Algèbre de Boole. ELE1300 Circuits logiques. Algèbre de Boole ( ) Algèbre de Boole. Une algèbre de Boole est la donnée de : un ensemble E,

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1 lgèbre de oole George oole (181-18) est un mathématicien autodidacte anglais qui voulait faire un lien entre la logique (étude de la validité du raisonnement) et la représentation symbolique utilisée en mathématique. ELE100 ircuits logiques lgèbre de oole Il a écrit deux ouvrages sur le sujet : Mathematical nalysis of Logic (18) n Investigation of the Laws of Thought (18) es travaux n ont pas connu d intérêt particulier auprès de la communauté mathématique et scientifique de son époque, mis à part chez les logiciens lgèbre de oole ( ) est 0 ans plus tard que les travaux de oole gagnent l intérêt de tous, lorsque laude Shannon, alors étudiant à la maîtrise au MIT, fait le lien entre l algèbre de oole et la conception des circuits à relais. laude Shannon montre que l algèbre de oole peut-être utilisée pour optimiser les circuits à relais. ette nouvelle avenue de recherche va ouvrir la voie à l ère numérique. est parce que l algèbre de oole est au cœur de la conception numérique telle que l a pratiquée Shannon que nous allons l étudier ici. L algèbre de oole repose sur des axiomes, des postulats et des théorèmes qu il faut connaître par cœur! Nous allons nous pratiquer en classe, mais il faut que vous que vous le fassiez à la maison aussi lgèbre de oole ( ) Une algèbre de oole est la donnée de : un ensemble E, deux éléments particuliers de E : 0 et 1 (correspondant respectivement à FUX et VRI), deux opérations binaires sur E : + et (correspondant respectivement au OU et ET logiques), une opération unaire sur E : (correspondant à la négation (NON) logique).

2 xiomes Postulats es données vérifient les axiomes suivants : soient et des éléments de E On admet les postulats suivants : ommutativité + = + ssociativité = Opérateur ET ( ) P = 0 Opérateur OU (+) P. 0+0 = 0 Opérateur NON P. 0 = 1 (+)+ = +(+) Distributivité (+) = + Élément neutre ( ) = ( ) +( ) = (+) (+) P. 0 1 = 0 P.* 1 0 = 0 P. 1 1 = 1 P. 0+1 = 1 P.* 1+0 = 1 P. 1+1 = 1 P8. 1= 0 +0 = 1 = omplémentation + = 1 = 0 Théorèmes (quelques) Principe de dualité = + = = (involution) (idempotence) Remarque : le principe de dualité s applique + ( ) = + = + ( ) = + ( ) + = (loi d absorption) = + + = (loi de DeMorgan) changer les + pour des changer les pour des + changer les 0 pour des 1 changer les 1 pour des = 1 0 = 0 (élément nul) 8

3 pplication de l algèbre de oole Nous allons utiliser l algèbre de oole pour effectuer des démonstration de manière analytique Exemple 1: + = +? + = (+) (+) + distributif sur = 1 (+) complémentation = + élément neutre pplication de l algèbre de oole ( ) Exemple : + + = +? + + = élément neutre = (+)+ (+)+ (+) complémentation = distributif sur + = commutativité 9 10 pplication de l algèbre de oole ( ) Exemple ( ) : = = idempotence = commutativité = (+)+ (+) distributif sur + = (1)+ (1) complémentation = + élément neutre pplication de l algèbre de oole ( ) Exemple : ++ =? ++ = (+)+ = (+) = ( ) = 11 1

4 pplication de l algèbre de oole ( ) Table de vérité On peut s amuser à prouver certains théorèmes + = = (idempotence) + ( ) = + = (loi d absorption) ( + ) = {,,..., } S = f i i 1 n L S 1 n 1 n i 0 0 L L L M M M M M 1 1 L ( ) = + + = (loi de DeMorgan) Un tableau qui illustre la correspondance entre l état d une fonction logique et la combinaison des états de ses variables 1 1 Table de vérité ( ) ercles de Euler Deux expressions logiques sont égales ssi leur table de vérité sont identiques Exemple : Loi de DeMorgan S = + ( ) = + ( + ) = 1 1

