) u + v b) 2 CA c) BC, on donne A( 5; 7,3), ( 9;0) e) u v f) 3u + 2v 2) Le plan étant muni d un repère ( O, i, j ) D( x; 5) et E ( 3; y) 1 B, C ; 3 2, g) 3BA 7CB h) 3 AC CB 4BA 4 +, on donne A( 11; 2), B( 4,5;1), ( 17;13) Déterminez les réels x et y pour que: a) 2AD 6EB = 0 c) DB + 2BC = 3CE DE b) 5CD + AB = AC 8EA d) EA 11BD = BE + 4EA C, 3) Soit ABCD un parallélogramme de centre O et I, J, K, L les milieux des quatre côtés : a) Déterminez les coordonnées des points O, A, B, C, D, I, J, K et L O, OI, OJ i) dans le repère ( ) ii) dans le repère ( C, OI, OJ ) iii) dans le repère ( B, BA, BC) b) Déterminez les coordonnées des vecteurs AB, BC, IJ, LC, BD et JA O, OI, OJ repère ( ) dans le - 1 -

2 4) Soit ABCDEF est un hexagone régulier de centre O : : Déterminez les coordonnées des vecteurs suivants dans le repère ( O, OA, OB) 5) Dans un repère ( O, OI, OJ ) AF, FE, ED, DC, CB, BA, BF, BE, FD, DB on donne les points ( 1,4 ) A, B ( 3,7) et ( 2, 5) Calculez les coordonnées du point K défini par AK + 2BK 4KC = 0 : O, OI, OJ a) dans le repère ( ) b) dans le repère ( A, AB, AC ) C 6) Soient ( ABC ) un triangle quelconque et G son centre de gravité Calculez les coordonnées de G dans le repère ( A, AB, AC ) 7) Dans un RON on donne A( 3;2), B ( 1;5 ), C ( 4;1) et ( ;0) a) Analysez la nature du triangle ( ABC ) D x b) Déterminez x pour que le triangle ( ABD) soit isocèle en D 8) Le plan étant muni d un repère ( O, i, j ) 5 u 6, v 3 et w O, u, v est un repère du plan a) Analysez si ( ) b) ême question pour ( O, u, w) c) ême question pour ( A, u, w) d) ême question pour ( B, u,2w), on donne A( 24; x ), B( 31; 16), ( 3;77 ) e) Pour quelle(s) valeur(s) de x les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires? C, - 2 -

3 9) Le plan étant muni d un repère ( O, i, j ) 3 e B Chapitre I Géométrie analytique Exercices, on donne A( 2; 1), B( 3;5) et ( 7; 4) a) Trouvez les coordonnées de A, B, C et O dans le repère ( A, i, j ) b) ontrez que ( B, 2 j, 3i ) C est un repère du plan, puis trouvez les coordonnées de A, B, C et O dans ce repère C, i j, 2i + 3 j c) ontrez que ( ) est un repère du plan, puis trouvez les coordonnées de A, B, C et O dans ce repère Plus généralement soit un point de coordonnées (, ) O, i, j et (, ) C, i j, 2i + 3 j : exprimez X et Y x y dans ( ) en fonction de x et y X Y dans ( ) 10) Soient A( 1;8 ), B (2;5), C(7; 16), D( 3; 4) et ( ; 9) E x a) Analysez si parmi les points A, B, C et D il y en a trois qui sont alignés b) Déterminez x pour que A, D et E soient alignés 11) Dans un RON on donne P( 5; 3), Q(3; 1), R (2;3), ( 6;1) a) ontrez par deux méthodes différentes que PQRS = # S b) ontrez par deux méthodes différentes que PQRS est un rectangle c) Analysez si les diagonales sont perpendiculaires Que peut-on en conclure? 12) On donne A ( 1;8 ), B( 5; 2) et ( 2,1) méthodes différentes que ( ABC ) est un triangle rectangle 13) Soient A ( 1;2 ), B(4; 2), C( 1; 2), ( 4;2) un losange C dans un RON du plan ontrez par deux D dans un RON ontrez que ABCD est 14) Déterminez une équation cartésienne (générale et réduite) de la droite d sachant que : a) d passe par A( 9;11) et a pour vecteur directeur b) d passe par u 5 3 B 2 ; 1 3 et a pour vecteur directeur 0 v 7 c) d passe par C ( 2;13) et a pour vecteur directeur d) d passe par E ( 3;1) et par ( 15;4) F 8 w 0-3 -