5 Forme canonique Forme canonique ( ) Synthèse (exemple) Synthèse (exemple) FORME NONIQUE ONJONTIVE FORME NONIQUE DISJONTIVE Produit de «maxterms» 0 1 S Somme de «mintermes» S = utre forme : S = m1+ m + m + m + m ou bien S = m ( 1,,,, ) 0 1 S S = + + S = S = ( + + )( + + )( + + ) utre forme : S = M M M ou bien 0 S = M ( 0,,) 1 18 Minterm, maxterm Liste des minterms et maxterms (circuit à trois entrées) i m M i i Simplifier l expression? En partant de l expression disjonctive (faite de minterms) S = S = ( + ) = ( + ) = ( + ) = S = + + = 0

6 Réalisation par «NON-ET», «NON-OU» En partant de l expression conjonctive (faite de minterms) S = ( + + )( + + )( + + ) S = ( + + )( + + )( + + ) S = + = + = = = ( + ) + ( ) = ( + ) ( + ) + ( ) = ( + ) S = ( + )( + ) = ( + )( + ) = + S = ( + )( + ) e qui, ultimement, se ramène à: S = + 1 = ( + ) + ( + ) SI NOUS DISPOSIONS DU SEUL OPÉRTEUR NON-ET (NON-OU) IL NOUS SERIT POSSILE D IMPLÉMENTER TOUTE FONTION LOGIQUE Décomposition de Shannon Décomposition de Shannon f (x 1, x,, x n ) = x 1 f (0, x,, x n )+ x 1 f (1, x,, x n ) f (x 1, x,, x n ) = x 1 f (0, x,, x n )+ x 1 f (1, x,, x n ) Preuve: Si x 1 = 0: x 1 f (0, x,, x n )+ x 1 f (1, x,, x n ) = f (0, x,, x n ) Si x 1 =1: x 1 f (0, x,, x n )+ x 1 f (1, x,, x n ) = f (1, x,, x n ) En combinant les deux résultats, on trouve que l assertion est vraie En appliquant la décomposition de Shannon récursivement, on aboutit à la forme canonique disjonctive. Exemple: Soit f (x 1, x, x ) une fonction logique à trois variables. f (x 1, x, x ) = x 1 f (0, x, x ) + x 1 f (1, x, x ) = x 1 x f (0, 0, x ) + x 1 x f (0, 1, x ) + x 1 x f (1, 0, x ) + x 1 x f (1, 1, x ) = x 1 x x f (0, 0, 0) + x 1 x x f (0, 0, 1) + x 1 x x f (0, 1, 0) + x 1 x x f (0, 1, 1) + x 1 x x f (1, 0, 0) + x 1 x x f (1, 0, 1) + x 1 x x f (1, 1, 0) + x 1 x x f (1, 1, 1) +

7 Décomposition de Shannon (suite exemple) Décomposition de Shannon (dual) On trouve donc: f (x 1, x, x ) = m 0 f (0, 0, 0) + m 1 f (0, 0, 1) + m f (0, 1, 0) + m f (0, 1, 1) + m f (1, 0, 0) + m f (1, 0, 1) + m f (1, 1, 0) + m f (1, 1, 1) f (x 1, x,, x n ) = (x 1 +f (0, x,, x n ))(x 1 + f (1, x,, x n )) En appliquant la décomposition de Shannon récursivement, on aboutit à la forme canonique conjonctive. Exemple: Soit f (x 1, x, x ) une fonction logique à trois variables. f (x 1, x, x ) = ( x 1 + f (0, x, x ))( x 1 + f (1, x, x )) = ( x 1 + x + f (0, 0, x ))( x 1 + x + f (0, 1, x )) ( x 1 + x + f (1, 0, x ))( x 1 + x + f (1, 1, x )) = ( x 1 + x + x +f (0, 0, 0))( x 1 + x + x + f (0, 0, 1)) ( x 1 + x + x + f (0, 1, 0))( x 1 + x + x + f (0, 1, 1)) ( x 1 + x + x + f (1, 0, 0))( x 1 + x + x + f (1, 0, 1)) ( x 1 + x + x + f (1, 1, 0))( x 1 + x + x + f (1, 1, 1)) Décomposition de Shannon (suite exemple) On trouve donc: f (x 1, x, x ) = ( M 0 +f (0, 0, 0) ) ( M 1 +f (0, 0, 1) ) ( M +f (0, 1, 0) ) ( M +f (0, 1, 1) ) ( M +f (1, 0, 0) ) ( M +f (1, 0, 1) ) ( M +f (1, 1, 0) ) ( M +f (1, 1, 1) )