4 15) Dans un RON on donne A( 5;3) et n 2 7 a) Déterminez une équation cartésienne de la droite d passant par A et de vecteur normal n b) Déterminez un vecteur directeur de d 16) Soient A( 2; 3), B( 1;4 ) et ( 7;0) a) Vérifiez que ( ABC ) est un triangle C dans un repère quelconque b) Calculez le centre de gravité G de ce triangle c) Déterminez les équations des trois médianes de ce triangle et vérifiez que G appartient à chacune de ces droites 17) Soient ( 6; 1) A et d 7x 2y 3 = 0 dans un RON a) Déterminez l équation de la droite a telle que A a et a ( Ox) b) Déterminez l équation de la droite b telle que A b et b d c) Déterminez l équation de la droite c telle que A c d) Déterminez l équation de la droite e telle que A e et ( ) c Ox et e ( Oy) e) Déterminez l équation de la droite f telle que A f et f d 18) Soient d 7x 9y + 11 = 0 et d ' ax + 4y 1 = 0 dans un RON a) Pour quelles valeurs de a a-t-on d d '? b) Pour quelles valeurs de a a-t-on d d '? 19) On donne quatre droites par leurs équations cartésiennes : d1 x y + 2 = 0 d2 2x + 3y + 6 = 0 d3 2x + 7 = 0 d4 5y + 15 = 0 a) Pour chacune de ces droites déterminez une équation réduite puis représentez-les b) Vérifiez si les points 7 1 A ; 2 3, B ( 1;3 ) et ( 0;0) O appartiennent à ces droites 20) Parmi les droites suivantes, quelles sont celles qui sont parallèles? perpendiculaires? (toutes les équations sont données dans un RON) y d1 4 = d2 6x = 5 4y d3 x = 7 y 2 d4 4x 6y = 0 d5 y = 9 + x d6 + = d7 4x + 3 = 5 d8 2x 3y 1 d9 5x 7y = 5 x y + 2 = ( ) x y - 4 -

5 21) Dans un RON on donne le point ( 4;7) A et la droite d 3x 5y + 8 = 0 Déterminez l équation réduite des droites d 1 et d 2 passant par A tel que d1 22) Soient 1 3; 2, ( 2;0) votre résultat sur une figure P et d 2x 2y ) Trouvez les points A, B et C sachant que : d et d2 + + = Déterminez ( P) d ( AB) 2x y = 0 ( AC) x + y = 3 ( BC) 3x 2y = 4 24) Soient A( 9; 1), B ( 0;8) et ( 4; 3) C a) Vérifiez que A, B et C ne sont pas alignés b) Déterminez une équation cartésienne de la droite d telle que C d c) Déterminez une équation cartésienne de la droite d telle que B d d) Déterminez D d d d Vérifiez et d ( AB) et d ' ( AC ) e) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Déduisez-en une méthode (beaucoup!) plus simple pour obtenir D 25) Soient A ( 2;1), B (5;3), C(3; 1) dans un RON a) Déterminez les équations des trois médiatrices du triangle ( ABC ) b) ontrez que les trois médiatrices se coupent en un point Ω c) ontrez que Ω A = Ω B = Ω C Comment appelle-t-on le point Ω? d) Déterminez les équations des trois hauteurs du triangle ( ABC ) e) ontrez que les trois hauteurs se coupent en un point H Comment appelle-t-on ce point H? f) Déterminez le centre de gravité du triangle ( ABC ) g) ontrez qu il existe une droite qui passe par Ω, H et G Cette droite est appelée droite d Euler (mathématicien suisse du 18 e siècle) Précisez les positions de ces trois points 26) Dans un RON, déterminez une équation de la diagonale et de chacun des côtés non donnés du rectangle dont une diagonale a pour équation cartésienne 3x + 7y 10 = 0 et dont deux côtés ont respectivement pour équations 5x + 2y 7 = 0 et 5x + 2y =

6 27) Dans un RON, déterminez une équation cartésienne de chacun des côtés d un triangle dont on donne le sommet ( 4; 5) 5x + 3y 4 = 0 A et deux hauteurs d équations 3x + 8y + 13 = 0 et 28) Soient deux droites d 8x 6y + 7 = 0, d 12y 5x 1 0 De quelle droite le point A est-il le plus éloigné? 29) Soient A ( 2;2), B( 3;1) et ( 5; 4) ( ABC ) + = et ( 2;3) A dans un RON C dans un RON Calculez l aire du triangle 30) Dans un RON on donne les deux droites a) ontrez que d d y 2 d = x + 1 et d 3y 4x + 14 = b) Calculez Pd où P est un point quelconque de d Que constatez-vous? 31) Soient A ( 1;0,5 ), B( 4;3) et ( 2; 1) C dans un RON (figure!) a) Déterminez les équations des droites ( AB ), ( AC ) et ( BC ) b) ontrez que l ensemble des points (appelé aussi le lieu des points) P qui sont équidistants de ( AB ) et ( AC ) est la réunion de deux droites perpendiculaires sécantes en A On sait que l une de ces deux droites est la bissectrice b A de l angle BAC Laquelle? c) Déterminez de même les bissectrices b B de l angle CBA et b C de l angle ACB d) ontrez que les trois bissectrices sont concourantes en un point D équidistant des trois côtés du triangle ( ABC ) 32) Donnez une équation cartésienne du cercle a) de centre Ω( 4; 3) et de rayon 2 b) de centre Ω( 0; 1) et passant par ( 12; 6) 1 3 c) de centre Ω ; 2 4 et de rayon 2 2 R d) de diamètre [ AB ] avec A( 5;4) et ( 7; 8) B - 6 -

7 33) Déterminez les lieux suivants : / x 2 6x y 2 14y 63 0} L = + = = P x; y / x + y 3x + 6y = 0 4 ( ) / 49x 2 42x 49y 2 9 0} P = = / x 2 8x y 2 18y 135 0} O = + + = I = P x; y / x + 7x + y y + 51 = 0 2 ( ) / 4x 2 4x 4y 2 8y 31 0} J = + + = / 36x 2 48x 36y 2 180y 205 0} K = = { P( x; y) / ( 2x 1)( 5 6x) ( 3y 1)( 4y 7) 0} E = = 34) Reprenons les données de l exercice 31 a) Etablissez l équation du cercle de centre D qui est tangent aux trois côtés du triangle ( ABC ), appelé cercle inscrit du triangle b) Calculez l aire et le périmètre de ce cercle 35) Donnez une équation cartésienne du cercle passant par les points A, B ( 0;1) et ( 1;0 ) a) (1;2) b) ( 1;3) C A, B( 4; 2) et ( 2; 5) 36) Soient A( 2; 3), ( 8;1) C B, C (6;6) et D( 4; 2) dans un RON Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Déterminez son cercle circonscrit 37) Soit C le cercle d équation 2 2 C x + 10x + y 2y + 22 = 0 dans un RON a) Déterminez le centre et le rayon de C b) Trouvez deux points A et B de C qui n ont ni la même abscisse, ni la même ordonnée c) Déterminez les équations des tangentes t et A t B au cercle aux points A et B respectivement d) Déterminez le point d intersection I de t A et t B e) Quelle est la nature du triangle ( IAB)? - 7 -

8 38) Soient A( 4;1) et ( 2;7) 3 e B Chapitre I Géométrie analytique Exercices B dans un RON Déterminez les lieux suivants : a) = { / le triangle ( AB ) est rectangle en } L Comment appelle-t-on ce lieu? b) = { / A = B} S Quel est ce lieu? Prouvez-le! 39) Soit un triangle ( ABC ) quelconque, A = mil [ BC], B = mil [ AC] C mil [ AB] son centre de gravité a) ontrez que = et G BC AC + AB = 2AA + (théorème des médianes) 2 b) Donnez sans démonstration des formules analogues pour les autres médianes BC + AC + AB c) Déduisez-en que GA + GB + GC = 3 40) ontrez que pour tout #( ABCD ) on a : deux methods différentes: a) En vous plaçant dans un repère approprié AB + BC + CD + DA = AC + BD par b) En utilisant le théorème des médianes établi dans l exercice précédent 41) Soient A et B deux points fixes tel que AB = 6 Déterminez le lieu L des points tel que A = 2 B 42) Soient A ( 2;5) et ( 4;7) B dans un RON Déterminez le lieu L des points tel que: 5 A + B = AB ) Une perche rigide [ AB ] de 10 m de long est posée contre un mur vertical En supposant que son extrémité A glisse le long du mur et son extrémité B le long du sol, quel est le lieu L du milieu de la perche? (figure!) 44) Soient a et b deux droites perpendiculaires sécantes en O et un point quelconque du plan On note A et B les projections orthogonales de sur a et b respectivement (figure!) Déterminez le lieu L des points tels que OA + OB = 3-8 -